(完整版)高中數(shù)學公式大全完整版

1、高中數(shù)學常用公式及常用結論1 .包含關系AI B A AUB B ABCUBCU AAI CUBCU AUBR2 個.集合a，a2,L ,an的子集個數(shù)共有2n個；真子集有2n - 1個；非空子集有2n - 1個；非空的真子集有2n - 23 .充要條件(1)充分條件：若p(2)必要條件：若q(3)充要條件：若q ,則p是q充分條件.p ,則p是q必要條件.q,且q p,則p是q充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然4 .函數(shù)的單調性(1)設 X1X2a,b ,X1X2那么(XiX2 )f(Xi) f(X2)(XiX2)f(Xi) gf(X1)f(X2)X1 X2f(

2、X1) f(X2)X1 X2f (X)在a,b上是增函數(shù);f (x)在a,b上是減函數(shù).(2)設函數(shù)y f (x)在某個區(qū)間內可導，如果 f (x)0,則f(X)為增函數(shù)；如果f (x) 0,則f(X)為減函5 .如果函數(shù) f(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內，和函數(shù)f (x) g(x)也是減函數(shù)；如果函數(shù)f (u)和u g(x)在其對應的定義域上都是減函數(shù)6 .奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于，則復合函數(shù)y fg(x)是增函數(shù).y軸對稱；反過來，如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).7

3、.對于函數(shù) y f (X)( X R), f(x a) f (bX)恒成立，則函數(shù)f (X)的對稱軸是函數(shù) Xa b_;兩個函2數(shù)y f (x a)與y f (b x)的圖象關于直線x8 .幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)(1) f(x)f (x，f(Xa)a),貝U f (x)的周期T=a; 1(f (x) 0),或 f (X f(x)a)1f(x)(f(x)0),貝 U f(x)的周期 T=2a；9 .分數(shù)指數(shù)哥m(1) ana 0,m, n N ,且 n 1).(2)(a 0,m, n N，且 n 1).10 .根式的性質(1) (n/a)n a. (2)當 n 為奇數(shù)時，Vana

4、；當n為偶數(shù)時，Van |a|a,a 0a,a 011.有理指數(shù)哥的運算性質r s r sr、s(1) a a a (a 0,r, s Q) .(2) (a )12.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式log a N b ab.負數(shù)和零沒有對數(shù)，.1的對數(shù)等于0： loga1rs *a (a 0, r,s Q) .(3)N (a 0,a 1,N 0)0 ,.底的對數(shù)等于(ab)r1： log a a.積的對數(shù)：log a (MN ) loga M logaN,商的對數(shù)：loglog a Mr _b (a 0,blog a N ，0,r Q).n一loga b m哥的對數(shù)：log a M n nlog a M

5、 ； logam bn13.對數(shù)的換底公式log a Nlogm N(a 0,且 a 1, m log ma0,且m1, N0).推論log am bn , logab( am0,且 a 1, m,n 0,且 m1, n1,N 0).15. an0,Snsn 1,n（數(shù)列an的前2n項的和為sna1a2an).16.等差數(shù)列的通項公式an a1 (n1)ddn a1d(n其前n項和公式為snn(a1 an)2na1n(n 1)d(a11 d)n.217.等比數(shù)列的通項公式nana1qn /q (n其前n項的和公式為sna1(1n Uq1或sna1aq,qna1,q18.同角三角函數(shù)的基本關系式

6、.22sinsin cos 1 , tan =na1,q 119正弦、余弦的誘導公式sin(n1)2 sinn 1cos(n為偶數(shù)）1) 2 cos(n為奇數(shù)）20和角與差角公式sin( cos(sincoscossintan(cos cosmsin sintantan1 mtan tan172 . ,asin bcos = . a b sin(）（輔助角所在象限由點（a,b）的象限決定,tanb). a21、二倍角的正弦、余弦和正切公式: sin22sin cos . cos222cos sin2cos21 2sin2/ 2(cos1 cos2 . 2 ,sin2cos2)2 tan22ta

7、n1 tan222.三角函數(shù)的周期公式函數(shù)y sin(),x e r及函數(shù)cos( x，一，一一 一一 2為常數(shù)，且Aw 0, 3>0）的周期丁 ;函數(shù)y tan( x),（A, 3為常數(shù),且 Aw 0,co > 0)的周期T23.正弦定理sin A sin B24.余弦定理sin C2R.222_22a b c 2bccosA; b c22a 2ca cosB; c2.2a b2abcosC .11125 .面積te理 s absinC bcsinA -casin B (2). 22226 .三角形內角和定理.一 一C A B在 4ABC 中，有 A B C C (AB) - -

