二項(xiàng)式定理的推廣與應(yīng)用

1、項(xiàng)式定理的推廣及應(yīng)用曲靖市麒麟高級(jí)中學(xué)車保勇摘 要二項(xiàng)式定理是在處理有關(guān)兩個(gè)兀素和的方冪問題時(shí)常?？紤] 到的一個(gè)重要公式.深入研究二項(xiàng)式定理的推廣及其用途，巧妙應(yīng)用，能 為許多數(shù)學(xué)問題提供另類解法，同時(shí)解決一些難度較大的問題.因此，進(jìn)步探討二項(xiàng)式定理的推廣及應(yīng)用仍是一項(xiàng)有意義的工作.但前人得出的 應(yīng)用范圍僅局限于求值、近似計(jì)算、整除、求余數(shù)、證明不等式等方面, 而且在推廣方面不夠完善，筆者對(duì)二項(xiàng)式定理的推廣作進(jìn)一步完善，系統(tǒng) 整理已有用途，并給出一種前人尚未提及的用途：即用二項(xiàng)式定理處理特 殊極限問題.縱觀全文，深入研究二項(xiàng)式定理的用途，不僅為一些數(shù)學(xué)問 題提供了另類解法，更重要的是拓寬了二項(xiàng)

2、式定理的應(yīng)用范圍.關(guān)鍵詞二項(xiàng)式定理推廣方幕應(yīng)用1引言二項(xiàng)式定理是在處理有關(guān)兩個(gè)元素和的方幕問題時(shí)常?？紤]到的一個(gè)重要公式.數(shù)式二項(xiàng)式定理表述為：（a+bcnanbr,（n,r-N,OMr<n）.它有著 rz0十分廣泛的應(yīng)用，遍及初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域 .認(rèn)真研究問題的條件 和結(jié)構(gòu)，把一些表面與二項(xiàng)式定理或推廣定理無關(guān)的問題作適當(dāng)變形，構(gòu) 造出二項(xiàng)式定理或推廣定理，再用其求解（證明），可使解題簡(jiǎn)潔明快.巧 妙應(yīng)用二項(xiàng)式定理或推廣定理，不僅為許多問題提供另類解法，還能解決 一些難度較大的數(shù)學(xué)問題.因此，把二項(xiàng)式定理進(jìn)一步推廣完善，并充分 研究其用途，拓寬其應(yīng)用范圍，仍是一件有意義的工作.2問

3、題的提出雖然學(xué)者們對(duì)二項(xiàng)式定理的推廣及應(yīng)用的研究取得了豐碩的成果，但 已有成果都存在兩個(gè)不足方面：一是推廣不夠完善；二是應(yīng)用范圍不夠廣.針對(duì)此情況，筆者試圖將其推廣進(jìn)一步完善，系統(tǒng)整理已有用途，并提出新的用途，拓寬其應(yīng)用范圍.3二項(xiàng)式定理的推廣二項(xiàng)式定理是在處理有關(guān)兩個(gè)元素和的方幕問題時(shí)常?？紤]到的一個(gè)重要公式.數(shù)式二項(xiàng)式定理表述為：(a+ b)n =C0an+ 川+0節(jié) +|i + C：bn =送 C；anbr,(n，飛 N,0 Er 蘭n)n-r =q其中Tr+=Cnra2br叫做二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，cn = n!叫做二項(xiàng)式系數(shù). 門(n r )!rn!Cn =而，(n，rN,且r+q=n)

4、.若令則3.1推廣一除遇到二項(xiàng)式外還常常遇到多項(xiàng)式問題，為便于應(yīng)用,在實(shí)際應(yīng)用中，(a+b+ c)n(n迂N)的展開式：現(xiàn)將其作推廣.先考察三項(xiàng)式(a + b + c)n =(a +b) + cn斗11+ cn(a+b 廠cr+)HRII + C；l+C：an3bq+(|)cr VII= lll+CnCnq討 Jbqcr +1(1若令n -r-q = p，便得到三項(xiàng)式(a+b+c)n(n N)展開式通項(xiàng)公式：CnCn-rapbqcr(p,q,r 亡 N且p+q+r= n),其中cncnn! (nr)!= n!叫三項(xiàng)式系數(shù).【2】r!( n-r ) q!( n-r -q ) r!q! p!類似地

