不等式解法15種典型例題

1、不等式解法15種典型例題典型例題一例 1 解不等式：(1 ) 2x3 x2 15x 0 ； (2) (x 4)(x 5)2(2x)30 .分析：如果多項(xiàng)式f(x)可分解為n個(gè)一次式的積，則一元高次不等式f(x)0 (或 f(x) 0)可用“穿根法”求解，但要注意處理好有重根的情況.解：(1 )原不等式可化為x(2x 5)(x 3)0Jt把方程x(2x 5)( x3)0的三個(gè)根3順次標(biāo)上數(shù)軸.然后從右上開始畫線順次經(jīng)過三個(gè)根,其解集如下圖的陰影部分.原不等式解集為(2 )原不等式等價(jià)于(x4)(x5)2(x2)3 0X(x 4)(x 2)02 原不等式解集為xx 5或5 X 4或X 2說明：用“

2、穿根法”解不等式時(shí)應(yīng)注意：各一次項(xiàng)中x的系數(shù)必為正；對(duì)于偶次或奇次重根可轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如圖.典型例題二3例2解下列分式不等式：(1) x 2- 2 / .；( 2)分析：當(dāng)分式不等式化為器0(或0)時(shí)，要注意它的等價(jià)變形迪 0 f(x) g(x) 0 ； g(x)f(x) g(x) 0g(x) 0(1 )解：原不等式等價(jià)于3 X3x 2 x 2 X 2X 03(x2) x(x 2)X 2(X 2)(x 2)2 _X 5x 60(X 2)(x 2)(X 6)(x 1)0(x 2)(x 2)(x 6)(x 1)(x 2)(x 2) 0(x

3、2)(x 2) 0用“穿根法”原不等式解集為(，2)1,26,ox解法二：原不等式等價(jià)于(X 2) X2 4 X 2(2)解法一：原不等式等價(jià)于2x2 3x 123x 7x(2x2 3x 1)(3x2 7x 2)02x23x23x7x0或 2x2 3x 10或 20 3x 7x 201111X或一X1或X2 ,原不等式解集為(，一)(,1)(2,) o3232解法二：原不等式等價(jià)于0 (2x 1)(x1)(3x 1) (x 2)用“穿根法”.原不等式解集為 (1 12)(-1) (2,)典型例題三例3解不等式X24x2分析：解此題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，而去絕對(duì)值符號(hào)有兩種方法：一是根據(jù)絕對(duì)值的

4、意義a(a 0)；二是根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)：ix aa(a 0)a X a,|X.ax a或 x a，因此本題有如下兩種解法.解法一：原不等式2x2 x或x2 424 X2，即 X 2 或X2或2 X或222 X X X2或 X 1 2 x 3 或 1x 2，故原不等式的解集為,1x3 .2 x 即2 x4x24 (x 2)3 2故1 x 3 -典型例題四2例4解不等式1xH6T分析：這是一個(gè)分式不等式，其左邊是兩個(gè)關(guān)于x二次式的商，由商的符號(hào)法則，它等價(jià)于下列兩個(gè)不等式組:2x2 6x 502 或12 4x x20x2126x，所以，原不等式的解集是上面兩個(gè)不等式級(jí)的4x解集的并集也可用數(shù)軸標(biāo)根

5、法求解.解法一：原不等式等價(jià)下面兩個(gè)不等式級(jí)的并集:x26x0,x2124x126x 5 0,4x x20(x 1)(x 5)(x 2)(x 6)0,或(x 1)(x 5) 0, 0；或(x 2)(x 6) 0;5,6;或1,或 x 5,2,或 x 61 x 5,或 x2或x 6 .原不等式解集是x|x2,或1 x 5,或x 6.解法二：原不等式化為(X 1)(x 5)(x2)(x 6)0 .畫數(shù)軸，找因式根，分區(qū)間，定符號(hào).原不等式解集是XX2,或 1 X 5,或 x 6.說明：解法一要注意求兩個(gè)等價(jià)不等式組的解集是求每組兩個(gè)不等式的交集，再求兩組的解的并集，否則會(huì)產(chǎn)生誤解.解法二中，“定符