8、 2C 22(A B).22227 .實數(shù)與向量的積的運算律設入、科為實數(shù)，那么(1)結合律：入(a)=( X ) ) a;(2)第一分配律：(入+ w)a=X a+a; (3)第二分配律：入(a+b產(chǎn)入a+入b.28 .向量的數(shù)量積的運算律： c.(1) a - b= b - a (交換律);(2) ( a) b= (a b) = a - b= a ( b) ;(3) (a+b) c= a c +b30 .向量平行的坐標表不設 a=(X1, y)，b=(X2, y2),且 b 。，則 aPb(b 0)x1y2 x2% 0.31 . a與b的數(shù)量積(或內積)a b=| a| b|cos 0 .

9、32 .數(shù)量積a - b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos0的乘積.33.平面向量的坐標運算 設 a=(x1,y)，b=(x2, y),則 a+b=(x X2, y 幻.(2)設 a=(x1,y)，b=(x2, y?)，則 a-b= (x1 x?,1 y?). uuu uuu um設 A(x1,y3 B(x2,y2),則 AB OB OA 乂 為呈 y) (4)設 a=(x, y), R ,則 a=( x, y).(5)設 a=(x1,y)，b=(x2,y2)，則 a b= (x ym).34.兩向量的夾角公式 cos ,"X；嗎22(a=("，丫。，b

10、= (x2, y2).,x2 y2x2y2uuuuunuuu35 .平面兩點間的距離公式dA,B = |AB| 4AB AB7(x2xT(y2yj2(A(x1,y1), B(x2,y2).36 .向量的平行與垂直設 a=(x，y)，b=(x2,y2),且 b 0,則A| b b=X ax1 y2 x2y1 0.a b(a 0) a - b=0x1x2y1y20.37 .三角形的重心坐標公式 ABC三個頂點 的坐標分別為A(x1,y 1)、 B(x2,y 2)、 C(x3,y 3)，則 ABC的 重心 的坐x1G(-x23x3%y2y3)3422x a x a設。為 ABC所在平面上一點，角 A

11、, B,C所對邊長分別為a,b,c,則(1)。為ABC的外心(3) O為 ABC的垂心UUU2 UULIT2 UUU2OA OB OC . (2)。為 ABC 的重心 uuu uut uuu uuut UUir uuuOA OB OB OC OC OA.uuuOAUUUOBuuurOCr 0.y時和x y有最小值2，p ；(2)若和x y是定值s,則當x. 1 2y時積 xy有取大值 一s .38 .常用不等式：22(1) a,b R a2 b2 2ab (當且僅當 a = b 時取"=”號).(2) a,b Rab 而(當且僅當a=b時取"=”號).2(3) a b a

12、b a b .39已知x,y都是正數(shù)，則有(1)若積xy是定值p ,則當x40 .含有絕對值的不等式當a> 0時，有x ax2 a41 .斜率公式 k y-y1 (R(x，yi)、P2(x2,y2). x2 xi42 .直線的五種方程(1)點斜式 yy1k(xx1)(直線l過點P1(x1,y1),且斜率為k).(2)斜截式 y kx b (b為直線l在y軸上的截距).(3)兩點式y(tǒng) y1y2y1xx2土x1(y1y2)( P1(x1, y1)、P2(x2, y2) ( x x?).(4)截距式(5) 一般式x y . y 1( a b分別為直線的橫、縱截距，a bAx By C 0(其中

13、A、B不同日為0).a、b 0)43.兩條直線的平行和垂直若 11： ykxb1 , I2: ykzxb2 l1 |l2k1 k2,b1 b2； 1112k1k21.(2)若 111Ax By C10,12 : A2xB2y C20,且A1、A2、B1、B2都不為零， 11 | 121 ; 1112 A1A2B1 b2 0 ;A2B2C2(11： AxB1y C10,12： A2xB2y C2041AB1B20).直線1112時，直線11與l2的夾角是一.245 .點到直線的距離 d 1Ax； By0 CJ (點 P(x0,y0),直線 1： Ax By C 0 ). ,A2 B2O1O2dQ