5、可得四項(xiàng)式(a+b+c + d)n(nN)通項(xiàng)公式為afb'c'd p,q,r,s亡 N且p+q+r+s=n ),n!P !q!門s!其中稱四項(xiàng)式系數(shù).于是猜想m項(xiàng)式定理為：p!q!r!s!定理1(6 “2+|i + am)n =送：!alaillam ,山,n亡 N,k =1,2,川,m).ii 七和十mnllhHIIlrn!在證明之前，先分析一下上述定理的結(jié)構(gòu).如果像二項(xiàng)、三項(xiàng)那樣展 開求和或用歸納法證明，顯然十分繁瑣，于是考慮用排列組合知識(shí)進(jìn)行證 明.證明 設(shè)1 +a2 +|+am）n =2 f （rnOHlJmlag；2川a；m ,它的一般項(xiàng)可以這樣 得到，從n個(gè)式子（

6、a+&2+111+am），（a+&2中川+ am）中由1個(gè)式子里取a1有 C1種方法，再由剩下的nr1個(gè)式子中選2個(gè)式子取a2有C種方法，依次類 推，從最后的n-r1 D -川-rm_, =rm個(gè)式子中選am有C池 nm丄種方法.于是選 取這m個(gè)元素總共有Cdnc池If丄種方法，將所得元素相乘即為 alHam；，因此一般項(xiàng)系數(shù)為n - ri -忖- rm_J )!rm !心衛(wèi)川仏）乂8：11|心_ n!（n-r1）i （r1!（n - r1）! r2!（n - r1 -k'）!_ n!叨山咕！ 于是定理得到證明.這個(gè)結(jié)論結(jié)構(gòu)優(yōu)美，記憶簡(jiǎn)便，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)美.33.2推廣二r

7、 =0由數(shù)式二項(xiàng)式定理可得（1+x）n=Z cnxr,（n,rN,OGEn）.這里的n是正數(shù)， 當(dāng)指數(shù)為負(fù)整數(shù)時(shí)，又是什么情形呢？定理 2 當(dāng) -1 蘭X 蘭1 ,n為正整數(shù)時(shí)（1-x）=1 +；x + 2x2 +3x3 +111 + :xr+HInxr 其中n _n（n Kn+2）川（n+r Dr £r !證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=（1x）=丄,n1 -x右邊=1 +x +x2 +x3 +川=lim 1一 = ,Y1-x 1-x左邊=右邊，即上式成立.假設(shè)當(dāng)n = k時(shí)，有l(wèi)im（ 1x +：人2 +3 x3 +川 +:xr） = lim送:xr 成立，則當(dāng)n =k +1時(shí)，考慮

8、其中因?yàn)樗运?1x)(1 +Ex+k*x2 +3 竹 X3+HI+Lxr) =1+(嚴(yán)_1”+(嚴(yán)一嚴(yán)加2切|+(均-世氏一嚴(yán)申 =1 +1kx +kx2 +HI +C xr ：甲儀甲,jyi r (k+1)(k +2)川(k +r) r屮 (k+r)!卄£ ix =X =Xr!k ! r!(k+r)(k+r _1)川(r+1) r屮=Xk !” / ，八k r卡<(r +1) X ,型 r +1)=o ,limC% o,rC '71髮1 -x)(1+Fx+kTx2 +nx3+山+卄xr) =(1-X)兩邊同時(shí)除以1-x得1豎1 +kTx+rx2 +3Tx3 +山+

9、：卅£) =(1-X)f即當(dāng)n =k +1也成立.綜上所述，定理成立.3.3推廣三設(shè)mX1，對(duì)于多項(xiàng)式(1+x+x2切|+xm)n邁3jXj ,約定展開式中含xj項(xiàng)的系 數(shù) 3j = fm( n, j)xj，易得3 - f/n,j w = Cn.定理 3 設(shè)(1+x+x2)n =3o +3iX+32X2 +|i + 32nX2n，貝J(1)(2)(3)(4)(5)2n2 a3n ；j=0ai +a3+35+ 111 + a2nj =a2 +a4 +HI+a2n;ao +a3 +86 + IH=ai +a4 +a7 + 丨丨1= a2 + a5 +a8 +1丨丨=3“'； 當(dāng)

10、n 為奇數(shù)時(shí)，ao +34 +38 +111 = 32 +36 +aio +111 ； 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，3i +35 + 39 +111 = 33 + 37 +3ii 卄| .若令x=±1，則可得結(jié)論(1)和成立.(護(hù)=1)則有3o +時(shí) +32 時(shí) 2 +H)+32n 時(shí) 2n =0 ,即(3o +33 +36 + 丨1) +(31 +34 +37 +11網(wǎng) +(3235 +33 +山)豹2 =0 ,由復(fù)數(shù)相等的定義可知結(jié)論成立.令X"證明下面證明結(jié)論 和(5):令x=i則有in =a0 +0/ +a2i2 +|( + a?2",整理可得0 +04 +&