6、號(hào)”是關(guān)鍵.當(dāng)每個(gè)因式 x的系數(shù)為正值時(shí)，最右邊區(qū)間定是正值，其他各區(qū)間正負(fù)相間；也可以先決定含0的區(qū)間符號(hào)，其他各區(qū)間正負(fù)相間.在解題 時(shí)要正確運(yùn)用.典型例題五例5解不等式x?2x 2 x 3 2x x2分析：不等式左右兩邊都是含有x的代數(shù)式，必須先把它們移到一邊，使另一邊為0再解.解：移項(xiàng)整理，將原不等式化為(X 2)(x2 X 1)0(x 3)( x 1)由X2 x 1 0恒成立，知原不等式等價(jià)于占t 0 -解之，得原不等式的解集為 x 1 x 2或x 3 說明：此題易出現(xiàn)去分母得 x2 2x 2x(3 2x x2)的錯(cuò)誤解法.避免誤解的方法是移項(xiàng)使一邊為0再解.另外，在解題過程中，對(duì)出

7、現(xiàn)的二項(xiàng)式要注意其是否有實(shí)根，以便分析不等式是否有解, 從而使求解過程科學(xué)合理.典型例題六例6設(shè)m R，解關(guān)于x的不等式m2x2 2mx 30 分析：進(jìn)行分類討論求解.解：當(dāng)m 0時(shí)，因 30 一定成立,故原不等式的解集為當(dāng)m 0時(shí)，原不等式化為(mx3)(mx 1)3若m 0時(shí)，解得 一xm-;若mm0時(shí)，解得綜上：當(dāng)m 0時(shí)，原不等式的解集為當(dāng)m 0時(shí)，原不等式的解集為說明：解不等式時(shí)，由于m R，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因?yàn)楫?dāng)m 0時(shí),原不等式化為 3 0,此時(shí)不等式的解集為 R，所以解題時(shí)應(yīng)分 m 0與m 0兩種情況來(lái)討論.在解出m2x2 2mx 3 0的兩根為處.這時(shí)

8、也應(yīng)分情況來(lái)討論：當(dāng)m,x21后，認(rèn)為mm310時(shí)，一一；當(dāng)m 0時(shí)m mXi1-，這也是易出現(xiàn)的錯(cuò)誤之m3典型例題七例7解關(guān)于x的不等式J2ax a21 x(a 0).分析：先按無(wú)理不等式的解法化為兩個(gè)不等式組，然后分類討論求解.2axa20,解：原不等式（1） 1 x2ax0,a2或(1 x)2;2x a210,0.a1,4(a1)2a 1 v2a2時(shí),2(a1)xa20；a2,1.不等式組（2）的解是x.當(dāng)a綜上可知，當(dāng)02時(shí),4(a272a2時(shí),1)8a故不等x22(a1)x a21 0的解是172a 1，不等式組不等式組（1）無(wú)解,原不等式的解集是a 1（2）的解是J2a,（1）的解

9、是a1 72a x 1 ,是|,說明：本題分類討論標(biāo)準(zhǔn)“0 a 2 , a 2”是依據(jù)“已知a中x旦，x 1 '確定的.解含有參數(shù)的不等式是不等式問題中的難點(diǎn),2;當(dāng)a 2時(shí),0及(1)中x原不等式的解集也是近幾年高考的熱點(diǎn).般地，分類討論標(biāo)準(zhǔn)（解不等式）大多數(shù)情況下依“不等式組中的各不等式的解所對(duì)應(yīng)的區(qū)間的端點(diǎn)”去確定.本題易誤把原不等式等價(jià)于不等式2ax a2 （1 X）.糾正錯(cuò)誤的辦法是熟練掌握無(wú)理不等式基本類型的解法.典型例題八例8解不等式4X210X 33 .分析：先去掉絕對(duì)值號(hào)，再找它的等價(jià)組并求各不等式的解，然后取它們的交集即可.解答：去掉絕對(duì)值號(hào)得 3 4X210X原不

10、等式等價(jià)于不等式組23 4x210x 34x2 10x 3 34x24x210x10x2x(2x 5)02(X 3)(2 X 1)052,3.原不等式的解集為然后把不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化說明：解含絕對(duì)值的不等式，關(guān)鍵是要把它化為不含絕對(duì)值的不等式, 為不等式組，變成求不等式組的解.典型例題九例9解關(guān)于X的不等式X2 (a a2)x a30 .分析：不等式中含有字母a，故需分類討論.但解題思路與一般的一元二次不等式的解法完全一樣:求出方程X2 (a a2)x a3 0的根，然后寫出不等式的解,但由于方程的根含有字母a ,故需比較兩根的大小，從而引出討論.解：原不等式可化為(Xa)(xa2)2(1)當(dāng)a