14、,半徑分別為1,2,46 .圓的四種方程2(1)圓的標準萬程 (x a)(2)圓的一般方程 x2 y247 .直線與圓的位置關系直線Ax By C 0與圓(xd r 相離 0; dd r 相交 0.其中d48 .兩圓位置關系的判定方法設兩圓圓心分別為 Q,22(y b) r .22Dx Ey F 0( D E 4F >0)a)2 (y b)2 r2的位置關系有三種r 相切 0;Aa Bb C工 A2 B2dr1 r2外離 4條公切線；dr2 外切3條公切線1條公切線r1r2dr1r2 相交2條公切線；dr1r2 內切0 d r1 r2內含無公切線.49 .圓的切線方程已知圓x2 y2 D

15、x Ey F 0 . (2)已知圓x2 y2 r2.過圓上的P0(x0,y0)點的切線方程為x°x2250 .橢圓、y- 1(a b 0)的參數(shù)方程是 a2 b22251 .橢圓 4 1(a b 0)焦半徑公式 a b52 .橢圓的的內外部2y°y r ；x a cos .y bsin 22一a 一 aPF1e(x )，PF2 e(x).cc2一x(D點P(xo,yo)在橢圓一2 a2,x(2)點 P(xo,yo)在橢圓一2 a220)的內部 含吟1.a b22,x0y00)的外部-2 21.a bx2y2.53.雙曲線與 2r 1(a 0,b 0)的焦半徑公式 a b54

16、.雙曲線的方程與漸近線方程的關系(1 )若雙曲線方程為2 y_ b22 x 漸近線方程：a(2)若漸近線方程為bxa若雙曲線與55.拋物線2 x2 a2 y2 y b11有公共漸近線,2 px的焦半徑公式PFi2 y_ b20雙曲線可設為可設為2 x-2 a2 y b1|e(x2 x-2 aby x.a2y了拋物線y2過焦點弦長2 px(p0)焦半徑CFXoCDxiPx22xix256.直線與圓錐曲線相交的弦長公式ABy kxF(x,y)322.(1 k2)& X)2 |xib消去y得至ij ax2 bx0AB , (xi x2)2 (yi y2)2 或x2 | . 1 tan22 a

17、 |e( x)|. cx軸上， 0,焦點在y軸上).|y y21Ji cot2(弦端點 A(xi, y。B(x2, y?),由方0,為直線AB的傾斜角，k為直線的斜率)57(1)加法交換律：a+b=b+a. (2)59共線向量定理對空間任意兩個向量 a、b(bw0 ),P、A B三點共線 AP|AB60.向量的直角坐標運算加法結合律:a / b uuuAP設 a= (a1，a2,a3), b= (bbh)則 a + b=(ai 白色 b2,a3 bs)； (4) a b= a1bl a2b2 a3b3 ；(a+ b) +c=a+ ( b + c). (3)數(shù)乘分配律:存在實數(shù)入使a=入b .u

18、uu tABuuruuu uuuOP (i t)OA tOB .入(a+ b)=入 a+ 入 b.(2) a-b= (aibi,a2b2,a3 b3) ; (3)入 a= ( ai,a2, a3)(入 e R)；UUT61.設 A(x1，yi,zi) , B(x2, 丫2?2),則 AB62.空間的線線平行或垂直uuuOBuuuOA =xl y" zi).r設 a (K,yi,4)，63.夾角公式b I, y2Z),則 axx2y1y2Z1Z20.設 a= (ai, a2, a3),b= (b),b2,b3),貝U cosa,b>r r64.異面直線所成角 cos|cos(a,

19、b)| 二|a|(其中(0°90°)為異面直線r|b| r ra2 a2 , b2b2 b；小2y1y2ZiZ21222. xiyizia, b所成角,a,b分別表示異面直線222,x2y2Z2a,b的方向向量)65.直線AB與平面所成角uur itarc sin iaib mT (m 為平面|AB|m|的法向量).66.二面角l的平面角it rm n 5arc cos-tr或 |m|n|it r m n arc cos-tr-r- |m|n|urr(m , n為平面的法向量).134.空間兩點間的距離公式uuu uuu uuu 若 A(xi, yi,Zi) , B(x2,