11、;8 +11) 2 +&6 + aio +IID +(ai +a5 + ag +|)何 +&7 +aii +|)i =in .當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，上式右邊為純虛數(shù)，所以左邊實(shí)數(shù)部分為0,即結(jié)論(4)成立; 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，上式右邊為實(shí)數(shù)，所以左邊虛數(shù)部分為 0,即結(jié)論(5)成立. 4二項(xiàng)式定理的應(yīng)用二項(xiàng)式定理是代數(shù)中的一個(gè)重要定理，恰當(dāng)應(yīng)用二項(xiàng)式定理和其推廣 定理可使一些復(fù)雜問題簡(jiǎn)潔化，困難問題簡(jiǎn)單化.4.1在求值問題中的應(yīng)用巧妙運(yùn)用二項(xiàng)式定理可使一些看似十分困難的求值問題簡(jiǎn)單化.例1用x表示實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分，若0=(5713+18)99，則aa的值為多 少？分析：此題表面看較為困難，

12、但若能發(fā)現(xiàn)0<5用-18<1，且(5 J13+18)(5 J13-18)=1，便能迎刃而解.解 令 b=(57i3-18)gg，因?yàn)?5(13-18嚴(yán)(0,1)，所以 (0,1),由二項(xiàng)式定理有a =(5屆+18)99 =cg9(573)99 +cg9(5/i3)98x18+|+。；/昕3)：/?5 13)98C89：9, 99 8b = (5屆18)99 =(9 (5用)99 -C99 (53)918+|+(-1)4(5屆)99匕18+|弋；8(5713)心898 弋99 1 899 ,因?yàn)?a-b =2£99(5713)98勺8+|弋；1899是正整數(shù)，所以a = b

13、,所以 aa = (57i3+18)99(57i3-18)99 =(5713+18)(5713-18)99 =1.在挖掘出倒數(shù)關(guān)系(5713+18)(5屆-18)=1的基礎(chǔ)上，巧妙構(gòu)造b = (5胡3 -18)99來替代是順利解題的關(guān)鍵.5】例 2 若(1 +x+x2)1000 的展開式為 ao+a1x + a?%2+ a2oooX2000，求ao+a3 + a6 +川+ 998的值.(2001年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)解令x=1，可得，JOooI3=ao +ai +a2 +11) + a2ooo ；令X =©，可得，(其中令xw2，可得0 =ao +印時(shí)+ a2 +11( + a2oo

14、o時(shí) 2000 ,O = -1 + i，則053=1，且 2+03+1=0);2 20 =ao + a,時(shí)2 +a2t/ +11( + a2oo 4000以上三式相加可得31000 =3(ao +a3 +a6 +Ili + sw),所以a。+ a3 + a6 +111 + a1998 = 3.對(duì)求有關(guān)二項(xiàng)式系數(shù)和的問題，常用賦值法.一般地，多項(xiàng)式(1)f(x)的各項(xiàng)系數(shù)和為f，奇次項(xiàng)系數(shù)的和為;f-fl;偶次項(xiàng)系數(shù)和為1Hf(1)+f(1) . 624.2在近似計(jì)算問題中的應(yīng)用求近似值問題常把二項(xiàng)式定理展開，根據(jù)精確度決定所取項(xiàng)數(shù)可使計(jì) 算簡(jiǎn)捷.例3 求(0.997)5的近似值(精確到0.00

15、1).分析：(0.997)5 =(1-0.003)5，簡(jiǎn)單構(gòu)造二項(xiàng)式定理模型，展開按精確度要求取前兩項(xiàng)計(jì)算便得符合條件的結(jié)果.解(0.997)5 =(1-0.003)5=1 -C5o.OO3 + C；(O.OO3)2 -lll-C?(0.003)5“ 一5咒0.003 =0.985 .4.3在整除與余數(shù)問題中的應(yīng)用二項(xiàng)式定理是解決整除和余數(shù)問題最有效的策略之一.例4 試證大于(1+73)2n( n-N)的最小整數(shù)能被2n整除.(第六屆普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）所以分析：由（1+妁2n聯(lián)想到其對(duì)偶式（173）叫（0,1），考慮二者之和即可. 證明因?yàn)?v1 >/3v1 ,（1-73）2n-（o,1

16、）.由二項(xiàng)式定理可得（1 + 軸2n +（1 V3）2n =2（3n +c2n32+川）2k=(1 +/3)2n +(1-V3)2n =(1 + 73)2n(1 _ 73)2n=2n(2+73)n +(2-73)n,是偶數(shù)，記為2k（"N），貝y大于（W3）2n的最小整數(shù)為2k . 又因?yàn)橛啥?xiàng)式定理知(2+J3)n+(2-軸n是偶數(shù)，記為 2k1(k1 迂 N),所以2k=2nS .即命題得證.今天是星期日，再過10100天后是星期幾？分析:此題實(shí)質(zhì)是求10100除以7后的余數(shù)問題.10100 =10050 =(98+ 2)50= C； 90 85 半C 50 則4 92 C +