11、a (即時(shí)，不等式的解集為:X a 或 X a22當(dāng)a a2 (即時(shí),不等式的解集為:Xa2 或 X a2當(dāng)a a (即0或1 )時(shí)，不等式的解集為:說明：對(duì)參數(shù)進(jìn)行的討論，是根據(jù)解題的需要而自然引出的，并非一開始就對(duì)參數(shù)加以分類、討論比如本題，為求不等式的解，需先求出方程的根X1a , X2a2，因此不等式的解就是X小于小根或x大于大根.但a與a2兩根的大小不能確定，因此需要討論a a2, aa2a2三種情況.典型例題十 2例10已知不等式ax bx c 0的解集是 x0）.求不等式2cxbx的解集.分析：按照一兀二次不等式的一般解法，先確定系數(shù)c的正負(fù)，然后求出方程cx2bx0的兩根即可解

12、之.解：（解法1）由題可判斷出2是方程ax bx0的兩根,又ax2 bx c 0的解集是，說明ac2-0 c 0 , cx bx ax2丄）（丄）, x2ba-x -cc1 1 1-)x ( -)( -)0,即(x-)(x-) (X-）（x !）0的解集為（解法2）由題意可判斷出是方程ax2 bx c0的兩根,c .又 ax2abxc 0的解集是 x，說明2對(duì)方程cx bx a2 1 20兩邊同除以x2得a ()2x(丄)x令t 1，該方程即為xat2 bt c0，它的兩根為t1,t21. X1 ,x21 2-，二方程cxbxa 0的兩根為-,x1x21 1 .不等式cx2 bx a 0的解集

13、是 X丄X -1說明：萬(wàn)變不離其宗，解不等式的核心即是確定首項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，求出相應(yīng)的方程的根;（2）結(jié)合使用韋達(dá)定理，本題中只有是已知量，故所求不等式解集也用表示，不等式系數(shù)ac的關(guān)系也用表示出來(lái)；（3）注意解法2中用“變換”的方法求方程的根.典型例題十二例12X aX b若不等式k k的解為（1,)(1,)，求 a、b 的值.3分析:不等式本身比較復(fù)雜,要先對(duì)不等式進(jìn)行同解變形，再根據(jù)解集列出關(guān)于b式子.解：-x2 x 1 (x 2)2原不等式化為（2 ab)x2 (ab)xa b 0 .依題意2 a ba b2 a ba b2 a b013435232說明:解有關(guān)一元二次方程的不等式，要注

14、意判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào),結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)解.例13不等式的解集為 X分析:典型例題十三1 X 2，求a與b的值.此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為X 2，不等式ax2bx 2滿足條件20 ax bx 20的兩根為為1 ,X2解法一:設(shè)ax2bx20的兩根為X1 ,X2，由韋達(dá)定理得:x1x2X1X2由題意:此時(shí)滿足b2 4a ( 2)0.解法二:構(gòu)造解集為的一元二次不等式：（X 1）（x 2） 0，即卩X2 X此不等式與原不等式ax2 bx 2 0應(yīng)為同解不等式，故需滿足：旦2上/-a 1, b 1 .1 1 2說明：本題考查一元二次方程、一元二次不等式解集的關(guān)系，同時(shí)還考查逆向思維的能

15、力.對(duì)有關(guān) 字母抽象問題，同學(xué)往往掌握得不好.典型例題十四例14解關(guān)于x的不等式ax2 (a 1)x 10.分析：本題考查一元一次不等式與一元二次不等式解法，因?yàn)楹凶帜赶禂?shù)，所以還考查分類思想.解：分以下情況討論(1)當(dāng)a 0時(shí)，原不等式變?yōu)?J a0時(shí)，原不等式變?yōu)?(ax 1)(x當(dāng)a0時(shí),式變?yōu)?x1)(xa1)當(dāng)a0時(shí),式變?yōu)?x1-)(xa1).111 a，當(dāng)0a1時(shí)，10 ,不等式的解為0 .1，此時(shí)的解為1aa1) 0 aa 1時(shí),11，此時(shí)a說明：解本題要注意分類討論思想的運(yùn)用，關(guān)鍵是要找到分類的標(biāo)準(zhǔn),就本題來(lái)說有三級(jí)分類:分類應(yīng)做到使所給參數(shù) a的集合的并集為全集,交集為空集,要做到不重不漏.另外，解本題還要注意在討論a 0時(shí)，解一元二次不等式 ax2(a 1)x 10應(yīng)首選做到將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求解.典型例題十五例15解不等式Jx2 3x 108 X .分析：無(wú)理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件，一般情況下,Jf(X)g(x)可轉(zhuǎn)化為 Jf(X) g(x)或 Jf(X) g(x)，而Jf(x) g(x)等價(jià)于:f(x)g(x)f(x) g(x) f(x)2g(x)解：原不等式等價(jià)于下面兩個(gè)不等式組:3x108