20、 y2,Z2),則 dA,B=|AB| vAB AB 7區(qū) x)67.球的半徑是R,則2 (y2 yi)2 (Z2 zi)2.其體積V 4 R3,其表面積S 4 R2 .3、6a.41-Sh ( S是錐體的底面積、3h是錐體的高)球與正四面體的組合體：棱長為a的正四面體的內切球的半徑為a- a，外接球的半徑為168V柱體 _ Sh ( S是枉體的底面積、h是枉體白局).V錐體 369 .分類計數(shù)原理(加法原理)N m1m2 Lmn.mn70 .排列數(shù)公式An =n(n 1) (n m 1)=.( n , meN,且m n).汪:規(guī)定 0 1.(n m)”.人物八 八m Am n(n 1) (n

21、 m 1)n*71 .組合數(shù)公式Cn = =(nCN, m N,且 m n).Am1 2 m m! (n m)72 .組合數(shù)的兩個性質(1) Cnm=C； m ;(2) Cm + Cm Lca .注:規(guī)定c01.nm n m 1cm1/c、Cm n Cm./Q、Cm ncm1r _ on155 .組合旦寺式(1)Cn Cn ;(2)Cn Cn1;(3)CnCn1 ;(4) Cn =2 ;mn mmr 0156 排列數(shù)與組合數(shù)的關系Amm! Cnm .157 單條件排列以下各條的大前提是從n個元素中取m個元素的排列.(1) “在位”與“不在位”An at (著眼位置)某(特)元必在某位有 Am；

22、種；某(特)元不在某位有 Am Anm；(補集思想)Anm1 AmAnv(著眼元素)種.(2)緊貼與插空(即相鄰與不相鄰)定位緊貼：k(k m n)個元在固定位的排列有 AfAmJ種.浮動緊貼：n個元素的全排列把 k個元排在一起的排法有 Ann J 11A；種.注：此類問題常用捆綁法;插空：兩組元素分別有 k、hj(k h 1),把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有AhAhk 1種.(3)兩組元素各相同的插空m個大球n個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？An 當n m 1時，無解；當n m 1時，有m-1An(4)兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和75.分配問

23、題cm 1種排法.n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為Cn -m n .(平均分組有 歸屬問 題)將相異 的m、n個物件等分2n m個人，各得n件，其 分配方法 數(shù)共有n cmnCn cn -Cmn n C mn 2nn n(mn)!C2n Cnm(n!)CnNCmn其分配方法數(shù)共有(平均分組無歸屬問題)將相異的m n個物體等分為無記號或無順序的m堆,cn cnn cnCmn n Cmn 2n C2n Cn(mn)!m!m!(n!)m .(3)(非平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2+L +nm)個物體分給m個人，物件必須被分完，分別得到n1, n2,，nm件，且n1, n2,，nm這m

24、個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有 N C ；13:。= m! 四一. n nnn n nnnp p "1" mn1 !n2!.nm!n 0 n 1 n 12 n 2 2r n r rn n76 .一項式te理 (a b)CnaCna b Cna b Cna bCnb ;二項展開式的通項公式 Tr1 Cnan rbr (r0,1,2 ,n).77 .n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率Pn(k) C：Pk(1 P)n k.78 .離散型隨機變量的分布列的兩個性質(1) P 0(i 1,2,L ); (2) P, P2 L 1 .79 .數(shù)學期望 Ex1P x2P2 L

25、xnR L80.數(shù)學期望的性質(1) E(a b) aE( ) b. (2)若 B(n,p),則 E np .22281 .萬差 Dx1 Ep1x2 Ep2 L xn E pn L 標準差 二、；D .82 .方差的性質(1) D a ba2D ； (2)若B(n, p),則 D np(1 p).dy dfy f (x x) f(x)83. f (x)在(a,b)的導致 f (x) y 一 一 lim limdx dx x 0 x x 0x84.函數(shù)y f (x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義函數(shù)y f (x)在點x0處的導數(shù)是曲線y f (x)在P(x0, f (x0)處的切線的斜率f (x0),相應的切線方程是y y0f (x0)(x x0).85.1. 種常見函數(shù)的導數(shù) C 0 (為常數(shù)).(2) (xn) nxn 1(n Q) .(3) (sin x) cosx.,1x1x x x x(4) (cosx) sin x (5) (ln x) 一； (log a )(6) (e ) e ; (a ) a ln a.xxln a86.導數(shù)的運算法則''''',、,',U ' uv uv ,