年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué).直線與平面平行

1、直線與平面平行知識(shí)梳理1 .直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，即直線與平面平行、直線與平面相交、直線 在平面內(nèi).2 .直線與平面平行的判定：如果平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這 條直線與這個(gè)平面平行.3 .直線與平面平行的性質(zhì)：如果一條直線與一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面與已 知平面相交，那么這條直線與交線平行.點(diǎn)擊雙基1 .設(shè)有平面a、B和直線m、n,則m/ a的一個(gè)充分條件是A. a，B 且 m± BB. a C B =n 且 m / n C.m / n 且 n / a D. a / B 且 m呈I答案：D2 . （2004年北京，3）設(shè)m、n是兩條不同的直線，a

2、、0、丫是三個(gè)不同的平面.給出 下列四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)是若 mX a , n / a ,則 ml_ n 若 a / B, B / Y,m，a,則 m，Y 若 m / a , n / a ,則 m / n 若 a ± Y ,則A.B.C.D.解析：顯然正確.中m與n可能相交或異面.考慮長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，a與B可以相交.答案：A3 .一條直線若同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線的位置關(guān)系是A.異面B.相交C.平行D.不能確定解析：設(shè) a C B =l, a II a , a / B ,過直線a作與a、B都相交的平面T ,記 a C 丫 =b, p A y =C,

3、貝U a / b且 a / c,b / c.又 b a , a n P =l, b / l.,. a / l.答案：C4 .（文）設(shè)平面a /平面B , A、C C a , B、D C B ,直線AB與CD交于點(diǎn)S,且AS=8, BS=9, CD=34,當(dāng)S在a、B之間時(shí)，SC=當(dāng)S不在a、B之間時(shí)， SC=.解析：AC/BD, .SACsASBD,SC=16,SC=272.答案：16272（理）設(shè)D是線段BC上的點(diǎn)，BC/平面a ,從平面a外一定點(diǎn)A （A與BC分居平 面兩側(cè)）作 AB、AD、AC分別交平面 a于E、F、G 三點(diǎn)，BC=a, AD=b, DF=c,則 EG=.解析：解法類同于

4、上題.答案：2c b5 .在四面體 ABCD中，M、N分別是面AACD、zBCD的重心，則四面體的四個(gè)面中 與MN平行的是.解析：連結(jié)AM并延長(zhǎng)，交CD于E,連結(jié)BN并延長(zhǎng)交CD于F,由重心性質(zhì)可知，E、F重合為一點(diǎn)，且該點(diǎn)為CD的中點(diǎn)E,由£M =更=1得MN/AB,MA NB 2因此，MN/平面 ABC且MN/平面ABD.答案：平面 ABC、平面ABD典例剖析【例1】如下圖，兩個(gè)全等的正方形 ABCD和ABEF所在平面相交于AB, MCAC, N CFB 且 AM=FN,求證：MN/平面 BCE.證法一：過 M作MPBC, NQXBE, P、Q為垂足（如上圖），連結(jié)PQ. MP/

5、AB, NQ/AB, . MP/NQ.22又 NQ=2_ bn=2L_CM=MP, . MPQN 是平行四邊形. .MN / PQ, PQ 平面 BCE.而MN 平面BCE, .MN /平面 BCE.證法二：過 M作MG / BC,交AB于點(diǎn)G （如下圖），連結(jié)NG. MG / BC, BC 平面 BCE,MG 平面BCE, .MG/平面 BCE.° BG CM BN乂丁=，GA MA NF .GN/AF/ BE,同樣可證明 GN/平面 BCE.又面 MGANG=G, 平面 MNG /平面BCE.又MN 平面MNG.； MN /平面BCE.特別提示證明直線和平面的平行通常采用如下兩種

6、方法：利用直線和平面平行的判定定理， 通過“線線”平行，證得“線面”平行；利用兩平面平行的性質(zhì)定理，通過“面面”平 行，證得“線面”平行.【例2】如下圖，正方體ABCDAiBiCiDi中，側(cè)面對(duì)角線ABi、BCi上分別有兩點(diǎn)E、 F,且 BiE=CiF.求證：EF/平面 ABCD.證法一：分別過 E、F作EMLAB于點(diǎn)M, FNLBC于點(diǎn)N,連結(jié)MN. BBi,平面 ABCD, .BBiXAB, BBiXBC. .EM / BBi, FN / BBi. . EM / FN.又 BiE=CiF, . EM=FN.故四邊形MNFE是平行四邊形. .EF / MN.又 MN 在平面 ABCD 中，

7、.EF /平面 ABCD.證法二：過E作EG/AB交陽(yáng)于點(diǎn)G,連結(jié)GF,則筮嚼. BiE=CiF, BiA=CiB,CiF _ 81GCiBBiB . FG / BiCi / BC.又. EGnFG=G, ABABC=B,平面EFG /平面ABCD.而EF在平面EFG中， .EF /平面 ABCD.評(píng)述：證明線面平行的常用方法是：證明直線平行于平面內(nèi)的一條直線；證明直線所 在的平面與已知平面平行.【例3】已知正四棱錐PABCD的底面邊長(zhǎng)及側(cè)棱長(zhǎng)均為13, M、N分別是PA、BD 上的點(diǎn)，且 PM : MA=BN : ND=5 : 8.(1)求證：直線MN/平面PBC;(2)求直線MN與平面AB

