線面垂直習(xí)題精選

1、WORD格式專業(yè)資料整理實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)線面垂直的證明中的找線技巧 通過計(jì)算，1 如圖 1 ，在正方體運(yùn)用勾股定理尋求線線垂直ABCD A 1B1C1D1MCC1證明：連結(jié)， A1MMO中，的中點(diǎn)，ACBD于點(diǎn)O，證求：A1ODB A1 A DB AC A1AAC A面DB平A1 ACC1，而設(shè)為正方體棱長，則在 Rt A1C1MAO12A1OA1MMBD平面 A1ACC132a29 2， MO 22A1ODB32a 42MOA1MOM平面MBD如圖是所在平面外的一點(diǎn)，平平求2 2 ，且平面 面面證： 平面有時(shí)可以利用棱長、角度大小等數(shù)據(jù)，通過計(jì)算來證明PABCABCPACPBCPADB=O， A1O

2、 平面評(píng)注：在證明垂直關(guān)系時(shí)， 利用面面垂直尋求線面垂直PAC證 明：在平內(nèi)作因面為平 交于A，D且 P兩C平 面交PC DPAC 平 面PBCAD BC面PA還可平且PACAD PC平面ABC BCPA=A， BC平面 PAC分別與線相交直BCABCPC 由面面垂直的性 質(zhì)，得PA BCAD AC平面ADPBCBCBC平面PBC AD垂直，從而得到平面BCPAC 評(píng)注：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條 條納入一個(gè)平面 中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直在空間圖形中 垂直關(guān)系中蘊(yùn)含 著低一級(jí)的垂直關(guān)系，通過本題可以看到，面面 垂直級(jí)的直線線面垂直

3、線線垂直系一為般：來說線線，線垂直線垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為線面垂直來分析解決，其關(guān)判定線面垂直判定 面面垂直這三者性質(zhì) 性質(zhì) 之間的關(guān)系非常密切，可以互相轉(zhuǎn)化，從前面推出后面是判定定理，而從后面推出前面是性質(zhì)定理同學(xué)們應(yīng)當(dāng)學(xué) 會(huì)靈活應(yīng)用這些定理證明ABCDSA ABCD3 如圖所平 ，示，為正方形，面過AG SD 問題下面舉例說明證明： SA 平 ABCD證求：AE SB面SA BC ABBCBCSAB AESABBC AESC AEFG SC AE，平又平 平 ，面面 ， 面 AE SBC AESBAGSD同理可平面 證評(píng)注：本題欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化

4、中，平面起到了關(guān)鍵作用，同學(xué)們應(yīng)多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實(shí)現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化4 如圖，在三棱錐 BCD中， BC AC， AD BD，作BE CD，為垂足，作 AH BE 于求證： AH平面 BCD證明：取 AB 的中點(diǎn) ，連結(jié) CF， DF ACBC ， CFAB ADBD ， DFAB CFDFF ，ABCDF又平面CD平面CDFCDAB又 CDBE，BEABB ， CD平面ABE，CDAH AHCD，AHBE，CDBE E ，AH平BCD面文案大全AB PAABCAE PC PBAEF如圖是的直是圓周上一平為垂上任意一點(diǎn)，求證：平5 ，圓徑，點(diǎn)，面若， 為足垂，是 平面面

5、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn) 評(píng)注：本題在運(yùn)用判定定理證明線面垂直時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；而證明線線垂直時(shí)，又轉(zhuǎn)化為證 明線面垂直如此反復(fù)，直到證得結(jié)論P(yáng)BC 證明： ACPAPA平面BCAB 是圓 的直徑，BC 平 ABC 面， APC 平面 ABC BCBC平面PBC平面 APC ，平面AE PC 面平AEBC 面平BCPBC 平APCPBC PCPBC，平平面 AE AEF AEF PBC 評(píng)注：證明兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平 面的垂線， 已知條件出發(fā)尋找線線垂直的 關(guān)系6 空間四邊形 ABCD 中，若 AB CD， BC AD，求證： .AC BD平面C 證明：過 A 作 AO平面

