第二型曲線積分

1、§ 2第二型曲線積分教學目的與要求：掌握第二型曲線積分的定義和計算公式.教學重點：第二型曲線積分的定義和計算.教學難點：第二型曲線積分的計算公式.教學過程一、第二型曲線積分的定義：(一) 、力場F(x,y) hp(x, y) , Q(x,y)沿平面曲線從點A到點B所作的功:一質(zhì)點受變力F(x,y)的作用沿平面曲線運動，當質(zhì)點從之一端點A移動到另 一端B時,求力F(x,y)所做功W.大家知道,如果質(zhì)點受常力F的作用沿直線運動，位移為s.那末這個常力 所做功為 W=|F|s|cos, 其中|F|.|s|分別表示向量(矢量)的長度,為F與S的夾角.現(xiàn)在問題的難度是質(zhì)點所受的力隨處改變，而所

2、走路線又是彎彎曲曲.怎么辦呢？還是用折線逼近曲線和局部一常代變的方法來解決它(微分分析法).為此，我們對有向曲線作分割T二AoA.,代，代,即在AB內(nèi)插入n-1個分點MM?,.,M n4,與A=M0,B=Mn 起把曲線分成n個有向小曲線段Mi4Mi (i=1,2, ,n),以 Si記為小曲線段 MMj 的弧長.衆(zhòng)=max'Si.設(shè)力F(x,y)在x軸和y軸方向上的投影分別為P(x,y)與Q(x,y),即F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,由于記：Xi =Xi -x.y- 和 Cm! =(.：x,.：y)''''&#

3、39;'-i從而力F(x,y)在小曲線段MiMi上所作的功：F( , i)Cmi1i=P( i, j) + Q ( i, j),-i其中(i, j)為小曲線段Mi二Mi上任一點,于是力F沿C(AB)所作的功可近似nnn=送 Wi 瘁送(P(Sii)AXi +遲 Q(sU)Ayii 4idid當 > 0時，右端積分和式的極限就是所求的功，這種類型和式極限計算上述形 式的和式上極限，得W = abF (dx, dy), 即 W = lF ds.(二) 、穩(wěn)流場通過曲線(從一側(cè)到另一側(cè))的流量：解釋穩(wěn)流場.(以磁場 為例).設(shè)有流速場v(x,y)二P(x,y) , Q(x, y).求在

4、單位時間內(nèi)通過曲線 AB從左側(cè)到右側(cè)的流量E .通過曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的總流量E為ABdE = abP(x, y)dy-Q(x, y)dx.(三) 、第二型曲線積分的定義：設(shè)P,Q為定義在光滑或分段光滑平面有向曲線C上的函數(shù)，對任一分割T,它把C分成n個小弧段MjjMj ,1=1,23,n;記Mi(Xi,yJ, MiMj 弧長為，一 maxi Si，.咲二Xi - j, y = yi -，l=1,2,3,n.又設(shè)(i, j) MijMi ,若極限nnlim 二 p( i, i). ：xi+lim 二 Q( i, i). =yii di =1存在且與分割T與界點(i, j)的取法無關(guān)，則稱此極

5、限為函數(shù)P,Q有線段C上的 第二類曲線積分，記為.Pds Qdy或.Pds Qdy ,也可以記為cABPdx Qdy 或 Pds . Qdy.ccABAB注:(1)若記 f(x,y)=(P(x,y),Q(x,y) ,ds=(dx,dy)則上述記號可寫成向量形式：fdsc倘若C為光滑或分段光滑的空間有向連續(xù)曲線，P,Q,R為定義在C上的 函數(shù),則可按上述辦法定義沿有向曲線 C的第二類曲線積分，并記為cfds 二 P(x, y, z)dx Q(x, y,z)dy R(x,y,z)dz .c按這一定義,有力場F(x, y)二P(x, y) , Q(x, y)沿平面曲線從點A到點B所作的功為 W =

6、J Pdx+Qdy .流速場v(x, y) = (P(x, y) , Q(x, y)在單位時間內(nèi)AB通過曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的總流量E為E = Pdy -Qdx.AB第二型曲線積分的鮮明特征是曲線的方向性.對二型曲線積分有ABBA '因此，定積分是第二型曲線積分中當曲線為X軸上的線段時的特例.可類似地考慮空間力場F(x,y,z)二P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x, y,z)沿空間曲線AB所作的功.導出空間曲線上的第二型曲線積分ABP(x, y, z)dx Q(x, y,z)dy R(x,y,z)dz.(四) 、第二型曲線積分的性質(zhì)：第二型曲線積分可概括地理解為向量值函