8、CD所成的角.(1)證明：:PABCD是正四棱錐，ABCD是正方形.連結(jié)AN并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E, 連2PE. AD / BC, . EN : AN=BN : ND.又丁 BN : ND=PM : MA, .EN : AN=PM : MA. .MN / PE.又;PE在平面PBC內(nèi)，；MN/平面PBC.(2)解：由(1)知MN/PE,. MN與平面ABCD所成的角就是PE與平面ABCD所 成的角.設(shè)點(diǎn)P在底面ABCD上的射影為O,連結(jié)OE,則/ PEO為PE與平面ABCD所成的 角.由正棱錐的性質(zhì)知 PO= . PB2 OB2 =13-2 .2由(1)知，BE : AD=BN : ND=5 :

9、8,.BE=65.8在4PEB 中，/ PBE=60° , PB=13, BE=65 ,8根據(jù)余弦定理，得PE=91.8在 RtPOE 中，PO=132, PE=91 , 28 .sin/PEO=PO = 42.PE 74 2故MN與平面ABCD所成的角為arcsin、2 .思考討論證線面平行，一般是轉(zhuǎn)化為證線線平行.求直線與平面所成的角一般用構(gòu)造法，作出線 與面所成的角.本題若直接求MN與平面ABCD所成的角，計(jì)算困難，而平移轉(zhuǎn)化為 PE與 平面ABCD所成的角則計(jì)算容易.可見平移是求線線角、線面角的重要方法.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1 .兩條直線a、b滿足a/b, b鼻|a ,則a與平面

10、a的關(guān)系是A.a / aB.a與a相交C.a與a不相交D.a& a答案：C2 .a、b是兩條異面直線，A是不在a、b上的點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是A.過A有且只有一個(gè)平面平行于 a、bB.過A至少有一個(gè)平面平行于a、bC.過A有無數(shù)個(gè)平面平行于a、bD.過A且平行a、b的平面可能不存在解析：過點(diǎn)A可作直線a' / a, b' / b, 則 a' C b' =A.a'、b'可確定一個(gè)平面，記為a.如果 a a , b a ,貝U a/ a , b / a .由于平面a可能過直線a、b之一，因此，過A且平行于a、b的平面可能不存在. 答案：D3

11、. (2004年全國(guó)I, 16)已知a、b為不垂直的異面直線，a是一個(gè)平面，則a、b在 a上的射影有可能是兩條平行直線；兩條互相垂直的直線；同一條直線；一條直 線及其外一點(diǎn).在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是.(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)) 解析：AiD與BCi在平面ABCD上的射影互相平行；ABi與BCi在平面ABCD上的射影互相垂直；DDi與BCi在平面ABCD上的射影是一條直線及其外一點(diǎn). 答案：4 .已知RtAABC的直角頂點(diǎn)C在平面a內(nèi)，斜邊AB/ a , AB=2 6 6 , AC、BC分別和 平面a成45°和30°角，則AB到平面a的距離為.解析：分別過A、B向平面a

12、引垂線AA'、BB',垂足分別為A'、B'.設(shè) AA' =BB' =x,M AC2=(2=2x2, sin 45uBC2=() 2=4x2 sin 30u又 AC2+BC2=AB2, . 6x2= (2<6 ) 2, x=2.答案：25 .如下圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PAL底面ABCD,側(cè)面 PBC內(nèi)有BELPC于E,且BE=4 a,試在AB上找一點(diǎn)F,使EF/平面FAD.解：在面PCD內(nèi)作EGLPD于G,連結(jié)AG. PAL平面 ABCD, CDXAD, ,.CDXPD.,.CD / EG.又 AB/ CD, a

13、 EG / AB.若有EF /平面PAD,則EF / AG,四邊形AFEG為平行四邊形，得EG=AF. CE=i：a2 (a)2 =3a, PBC 為直角三角形，.二 BC2=CE - CP CP=V3a, 333a - a AF EG PE32=,=.AB CD PC ，3a 3故得 AF ： FB=2 ： 1 時(shí)，EF II 平面 PAD.6.如下圖，設(shè)P為長(zhǎng)方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別為AB、PD上的點(diǎn)，且AM = DN 求證：直線MN/平面PBC.MB NP分析：要證直線MN/平面PBC,只需證明MN/平面PBC內(nèi)的一條直線或 MN所在 的某個(gè)平面/平面PBC.證法:過N作N