6、 BCD 于 O證明：過 A 作 AO平面 BCD 于 O即證線面垂直， 則需從而證線面垂直于是 BD CO BD ACAB CD， CD心7. 證明：BC1D在正方體ABCD A1B1C1 D1 中， A1 C 平面D 1A 1BCDOBO同理BO 同理 BC DOC1B 1A 證明：連結(jié) ACBD ACAC 為 A1C 在平面 AC 上的射影BD A1CA1C 平面 BC1 D 同理可證 A 1C BC1D8. 如圖，PA平面 ABCD，ABCD 是矩形，M、 N 分別是 AB 、 PPC 的中點(diǎn)，求證：MN ABNDCA MB/ 1ENDC. 證： 則取PD 中點(diǎn) E ，2文案大全實(shí)用標(biāo)

7、準(zhǔn)EN / AMAE/MN又 CD ADCD 平面 PADCD / /ABMN ABPA 平面 ACAE 平面 PADAE /MN如圖在 ABC中， ADBC， ED=2AE，過 E 作 FG BC，CD AE平面 A'BC9 證 :A'E且將 AFG沿 FG 折起，使 A'ED=60 °，求分析： 弄清折疊前后，圖形中各元素之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。解：FG BC， AD BC A'E A'E 設(shè) A'E=a，則 ED=2a 由余弦定理得：2 2 2A'D =A'E +ED-2 ? A'E ? EDcos60

8、2=3a ED2 =A'D 2 +A'E 2 A'D A'E A'E 平面FGBCA'BC10 如圖,在空間四邊形=90分析要證證明證要AN BCSC SA平面, 平面,SABC SA ABCABCAN SB于證: AM SC證轉(zhuǎn),平面平面,ANMABC SA BCBCB證轉(zhuǎn)CSAB垂直于平 面SC內(nèi)的兩條相交直線 ,ANMSC AM SC ANCDF平 面AN BC; SCANM平 , 就可以 面 了。且=BC AB AB SA A BC 平面 SAB AN 平面 SAB AN BC AN BC, AN SB , 且 SB BC= B 平面 S

9、BC, 轉(zhuǎn)證 SC ANAN SBC平面AN SCC平面 SBC AN SC 又 AM SC, 且 AM AN= A SC 平面 ANM11 已知如圖， PBPC=90 °求證：平面平面 ABC，ABC平面PA=PB=PC， APB= APC=60°，PBCPA=PB； APB=60° 在 RT BPC中， PB=PC=aBC= 2 aPD= 2 a在 ABC 中 AD= ABBDBC中點(diǎn) D，證明 AD 垂直平 PAB為正三角形分析：要證明面面垂直，只要在其呈平面內(nèi)找一條線，然后證明直線與另一平面垂直即可。顯然PBC即可 證明：取 BC 中點(diǎn) D 連結(jié) AD、

10、PD同理 PAC為正三角形設(shè) PA=a文案大全aAD2+PD2=實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)2 222=AP2 APD 為直角三角2 a 2 a =a 形即AD DP又 ADBC2 2 AD平面 PBC平面 ABC平面 PBC13 以 AB 為直徑的圓在平面內(nèi)， PA于 A ， C 在圓上，連PB、 PC過 A 作 AEPB于 E ， AF PC于 F ，試判斷圖中還有幾組線面垂直C解：PAPABCBCBC面 PACAFBCAF面 PACAB 為直徑 ACBCAFPCAFPBAF面 PBCAE引三條長度相等但不SC，且PBASB=ASC=6°0 ， BSC=9°0 ，求證：例 1 如圖 9 3

11、9 ，過 S 共面的線段【證明】 SB=SA=SC，AO、 SO， 則 AO BC ， SO BC ，SA、SB、 面 BSCASB=ASC=60° AB=SA=AC取 BC 的中點(diǎn)O，連 AOS 為二面角的平面角，設(shè)SA=SB=SC=，a又 BSC=90°， 2 a ，BC= 2SO= aPB面 AEF 平面 ABC平1 12 2 2 2 2 2 2 2 2AO=AC OC=a 2 a = 2 a ， SA=AO+OS， AOS=90°，從而平面 ABC平面 BSC 【評(píng)述】要證兩平面垂直，證其二面角的平面角為直角這也是證兩平面垂直的常用方法例 2如圖 9 40

