全國高考數(shù)學試題

1、1978 年普通高等學校招生全國統(tǒng)考試數(shù)學(理科考生五，六兩題選做一題.文科考生五，六兩題選做一題，不要 求做第七題.)一.(下列各題每題4分，五個題共20分)1 .分解因式：x2-4xy+4y 2-4z 2.解：原式=(x-2y) 2-(2z) 2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2 .已知正方形的邊長為a,求側(cè)面積等于這個正方形的面積，高等于 這個正方形邊長的直圓柱體的體積.解：設底面半徑為r,則底面周長2兀r=a22則r旦,體積r2 a-a- a a-.2243 .求函數(shù)y 3g(2 x)的定義域.解： V lg(2+x) A0, .2+XA1.故 XA-1 為其定義域.4 .不查表

2、求 cos800cos350+cos100cos550 的值.解：原式=sin100cos350+cos10°sin35 0=sin(10 °+35°)=sin45 °=£15.化簡：1 234ab 1)34(0.1) 2(a3b 4)21 4 一解：原式 b2.25(本題滿分14分)已知方程kx2+y2=4,其中k為實數(shù).對于不同范圍的k值，分別指出方程所代表圖形的內(nèi)形，并畫出顯示其數(shù)量特征的草圖 .解：1） k>0時，方程的圖形是橢圓，中心在坐標原點，此時又可分為：k>1時,長軸在y軸上，半長軸=2,半短軸=_； .kk=1時，

3、為半徑r=2的圓;k<1時,長軸在x軸上,半長軸=2、.k,半短軸=2YYY2）k=0時，方程為y2=4.圖形是兩條平行于x軸的直線y 2如圖.3） k<0時，方程為三.（本題滿分14分）（如圖）AB是半圓的直徑，C是半圓上一點，直線 MN®半圓于C點，AMML MN? M點，BNiL MNf N點，CDL AB于 D 點, 求證：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM- BN 1)證：連 CA CBB 則/ACB=90/ ACM= ABC / ACDM ABC. / ACM= ACD= AMCAADC.CM=C固理 CN=CD.CD=CM=CN2) ,CDL AB,

4、 /ACD=90 2CD=AD- DB由 1)知 AM=AD BN=BD cD=am BN4 .(本題滿分12分)已知 log189 a(a 2),18b 5.求log3645.解：Q18b 5, log18 5 b.log18 5 9log18 5 log18 9a blog36 45log1818 2 log1818 log18 22 a5 .(本題滿分20分)已知 ABC勺三內(nèi)角的大小成等差數(shù)列，tgAtgC= 2 J3求角A, B, C的大小.又已知頂點C的對邊c上的高等于4%求三角形各邊a,b,c 的長(提示：必要時可驗證(1 J3)2 4 273)解：A B C 180 又 2B

5、AC. B 60 ,A C 120QtgAtgC 2 .3而 tgA tgC (l-tgAtgC)tg(A C) (-1-3)( .3) 3 .3.(2)由(2)可知tgA,tgC是x2 (3 回x 2#0的兩根.解這方程得 x1 1,x2 2 J3 設 A C,則得 tgA 1,tgC 2 33.A 45 ,C 1204575又知c上的高等于4、. 3, a ”- 8; b也一4,6;sin 60sin 45c AD DB bcos45 acos60 4.3 4.6 .（本題滿分20分）已知：，為銳角，且 3sin2 2sin21,3sin2 -2sin20,求證：2.2由3sin22sin

6、21,得：3sin2cos2 .3由3sin 22sin 20,得：sin 2sin2 3sincos.2sin2 2cos2 9sin2 cos29sin4 9sin21.1 sin -（為銳角）2sin（ 2 ） sin cos2cos sin 2 sin （3sin） cos （3sin cos ）223sin （sincos ） 3sin 1. 27 .（本題滿分20分，文科考生不要求作此題）已知函數(shù)y=x2+（2m+1）x+n2-1（m為實數(shù)）1） m是什么數(shù)值時，y的極值是0?2）求證：不論m是什么數(shù)值，函數(shù)圖象（即拋物線）的頂點都在同一條直線Li上.畫出m=-1、0、1時拋物線的

7、草圖，來檢驗這個結(jié)論.3）平行于Li的直線中，哪些與拋物線相交，哪些不相交？求證：任一條平行于Li而與拋物線相交的直線，被各拋物線截出的線段都相等解：用配方法得:22m 1 4m 5x 24y的極小值為4m 5所以當極值為0時,4m 5 0, m2.函數(shù)圖象拋物線的頂點坐標為(2m 11xm , y22542m 1 4m 52 ,4,4m 55 m ,44二式相減得：x y 3.此即各拋物線頂點坐標所滿足的方程.它的圖象是一條4直線，方程中不含m,因此，不論m是什么值，拋物線的頂點都在這條 直線上.當m1,0,1時,x,y之間函數(shù)關(guān)系為1/1、25/1、29/3、2y二(x二),y二(x二)，