14、R/ DC交PC于點(diǎn)R,連結(jié)RB,依題意得DC NR _ DN _ AMNR而 - MBAB MB _ DC MBMb MbNR=MB/. NR/ DC /AB, .四邊形MNRB是平行四邊形.MN / RB.又;RB星平面PBC,直線 MN/平面PBC.證法二：過N作NQ / AD交PA于點(diǎn)Q,連結(jié)QM ,空=空=處，.QM/PB. MB NP QP又 NQ / AD / BC, 平面 MQN / 平面 PBC.直線 MN / 平面 PBC.證法三：過N作NR/ DC交PC于點(diǎn)R,連結(jié)RB,依題意有典=里= _NR ,nR =MB ,AB PD DCBR = BM + MN + NR = i

15、MN.MN/ RB.又RB 1平面 PBC, .直線 MN/平面 PBC.培養(yǎng)能力7 .已知l是過正方體ABCDAiBiCiDi的頂點(diǎn)的平面ABiDi與下底面ABCD所在平面的 交線，(i)求證：DiBi/l； (2)若AB=a,求l與Di間的距離.(D證明：. DiBi / BD, .DiBi /平面 ABCD.又平面ABCD n平面ADiBi=l, .DiBi / l.(2)解：: DiD，平面 ABCD,在平面ABCD內(nèi)，由D作DGl于G,連結(jié)DiG,則DiG,l, DiG的長(zhǎng)即等于點(diǎn)Di 與l間的距離. l/ DiBi / BD, .DAG=45° . DG= y-a, Di

16、G= yDG2 DR2 = jga2 a2=a.探究創(chuàng)新i8 .如下圖，在正四棱柱 ABCDAiBiCiDi中，AAi = AB,點(diǎn)E、M分別為AiB、CiC的2中點(diǎn)，過點(diǎn) Ai、B、M三點(diǎn)的平面 AiBMN交CiDi于點(diǎn)N.(i)求證：EM /平面 AiBiCiDi;(2)求二面角B-AiN-Bi的正切值；(3)設(shè)截面AiBMN把該正四棱柱截成的兩個(gè)幾何體的體積分別為 Vi、V2 (Vi<V2), 求Vi ： V2的值.(i)證明：設(shè)AiBi的中點(diǎn)為F,連結(jié)EF、FCi. .E 為 AiB 的中點(diǎn)，.二 EF二1BiB.2又 CiM 二1BiB, . EF-MCi.2 四邊形EMCiF

17、為平行四邊形. .EM / FCi/. EM 平面 AiBiCiDi,FCi 平面 AiBiCiDi, .EM /平面 AiBiCiDi.(2)解：作 BiHLAiN 于 H,連結(jié) BH. BBi,平面 AiBiCiDi,BHXAiN.丁 / BHBi為二面角BAiNBi的平面角. EM/平面 AiBiCiDi, EM 平面 AiBMN,平面 AiBMNA 平面 AiBiCiDi=AiN , .EM /AiN.又EM / FCi, . AiN / FCi.又AiF/NCi, .四邊形 AiFCiN 是平行四邊形.NCi=AiF.設(shè) AAi =a,則 AiBi=2a, DiN=a.在 RtAAi

18、DiN 中，AiN= . ADi2 DiN2 = .5 a,AiDi2 sin / AiNDi =.AiN ,5在 RtzXAiBiH 中，BiH=AiBisin/HAiBi=2a 2= =-4 a. .55在 RtABBiH 中,tan/ BHBi= "BB- = a=BiH44,5a(3)解：延長(zhǎng) AiN與BiCi交于P,則PC平面AiBMN,且P C平面BBiCiC. 又.平面 AiBMNA平面 BBiCiC=BM, .PCBM,即直線 AiN、BiCi、BM 交于一點(diǎn) P.又丁平面MNCi/平面BAiBi,幾何體MNCi BAiBi為棱臺(tái).(沒有以上這段證明，不扣分), S

19、AiBBiS MNCii =-2i2 2a - a=a2,a - - a= - a2,24a21a2+42) J 446棱臺(tái) MNCiBAiBi 的高為 BiCi=2a,a3 . . V2=2a 2a a7 a3=" a3.66.-.V1 = 1 .V217思悟小結(jié)1 .直線與平面的位置關(guān)系有三種：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行， 后者又統(tǒng)稱為直線在平面外.2 .輔助線(面)是解證線面平行的關(guān)鍵.為了能利用線面平行的判定定理及性質(zhì)定理， 往往需要作輔助線(面).教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1 .必須使學(xué)生理解并掌握直線與平面的位置關(guān)系，以及直線與平面平行的判定定理及 性質(zhì)定理；結(jié)合本課時(shí)題目，使學(xué)生掌握解證線面平行的基本方法.2 .證明線面平行是高考中常見的問題，常用的方法就是證明這條線與平面內(nèi)的某條直線平 行.拓展題例【例1】如下圖，設(shè)a、b是異面直線，AB是a、b的公垂線，過AB的中點(diǎn)O作平面 a與a、b分別平行，M、N分別是a、b上的任意兩點(diǎn)，MN