一元三次方程的解法詳細(xì)_第1頁
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1、詳細(xì)一元三次方程的解法先把方程化為的形式：令，則原式變成如此一來二次項(xiàng)就不見了，化成，其中，。-對(duì)方程直接利用卡爾丹諾公式：其中。是根的判別式：0時(shí)，有一個(gè)實(shí)根兩個(gè)虛根；0時(shí)，有三個(gè)實(shí)根，且其中至少有兩個(gè)根相等；0時(shí)，有三不等實(shí)根。附：方程（2）求根公式的推導(dǎo)過程：不妨設(shè)p、q均不為零，令 （3）代入（2）得， （4）選擇u、v，使得，即 （5）代入（4）得， （6）將（5）式兩邊立方得， （7）聯(lián)立（6）、（7）兩式，得關(guān)于、的方程組：于是問題歸結(jié)于求上述方程組的解，即關(guān)于t的一元二次方程的兩根、。設(shè)，又記的一個(gè)立方根為，則另兩個(gè)立方根為，其中、為1的兩個(gè)立方虛根。以下分三種情形討論：1）若

2、，即，則、均為實(shí)數(shù)，可求得，。取，在，組成的九個(gè)數(shù)中，有且只有下面三組滿足，即、；、；、，也就是滿足，于是方程（2）的根為，這時(shí)方程（2）有一個(gè)實(shí)根，兩個(gè)共軛虛根，其表達(dá)式就是前面給出的“卡丹公式”的形式，這里的根式及都是在實(shí)數(shù)意義下的。2）若，即D0時(shí)，可求得。取，同理，可求得 方程（2）有三個(gè)實(shí)根，其中至少有兩個(gè)相等的實(shí)根。· 3）若，即D0時(shí)，因?yàn)椋?p0，則、均為虛數(shù)，求出、，并用三角式表示，就有，其中T，都是實(shí)數(shù)，Q 同理，其中，且取，則顯然，當(dāng)且僅當(dāng)取，；，；，這三組時(shí)才滿足，于是方程（2）得三個(gè)實(shí)根為，具體表示出來就為：其中 當(dāng)時(shí)，方程（2）有三個(gè)實(shí)根。綜上所述，實(shí)系數(shù)一元三次方程的求根公式如下：令，1）當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根，2）當(dāng)時(shí)，方程有

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