12、 ，在三棱錐S ABC中， SA平面 ABC，平面 SAB平面 SBC圖 9 40（1）求證： AB BC；（ 2 ）若設(shè)二面角 S BC A 為 45 °， SA=BC，求二面角 A SCB 的大?。?）【證明】作 AH SB 于 H，平面 SAB 平面 SBC平面 SAB平面 SBC=SB， AH平面 SBC，又 SA 平面 ABC， SA BC，而 SA 在平面 SBC 上的射影為 SB， BC SB，又 SA SB=S， BC平面 SAB BC AB （2）【解】 SA 平面 ABC，平面 SAB平面 ABC，又平面 SAB平面 SBC， SBA 為二面角S BC A 的平面

13、角， SBA=45°設(shè) SA=AB=BC=a，作 AESC于 E，連 EH，則 EHSC， AEH為二面角 A SC B 的平面角，而 AH= 2 a，AC= 2 a ， SC= 3 a，AE= 3 a3 sin AEH= 2 ，二面角 A SC B 為 60 °【注】三垂線法是作二面角 的平面角的常用方法例 3 如圖 9 41 ， PA平面 ABCD，四邊形 ABCD 是矩形， PA=AD=a， M、 N分別是 AB 、 PC的中點(diǎn)文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（1）求平面 PCD 與平面 ABCD 所成的二面角的大小；（ 2 ）求證：平面 MND平面 PCD（1）【解】 PA 平面

14、ABCD， CD AD，PDCD，故 PDA 為平面 ABCD與平面 PCD所成二面角的平面角，在 Rt PAD中， PA=AD， PDA=45°1（2）【證明】取PD中點(diǎn) E，連結(jié) EN ，EA，則 EN 2 CD AM，四邊形 ENMA是平行四邊形，EA MNAE PD，AE CD， AE平面 PCD，從而 MN平面 PCD， MN 平面 MND，平面 MND平面 PCD【注】 證明面面垂直通常是先證明線面垂直，本題中要證MN平面 PCD 較困難，轉(zhuǎn)化為證明AE平面 PCD 就較簡單了另外，在本題中，當(dāng) AB 的長度變化時(shí)，可求異面直線 PC與 AD 所成角的范圍例 4如圖 9

15、42 ，正方體 ABCDA1B1 C1 D1 中， E、 F、 M、N 分別是 A1 B1 、BC、C1D1 、 B1C1 的中點(diǎn)由三垂線定理 MH EF， MHN是二面角 M EFN 的平 得 面角在圖 9 42（1）求證：平MNF平面 ENF（ 2 ）求二面角MEF N 的平面角的面正切值M、N、E 是中點(diǎn)， EB（1）【證明】1B1 NNC1C 1M ENB 1MNC1 45MNE 90即 MN EN，又 NF平MN11平面 A 1C1 MN NF，從而 MN平面平面面A C ，ENF MNMNF，平面 MNF平面 ENF（2）【解】過N作 NH EF 于 H ，連結(jié) MH MN平面EN

16、F， NH 為 MH 在平面 ENF內(nèi)的射影，2 3MN66 tan 2 ，即二面角MEFN的平面角的正MHN=NH切值為2 例 5 在長方體ABCD A B C D中，底面2 的正方形，側(cè)棱長， E、F 分別是 AB 、 CB 的中點(diǎn)，求ABCD是邊長為為證：平面 D EF1 1 1 131 1 1Rt MNH中，求得MN= 2a， NH= 3 a，平面 AB1C【證明】如圖943， E、 F 分別是 AB1、CB1 的中點(diǎn)，圖 9 43 EFAC AB1=CB，O為 AC 的中點(diǎn) B O AC故 B O EF在 Rt B BO 中， BB= 1 1 1 1 1BO=13 BB1O=30&#

17、176;，從而 OB1D1=60°，又 B1D1=2， B1 O1 = 2 文案大全OB1=1（O1 為 BO與 EF 的交點(diǎn)）DCC1 C1D1 與側(cè)面AB1 C ，平面 的直平行六面體D1 所成角的正弦值為 于 G， D1 B1O1 是直角三角形，即 O 1棱 則對角 【解】 CG，實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)B1OD1 O1 ， B1 O平面 D1 EF又D1EF平面 AB1CABCD A1B1C1 D1 中， BAD=60°由于該平行六面體是直平行六面體，A1 G平面 D1 C ，連結(jié)1 1 11 1 ° ·3 而· sinG=2sin6 ° &