8、y二(x二)國略.4242423.設L: 乂4=2為任一條平行于L1的直線.與拋物線y=x2+(2m+1)x+m-1方程聯(lián)立求解，消去y,得x2+2mx+im1+ a =0 =（x+m）2=1- a.因而當1-240即201時，直線L與拋物線相交，而a>1時，直線L與拋物線不相交.當a 1時,xm 7TT即直線L與拋物線兩交點橫坐標為m .1 a,m 1 a.因直線L的斜率為1,它的傾斜角為45直線L被拋物線截出的線段等 于(m V1 a) ( m J)72 2<2(1 a)而這與m無關(guān).因此直線L被各拋物線截出的線段都相等.一九七八年副題1. (1)分解因式：x2-2xy+y 2

9、+2x-2y-3解：原式二(x-y-1)(x-y+3)(2)求 sin 30 tg0 ctg cos2 3 的值(3)求函數(shù)y 1g(25 5X)數(shù)定義域.x 1解：25 5X 0,且x 1 0. x 2且x1為所求之定義域解：原式=3/4.(4)已知直圓錐體的底面半徑等于 1cmi母線的長等于2cmi求它 的體積.解：V 112 .-22 1 色(cm3)331 1- 1(5)計算10(2 75) 1 () ' 30(世)2 (江/的值.50093解：原式二302 .已知兩數(shù)x1 ,x 2滿足下列條件：1)它們的和是等差數(shù)列1, 3,的第20項；2)它們的積是等比數(shù)列2,-6,的前4

10、項和.求根為工，工的方程.x1x2略解：x1 +x 2=39, x1x2=-40.故：1/x 1 + 1/x 2=-39/40 .1/x1 1/x2=-1/40所求方程為：40x2+39x-1=0.3 .已知： ABC勺外接圓的切線AD交BC的延長線于D點，求證:ABC的面積 AB2 BDACD的面積 AC2 CD證：因為AD是ABC勺外接圓的切線，所以 /B=/1.ABACADABC的面積AB2ACD的面積 AC2作An BD于點E,則1ABC的面積 2Bd AE BDACD的面積 1CD一CD AE24.（如圖）CD是BC的延長線,AB=BC=CA=Ca)= DMW AB, AC分別交于M

11、點和N點，且/ BDM=.4atg4atg求證：BM, CN3 tg3 tg證：作MEL DC于E,由zABCM等邊三角形，在直角 MBEt1 .3BE BM ,ME BM ,2 2，3_ME 2 BM4atgtg27,BM -=-ED 2a 1BM3 tg2類似地，過N作NF, BC于F,在直角 NFCt可證:CN4atg3 tg5.設有 f(x)=4x 4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+lj.(p ?0)求證:1)如果f(x)的系數(shù)滿足p2-4q-4(m+1)=0,那么 f(x)恰好是個二次三項式的平方.2)如果 f(x)與 F(x)=(2x2+ax+b)2表示同一個多項式，

12、那么2/、p-4q-4(m+1)=0 .證：1)Q m 12.p 4q4-4f (x) 4x34 px24qx2pp2 4q x4(2x2、2 px)(p224q)x(2 px)(2x2px)22(2x2 px)2.p 4q4p2 4q)2424q (p42P44q)24(2x2pxp2 4q)2 4.f(x)等于一個二次三項式的平方 432_2)Q4x 4px 4qx 2 p(m 1) (m 4x4 4ax3 (a2 4b) x2 2abx4p 4aK K K K K K K K (1)4q a2 4bK K K K K K K (2) 2p(m 1) 2abK K K K K K (3)

13、(m 1)2 b2KKKKKKK (4)1)2b2,(2x2由可得ap代入(2)得b24q p將a, b的表達式代入(3)，得2 P(m1)2pr 2P P 4q4(m 1) 0.Q p0,6.已知:asinx+bcosx =0.Asin2x+Bcos2x=C.其中a,b不同時為04q)2axb)224q p42p 4q 4(m1)0.求證：2abA+(b2-a2)B+( a2+b2)C=0證：設 sin y , 2b 2 ,cosy ,2a 2a2 b2, a2 b2貝(J可寫成 cosysinx-sinycosx=0, .sin(x-y)=0 . .x-y=k 兀(k 為整數(shù))，2ab22

14、2 a bx=y+k 兀2a2 b2y=FV又 sin2x=sin2(y+k 兀尸sin2y=2sinycosy=2.cos2x=cos2y=cos y-sin代入，得2abA (a2,2a b2abA (bb2)B工C,22a )B (a2 b2)C0.7.已知L為過點P（苧,灑傾斜角為300的直線，圓C為中心在坐標原點而半徑等于1的圓，Q表示頂點在原點而焦點在*0）的拋物線,設A為L和C在第三象限的交點，B為C和Q在第四象限的交點 1）寫出直線L、圓C和拋物線Q的方程，并作草圖.2）寫出線段PA圓弧AB和拋物線上Oy段的函數(shù)表達式* 3）設PI Bz依次為從P、B到x軸的垂足.求由圓弧AB和直線段BB、Bz PI P/ P、PA所包含的面積.解：1）直線L、圓C和