17、5 o9 >8C 2+ 5 0 2 因?yàn)榍?0項(xiàng)都能被7整除，只需考查250除以7所得余數(shù).250 =4X248 =4816 =4X(7 +1)16= 4C0 6 17羊C 1 117+ 1 5C 1 7C于是得余數(shù)為4，故10100天后是星期四.4.4在不等式問題中的應(yīng)用利用二項(xiàng)式定理證明不等式，是二項(xiàng)式定理的一個(gè)重要應(yīng)用.一般情 況，在二項(xiàng)式展開式中取舍若干項(xiàng)，即可將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系，從 而獲得相關(guān)不等式.特別在有關(guān)幕不等式和組合不等式方面有獨(dú)特作用.1 1例 6 求證：2<（1 +- ）n3-p,（ n 迂 N）.n218證明由二項(xiàng)式定理得1(1+n(1+)n = C0

18、 + cnl +Cn2 丄+川 +C：4n n ,n nn2 1i +1 +Cn +川n>2 .+Cn1 1+Cn221+iH+Cj1in1 n11n 2112=2+-(1-)+-(1 - )(1-)+ 川+ -(1-)(1-)訓(xùn).(12!n3!n nn!nn口)n111<2+丄+丄+川十丄 2!3!n!111小1蘭2+2十歹+歹+川+尹 =3-12根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行實(shí)際取舍相關(guān)項(xiàng)是這類題的關(guān)鍵.n_J例7設(shè)a,b壬R +, 分析：設(shè)a =s +d，L “a+ bj a +binn 匸 V,求證:>.2 2b=s-d , (s,d 亡 r+且 s>d)，貝J a+ b=2

19、s ,再用二項(xiàng)式定理解題.證明 設(shè)a =s +d，b =s-d， (s,d 迂 r+且 s>d)，于是有an +bn =(s + d)n+(s-d)n= 2C0sn+C：s2d2+M>2sn ；又因?yàn)樗詀 + b =2s ,an+bn、2sn n a+b、n工一=s =.2 2 2即題目得證.此題表面看似乎與二項(xiàng)式定理無關(guān)，但做換元后便露出其本質(zhì).a +b結(jié)論也可以寫成 苗.在高中數(shù)學(xué)教材不再介紹數(shù)學(xué)歸納法的情V 22況之下，二項(xiàng)式定理是證明這一不等式簡(jiǎn)捷且有效的途徑.8-13】例8設(shè)a,bR+,且1 +1 .求證：對(duì)每個(gè)自然數(shù)n忘N都有a b(a+b)n -an -bn >

20、;22n-2n+. (1998年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)分析：因?yàn)閍,b迂R +,且1 +a/, I X n n 1 n(a + b) -a -b=1 a心b+ abn再利用均值不等式求證.證明由及二項(xiàng)式定理得冷，所以屁2 ；na2 弘 3誠(chéng) iC2 +( nabkn-a) nb C仁丄+丄二二二屆二2 , a b Jab(a +b)n 冷-L：4abn+cnbn-an-bnn _2 2- n_2 , n-n= C0an +怖宀 +|H + C小1 n X , 2 n _2. 2 , i I I ,小 n 2 2. n_2 .nj .= Cna b + Cna b +|+Cnab +Cn ab1

21、r/ n,1 nc1, / n_2, 2,2.n_2c2 , ijj, , , nJ , nd,x n,= (a b+ab )6+(a b +a b )Cn+m+(ab +a b)Cn 2 >7(cn+c：+iH+cn)>2n (2n -2) =22n -2n .本題一般用數(shù)學(xué)歸納法證明，但用二項(xiàng)式定理結(jié)合基本不等式證明更簡(jiǎn)捷明快.4.5在多項(xiàng)式問題中的應(yīng)用在實(shí)際應(yīng)用中，除遇到二項(xiàng)式問題外還常常遇到多項(xiàng)式問題，利用推廣定理可使解題方便快捷.例10求(3x+2y -z)7的展開式中含x3y2z5的項(xiàng).解 直接應(yīng)用推廣定理1有(3x+2y-z)7的展開式中x3y2z5項(xiàng)為 7!(3x)3(2 y)2(z)5 =378x3y2z5 .3!2!5!例11求(2x3 -x -1)8中x4的系數(shù).分析：直接展開項(xiàng)數(shù)太多，顯得冗長(zhǎng)復(fù)雜，利用定理1可快速解決.pqr®) Prq(十2 P(廿命x2 pF的通項(xiàng)為解(2x'X1)8"EH