7、數(shù)的積累問題.與我們以前討論 過的積分相比，除多了一層方向性的考慮外，其余與以前的積累問題是一樣的， 還是用Riemma勺思想建立的積分.因此,第二型曲線積分具有(R )積分的共 性，如線性、關(guān)于函數(shù)或積分曲線的可加性.但第二型曲線積分一般不具有關(guān) 于函數(shù)的單調(diào)性，這是由于一方面向量值函數(shù)不能比較大小，另一方面向量值 函數(shù)在小弧段上的積分還與弧段方向與向量方向之間的夾角有關(guān).(1) 線性性 設(shè)C為有向曲線,fds , gds存在,則LC*- R,則(f ：f)ds存在,且(f f )ds. fds ： . gds.cccc(2) 可加性：設(shè)fds存在，C=C2C2,= J fds, fds存在

8、,且*cc1c 2fds fds fds.c clc2注：(1)平面上光滑閉曲線如何規(guī)定方向呢？此時無所謂”起點”終點”若為封閉有向線段,則記為：. fdsc 設(shè)C是C的反向曲線(即C和C方向相反),則fds二fds 即是說第二類曲線積分與曲線的方向有關(guān)(注意第一類曲線積分表達示是函數(shù)f 與弧長的乘機，它與曲線C的方向無關(guān)),這是兩種類型曲線積分的一個重要差 別二、第二型曲線積分的計算：曲線的自然方向：設(shè)曲線L由參數(shù)式給出.稱參數(shù)增大時曲線相應(yīng)的方向為自然方向設(shè)L為光滑或按段光滑曲線,L : xYt), y V(t),.A(),'(),;函數(shù) P(x,y)和 Q(x, y)在 L 上連

9、續(xù),則沿 L 的 自然方向(即從點A到點B的方向)有P(x, y)dx+Q(x, y)dy = f b伴(t),屮(t)曙(t) +Q(®(t),屮(t)曠(t)!dt.(證略)注：起點參數(shù)值作下限，終點參數(shù)值作上限.xydx + (y -x dy例1計算l,其中分別沿以下路線從點A1,1到點B 2,3 ,i) 直線AB ;2ii) 拋物線 ACB : y =2(x-門 +1 ；iii) 三角形周界ADBA .解X=1+t, r 丿t 0,1 i) 直線 AB : J =r"2t,1xydx y -x dy .1 t 1 2t 2tdt 空故 AB= 0= 6 .ii) 拋

10、物線ACB : y=2(x-仃十1,仁x",1 J rJxydx+(yxdy j2(x T f+1 】+2(x T f+1x4(x T )dx 10ACB=3 .iii）三角形周界ADBA :xydx y - x dy xydx y - x dy xydx y - x dy xydx y 一 x dyADBA= AD+ DB+ Ba230xdx y -2 dy 1.1 t 1 2t 2tdt 2 . 025 _8=i+1+1= 26=3 .注：這里沿不同路徑積分值不同，而沿封閉曲線的值不為0.xdy + ydx例2計算l，這里：i）沿拋物線從到:jy沿拋物線y = 2x2 ;11沿直

11、線段：y = 2x ；111沿封閉曲線OABO .:解i）沿拋物線從到：1xdy ydx 4x 2x2 】dxL= 0=.1xdy + ydx f（2x+2xdxii）沿直線段：y =2x , L=0=.注：這里不同路徑積分值相同iii）沿封閉曲線OABO :xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydxL=OA+AB+ BO=0 2 _2 =0 .注：由于這里不同路徑積分值相同，造成沿封閉曲線的值為0。空間曲線時有：x 二 x t ,* y = y（t ） t L, B 設(shè)有空間光滑曲線：廠Z（t）起點為（x（g ）y©），終點為x ： ,y ： ,z ii則有：P

12、dx Qdy RzyLpPxt,yt,zt x t Qxt,yt,zt y t Rxt,yt,zt z t dt=:-注：仍為起點參數(shù)作下限，終點參數(shù)作上限.2Jxydx + (x + y dy + x dz例3計算第二型曲線積分l，是螺旋線：xacost,y=asi nt，z=bt 從 t=0 至 y t =兀上的一段。2Jxydx + (x+y dy+ x dz解LJIi a3 costsin2t a2cos2t-a2sintcost a2bcos21 dt=01 2-a 1 b 二=例4求力Fy，-x,xr，z作用下門 質(zhì)點由沿螺旋線至y所做的功，其中:x二acost , “asint , z=bt , 0乞亡2ii)