余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1、余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)5 / 41.2 余弦定理南京師范大學(xué)附屬中學(xué)張躍紅教學(xué)目標(biāo)：1. 掌握余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題；2. 能夠運(yùn)用余弦定理解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)：重點(diǎn)是余弦定理及其證明過(guò)程.教學(xué)難點(diǎn)：難點(diǎn)是余弦定理的推導(dǎo)和證明.教學(xué)過(guò)程:在其解決的過(guò)程中得到余弦1. 創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題問(wèn)題1:修建一條高速公路，要開(kāi)鑿隧道將一 段山體打通現(xiàn)要測(cè)量該山體底側(cè)兩點(diǎn)間的距離， 即要測(cè)量該山體兩底側(cè) A，B兩點(diǎn)間的距離（如圖 1）.請(qǐng)想辦法解決這個(gè)問(wèn)題.設(shè)計(jì)意圖：這是一個(gè)學(xué)生身邊的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題, 定理，自然引出本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.2. 構(gòu)建模型，解決問(wèn)題.學(xué)生活動(dòng)：

2、提出的方法有，先航拍，然后根據(jù)比例尺算出距離；利用等高線 量出距離等；也有學(xué)生提出在遠(yuǎn)處選一點(diǎn) C，然后量出AC, BC的長(zhǎng)度，再測(cè)出 / ACB. ABC是確定的，就可以計(jì)算出AB的長(zhǎng).接下來(lái)，請(qǐng)三位板演其解法.法1：（構(gòu)造直角三角形）如圖2,過(guò)點(diǎn)A作垂線交BC于點(diǎn)D，貝UAD | = | AC | sinC,| CD | = | AC | cosC，ABD | = | BC | -| CD | =:| BC | | AC | cosC，/所以，|AB|Ji ad i2|BD|2CD圖2BJ|AC|2|BC I22 | AC | |BC| cosC .如圖3,因?yàn)閁UUABUUUT UUUA

3、C CB，所以，UUU2UUU UUUAB(AC CB) UUUT 2UUU2UUUTUUUACCB2ACCBcos(C),即 |AB| JAC |2|BC |22|AC| BC | cosC法2:（向量方法）法3:（建立直角坐標(biāo)系）建立如圖4所示的直角坐標(biāo)系，則 A （| AC |cosC,B (I BC I , 0),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，可得間的距離公式來(lái)解決，等等.4. 探幽入微，深化理解問(wèn)題3:剛剛認(rèn)識(shí)了余弦定理這個(gè)“新朋友”，看一看它有什么特征？ 學(xué)生活動(dòng)：勾股定理是余弦定理的特例.反過(guò)來(lái)也可以說(shuō)，余弦定理是勾股定理的推廣；當(dāng)角 C為銳角或鈍角時(shí)，邊長(zhǎng)之間有不等關(guān)系a2 b2 c2

4、， a2 b2 c2 ; c2 a2 b2 2abcosC是邊長(zhǎng)a、b、c的輪換式，同時(shí)等式右邊 的角與等式左邊的邊相對(duì)應(yīng)；等式右邊有點(diǎn)象完全平方，等等.教師總結(jié)：我們?cè)谟^察一個(gè)等式時(shí)，就如同觀察一個(gè)人一樣，先從遠(yuǎn)處看， 然后再近處看，先從外表再到內(nèi)心深處.觀察等式時(shí)，先從整體（比如輪換）再 到局部（比如等式左右邊角的對(duì)稱），從一般到特殊，或者從特殊到一般（比如 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣）問(wèn)題4:我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)余弦定理，學(xué)它有什么用？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生真正體會(huì)到學(xué)習(xí)余弦定理的必要性.同時(shí)又可以得到余弦定理能解決的三角形所滿足的條件， 以及余弦定理的各種變形.讓學(xué)生體會(huì)在

5、使 用公式或定理時(shí)，不但要會(huì)“正向使用”還要學(xué)會(huì)“逆向使用”.學(xué)生活動(dòng)：解已知三角形的兩邊和它們夾角的三角形；如果已知三邊，可以求角，進(jìn)而解出三角形，即cos A.2 2 2L _,cosB2bc2 .2c b,cosC2ac2 , 2 2a b c2ab5. 學(xué)以致用，拓展延伸練習(xí)：1. 在厶 ABC 中，若 a = 3，b= 5，c= 7,求角 C.2. （1）在厶ABC中，若b ,3 1,c.6, A 45°，解這個(gè)三角形.(2)在厶 ABC 中，b 3,B60°,c 1，求 a.學(xué)生活動(dòng)：練習(xí)后相互交流得出,解答題1時(shí)，利用的是余弦定理的變形形式 cosCa2b2 c22ab而題2