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文檔簡介

1、衛(wèi)星幾何位置與定位精度之間的關(guān)系1衛(wèi)星幾何關(guān)系對定位精度的影響假設(shè)s表示從地心到衛(wèi)星的向量,u代表從地心到用戶位置的向 量,用r表示從用戶到衛(wèi)星的偏移向量,則r與s,u之間的關(guān)系是:r= s-u(1)距離|r|可通過測量GPS接收機接收的衛(wèi)星信號的時間延遲獲得,這種式獲得的距離|r|稱為偽距,因為時間延遲中包含有GPS接p收機與系統(tǒng)時的偏差。假設(shè)第j顆衛(wèi)星與GPS接收機之間的偽距用j表示,則可用式(2 )表示::?j <|Sj -u | ct b(2)式中,c表示光速,tb是GPS接收機與系統(tǒng)時的偏差,|Sj - u 11表示 第顆j顆衛(wèi)與用戶之間的真距。如果用(Xu,yu,Zu)和(X

2、j,yj,Zj)分別表示用戶和第j顆衛(wèi)星 的三維位置坐標(biāo),則。可表示為:2 2 2'j 二 1 (Xj - Xu)(yj - yu)(Zj - Zu)ctbj=1,2,3,4( 3)AAA用(Xu,yu,Zu)表示在用戶實際位置附近的某位置,可以對式AAA 在(Xu,yu,Zu)附近展開成Taylor級數(shù),并且忽略高次項,這樣 就完成了對式(3)的線性化。像J 一樣,:j表示在用戶附近(Xu,yu,Zu)到衛(wèi)星的偽距。這里,Arj(5)/ 2 2 2 r j = A (Xj - xu)(yj - yu)(Zj - zu)可以把式(5)寫成緊湊的矩陣形式:i“2aX2Xay!azXuay

3、2azay3az1 yu1zuay4az或者寫成更簡潔的形式:心P紀(jì)H心x(6)(7)矩陣H有時稱為視度矩陣,它是一個nx4矩陣,z 4。式描述了用戶位置誤差和時鐘偏差與測距誤差的近似線性關(guān)系,一般,可將偽距誤差看作是隨機的。這些隨機變量的關(guān)系依據(jù)式(7)可描述成:d '二 Hdx e(8)這里,e是誤差向量,一般,可 假設(shè)Ee=O。對于接近地球的用戶可認(rèn)為e是服從Gaussian分布的。式(8)的解可以用最小二乘法獲得,(14)2解的意義在于使|e|1最小。式(8)的解可以表示如下:式中,(9)(14)(14)(10)應(yīng)該指出,如果d '的協(xié)方差矩陣cov()不是對角線元素相

4、等 的對角矩陣,(9)并不是最優(yōu)的定位結(jié)果,這種情況下,加權(quán)的最小 二乘法將會有更好的定位結(jié)果。TT -1H 二 H (HH )在衛(wèi)星數(shù)量不足的情況下,這時,n <4(11)顯然,少于4顆衛(wèi)星是不能計算出有效的定位結(jié)果的,但,其它 傳感器的數(shù)據(jù)(例如:高度數(shù)據(jù)、精確時鐘數(shù)據(jù))與測距信息融合,依 然可以獲得有效的定位結(jié)果。dx的協(xié)方差陣可以由式(9 )推出:cov( dx) = E dxdx T = E H( dPdPT) (H _)T = H 一cov( dP)( H 了(12)式(12)要求用戶和衛(wèi)星之間的幾何關(guān)系是不變的,實際上,在短時間內(nèi),可以認(rèn)為用戶和衛(wèi)星的幾何關(guān)系不變。測距誤差

5、協(xié)方差陣cov( d)可以表示為更方便的形式:2COV( d » Kn uere(13)(14)(14), 2這里,Kn是對稱正定矩陣,'Se是用戶等效的測距誤差方差。設(shè)定(14)cov( dx)二2u式(14)的對角線以外元素對下面的討論并不重要,可以忽略,這樣打 .XU真2.yu(14)(14)GDO可以定義如下:/ uere(15).2 .2 .2 .2GDOP 、Xu 、yu ' Zu ' ctu或者/2222GDOP * uere = XuyuZu ctu (佝式(16)說明GDOP是測量誤差導(dǎo)致的定位誤差的放大因子。2 GDOP的范圍在1中,已證明

6、了衛(wèi)星數(shù)量的增加只會減小 GDOP從理論上分析,GDOP勺上界會因為衛(wèi)星幾何的變壞,而趨于無限,但GDOP的下界否達到理想值1呢?下面將給出證明。實際上,GDOP就是T(HH)的跡(Trace)。假設(shè):/a y1az 1、Z1aX1aX2aX3ax4a Xx1A =(H TH )=a y1a y2a y3a y4axx2a yaZ21az1aZ2aZ3aZ4axX3ay3aZ31U1 11丿.ax< X4ay4aZ41(14)/ 4Z aXi%i 二4=遲a:i丄4送a:i丄4勺11a 22a 33a44;(17)注意到矩陣a i=X,y,z 中,a丨表示三個方向的方向余弦,所以aii