18、#183; AG= A D A D0 =2 2 =2222221222( 1) 232 22 1 A1 AACAC= ABBC2 AB BC cos120 =A C=3A1G3 3的中點(diǎn)， sin A1CG=A1C 2 E 、F 分別是正 方形EF 、BD相交于 O，以 EF 二面角，則為棱將正方形折成直2a6a 22 2 2 cos DOB=2a 2B1， DCC1D1所 成的 角4 12 4BOD=則 +a =2a OB=a +a =2a DB=DF+FB=a +4a2a 2aABC A1B1C1 的各棱長均為122，側(cè)棱與底面成3 的角，側(cè)面圖 9 44（ 1）證明： B1C C1A2

19、）求四棱錐 B ACC1A1 的體積（1）【證明】過B1作 B 1O AB 于 O ，面 ABBA 底面ABC，面 ABB 1A 11 1 B1O面 ABC，面 ABC AB 底面所成B1 BA是側(cè)棱與角， B1 BA= 3 ，又各棱長均為2， O 為 CO，則 CO AB，而 OB1 CO=O，B 1C BC1 ，而AB的中點(diǎn)，連 AB平面 B1 OC，又 B1 C 平面 OB1C， B1 C AB，連 BC1， BCC1B1 為邊長為 2 的菱形， AB BC1=B， B1 C面 ABC1 A1 C 面 ABC1B1C AC1文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（在 ）【解】 1 1 R BBO中， BB =

20、2 ， t1 3 ，BO=1，BO=V =Sh=3VB A1 B1C1柱，= 3 V =1VB AA1C1C =V柱4如圖 9 45，四棱錐 P ABCD的底 a 的正方形， 面是邊長為VB A B C111 =3 1=2PA底面ABCD，E 為 AB 的中點(diǎn)，且PA=AB圖 9 45（1 ）求證：平面 PCE 平面 PCD；（ 2 ）求點(diǎn) A 到平面PCE的距離（1）【證明】 PA平面 ABCD，AD是 PD 在底面上的射影， PAD， PDA為二面角 P CD B又四邊形 ABCD為矩形， CD AD， CD PD， AD 的平面角， AF PD， AF 面 PAD PD=D CD面 PA

21、=PB=A，D PA AD PDA=45°，取CD AF ，Rt PAD斜邊 PD 的中點(diǎn) F，則1 1又 PDCD=D AF平面 PCD，取 PC的中點(diǎn) G，連 GF、 AG、EG，則 GF2 CD又 AE2 CD，AE四邊形 AGEF 為平行四邊形 AF EG， EG平面 平面 GF PDC又 EGPEC，平面 PEC平面PCD（2）【解】由（ 1 ）知 AF平面 PEC，平面 PCD平面 PEC ，過 F 作 FHPC于 H，則FH平面 PECFH為 F 到平面 PEC 的距離，即為 A 到平面 PEC 的距離在 PFH 與 PCD中， P 為公共角，F(xiàn)H PF而 FHP= C

22、DP=9°0 ， PFH PCD CDPC ，設(shè) AD=2，PF=22 ，PC= PD 2CD 2864 23 ，F(xiàn)H=2 5已 柱2A 到平面知直四棱 ABCD A B C D1 1 1 16PEC 的距離為3的底面是菱形，對角線AC=2，BD=2， E、 F 分別為棱 CC、 BB 上的點(diǎn)，且滿足EC=BC=2FB3 1 1AEF平面A1ACC1；1）【證明】 菱形對角線EC=2，F(xiàn)B=1，取 AE 中點(diǎn) M，連結(jié) MF，設(shè) BD與 AC交于點(diǎn)AC=2， BD=2O，MO2 ）求異面直線 EF、A1C1 所成角的余弦值13 BC=2，2 EC FB平面 AEF平面 ACC1A12）在 AA1 上取點(diǎn) N，使 AN=2，連結(jié) NE，則 NE AC A1 C1故 NEF 為異面直線 同理求得 EF= 5 A1C1 與 EF 所成的角，連結(jié)NF，在直角梯形NABF中易求得NF=文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)在 ENF中， cos NEF=2 25 5 ，即 EF 與 A1 C1 所成角的余弦值為 5【解題指導(dǎo)】 在證明兩平面垂直時(shí)，一般方法是先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線；若沒有這樣的直線，則可 通過作輔助線來解決，而作輔助線則應(yīng)有理論根據(jù)