7、- 4 。從矩陣?yán)碚摽芍?如果A是對稱正定矩陣,B = A,它們的對角元素分別用aiibii _1始終成立。利用這一結(jié)論,可以確定 GDOP勺大概范圍 定A=H tH,那么GDOF可以表示成如下形式。顯然GDOP 二GDOP -3ii和bii表示,那么,不等式 bn' t)22 ' t)33 ' t)44(18)1 1+ a11a221 1+ a 33 a 44(19)由式(17)可知,aii是方向余弦的函數(shù),且 的范圍,首先要分析方向余弦的取值。對于aii亠4。要確定GDOP4顆星的情況,如果H和H 丁是非奇異的,那么:T-1T -1(H H )二 H (H )(20

8、)因此,可推出Tr (H TH )_ Tr (H TH )(21)Tr (H TH )_ Tr (H TH )(21)利用方向余弦的基本性質(zhì)a2 + a2 + a2i2iZi可獲得讓:aX1aX2aX3aX4Xia21az1a21a 22a 23a 24az1aZ2aZ3aZ4aX2IIa22a23aZ2aZ3aX4a24aZ4(22)Vn(Hth廠1V22V33(23)利用逆矩陣基本定理可推出:1Vii - 一,i 二 1,2,3,42(24)利用式(20)可以推出,對于4顆衛(wèi)星,GDOP 2(25)對于更多的衛(wèi)星,GDOP應(yīng)該有一個更低的下界。也可以利用一組正實數(shù)集合的幾何平均數(shù)小于它的算

9、術(shù)平均數(shù)導(dǎo)出GDO的下界假設(shè),i=1,2,3,4 是hth的特征值,那么GDOP=,Tr(H T H )丄2|HtH |1/8(26)當(dāng)且僅當(dāng)hth的條件數(shù)是1時,等號成立。下面將通過不同衛(wèi)星分布幾何對 GDOP的取值范圍進行仿真,以驗證上面的GDOP取值范圍分析3不同衛(wèi)星分布幾何的GDDF取值分布仿真在不影響GDO理論分析的情況下,采用理想模型分析GDOF的且正方形邊長假設(shè)是300km,正方形內(nèi)的數(shù)據(jù)反映了在正方形內(nèi) GDOF 數(shù)值的連續(xù)變化,每個數(shù)值的覆蓋范圍大約15km ,從仿真結(jié)果可以 看出,GDO的最小值是1.41 ,考慮到小數(shù)點的舍入,GDOP勺取值都 大于理論分析的下界汀2。圖2

10、分析窄基線衛(wèi)星幾何分布時,GDO取值的分布情況。在圖2 中,假設(shè)有9顆衛(wèi)星,呈正方形分布,衛(wèi)星的分布范圍是 600km,坐 標(biāo)原點在正方形的中心,坐標(biāo)數(shù)據(jù)已在圖中標(biāo)出。圖2呈現(xiàn)了在衛(wèi)星 正方形區(qū)域外的G DOP取值分布情況, 可以看出,距離衛(wèi)星分布中 心區(qū)域越遠,G DO P的取值越大,所以GDOP勺上界可趨于無限. 以上的G DO P取值仿真分析, 說明了衛(wèi)星幾何分布對定位精度的 影響,從仿真結(jié)果可以看出,不良的衛(wèi)星幾何分布,將使定位誤差放 大到正常情況定位誤差的數(shù)倍。600 -540 -4Q 420 -30 -300 -240 -IftO -120 -«00$0120 UO 24

11、0 300 360 420 480 540 6006003 51 3. 233. 39 3. 153 28 3. 023. 17 2.913. 07 2.802. 97 2. 702. 89 2. 602. 82 2. 522. 75 2.452. 70 2 3$3.072.932.802-672. 552.M42.89"42.602. 472.342.113.00 2.9L 2. 85 2. 812.87 2. 78 2. 71 2. 672.61 2.5L 2. 44 2. 402. 37 2. 2fi 2. 18 2. 132. 25 2. 13 2. 05 2. 002. S

12、O2.662.502.612.452. 522.202. 111.921.792.292.141.991.852.66. 2. SO 2. 81 2. 852.50 2.66 2 67 2.712.34 2. 52 2. 53 2. 572.20 2. 3® 2. 40 2. 442. OS 2. n 2. 13 2. U291Z782Z2.512.023.002.3?2.742.612.372.2523.07 3. 28 3 512 60 2M 3. 02 3. 2®2.47 2.67 2.91 工 172. 22 2. 44 2. 702. H 2. 34 2. 605

13、705103. 072.974804504202. 70 2. 392. 75 2 452. 82 2. 522. 89 2 602 97 2 7©3. 07 2 802. 252.022. OS 1.-90 1.81 1. 761.681.902.032.02 2. 2S 2. 521.931.71 1.65 1.64L501.582.17 2.45 2. 751.581.932.022.031.901.681.601.681.74 1.76 1.812.023902. 342. 442.112.021-79L?21.8fr 1.88 1.932.02 2.132. 34 2. -60 2. 394202.342.

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