半角模型專題專練

1、123456789BE+ DF= EFSABE + Sa adf= S aefAHH AD CEF的周長=2倍的正方形邊長=2AB 當(dāng)BE= DF時， CEF勺面積最小 bM+ dN = mN三角形相似，可由三角形相似的傳遞性得到 EA FA是 CEF的外角平分線四點(diǎn)共圓F,且/ EAF= 45°半角模型例題已知，正方形ABCDK/ EAF兩邊分別交線段 BC DC于點(diǎn)E、 結(jié)論 結(jié)論 結(jié)論 結(jié)論 結(jié)論 結(jié)論 結(jié)論 結(jié)論 結(jié)論 結(jié)論10: ANEft AMF是等腰直角三角形（可通過共圓得到）飛/2"結(jié)論11: MN=yEF （可由相似得到）結(jié)論12:AEF= 2SAAMN（

2、可由相似的性質(zhì)得到）結(jié)論5的證明：設(shè)正方形ABCD勺邊長為1則 SxAEF= 1 - S1 - S2 Sb1 1 1=1 - 2X-歲-2（1 - x）（1 - y）1 1=一 -xy2 2，所以當(dāng)X = y時， AEF的面積最小結(jié)論6的證明:將 ADN）順時針旋轉(zhuǎn)90°使AD與AB重合 DN= BN易證 AMNA AMN MN= MN在Rt BMN中，由勾股定理可得：bM + BN2= MN2即 bM+ dN = mNJ -2ADADADAa1t£r1£s£ c3*cJr"cf1結(jié)論7的所有相似三角形:F AMNpA DFN AMNpA BM

3、E AMNpA BAN AMNpA DMA AMNpA AFE 結(jié)論8的證明：因為 AMNA AFE/ 3=/ 2 因為 amnpa ban./ 3=/ 4./ 2=/ 4因為AB/ CD/ 1 = / 4/ 1 = / 2結(jié)論9的證明:同理可證A M F、C E、M因為/ EAN=/ EBN= 45° A、B、E、N四點(diǎn)共圓(輔圓定 理：共邊同側(cè)等頂角)C、E、N、F四點(diǎn)共圓DFS¥Z zXD四點(diǎn)共圓 F四點(diǎn)共圓*必會結(jié)論圖形研究正方形半角模型已知：正方形EAF 45 , AE、ABCD , E、F分別在邊 BC、CD上，且 AF分別交BD于H、G，連EF .、全等關(guān)系(

4、1)求證：、相似關(guān)系DFBE EF :d6+ BH= h6; AE平分BEF，AF平分 DFE .(2)求證：CEV2dG ; CF V2BH ; EF V2hG .(3)求證：AB2bg dh ； ® ag2 bg hg ； ®BE DFCE CF三、垂直關(guān)系(4)求證：AGEG ; AH FH : tan HCFABBE(5)、和差關(guān)系求證：BG DGV2BE : AD DF V2DH ; I BE DF | V2 | BH DG |.例1、在正方形 ABCD中，已知/ MANh 45°，若 M N分別在邊 CB DC的延長線上移動， 試探究線段MN BM、D

5、N之間的數(shù)量關(guān)系. .求證：AB=AH.例 2、在四邊形 ABCD中/ B+/ D= 180°，AB=AD 若 E、F 分別 在邊BC CD上，且滿足EF=BE +DF.求證：/ EAM - / BAD2例 3、在 ABC中，AB=AC / BAC=Z DAE=120，若 BD=5CE=8求DE的長。例4、請閱讀下列材料: 已知：如圖1在Rt ABC中，BAC 90 , AB AC，點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動點(diǎn)，若 DAE 45 .探 究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把 AEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90，得到ABE，連結(jié)ED，使問題得到解決.請你參考小明的思路

6、探究并解決下列問題:(1) 猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明；(2) 當(dāng)動點(diǎn)E在線段BC上，動點(diǎn)D運(yùn)動在線段CB延長線上時，如圖2,其它條件不變，中探 究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明.圖1C例5、探究：（1）如圖1,在正方形ABCD中, E、F分別是BCEF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：CD上的點(diǎn)，且/ EAM45°,試判斷BE DF與（2）如圖2,若把 問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅?ABCD中 AB= AD / B+/ D= 180°, 是邊BC CD上的點(diǎn)，且/ EAF=1 / BAD，則（1）問中的結(jié)論是否

7、仍然成立？若成立，請給出證2明，若不成立，請說明理由；（3）在（2）E、F分別問中，若將 AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)分別 E、F運(yùn)動到BC CD延長線上時,如圖3所示,其它條件不變，則（1）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請給出結(jié)論并予以證明.練習(xí)鞏固1:如圖，在四邊形 ABCD中,/ B=/ D= 90°, AB= AD,若 E、 在邊BC CD上的點(diǎn)，且/ EAF=1/ BAD .求證：EF=BE +DF.F分別練習(xí)鞏固4CN練習(xí)鞏固2:女口圖，在五邊形 ABCD中, AB= BC= CD= DE= EA1/ CAD=1 / BAE 求/ BAE的度數(shù)練習(xí)鞏固3: 已知：正方形

8、ABCD中，MAN 45。，繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CB DC (或它們的延 長線)于點(diǎn)M N.(1)如圖1,當(dāng) MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM DN時，有BM DN MN .當(dāng) MAN 繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM DN時，如圖2,請問圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理由；線段BM，DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫(2)當(dāng) MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時,出你的猜想，并證明.(1)如圖，在四邊形 ABC沖，AB= AD / B=/ D= 90°, E、F分別是邊BC CD上的點(diǎn)，且/ EAM2 / BAD求證：EF BE FD;(2)如圖在四邊形 ABC

9、DK AB= AD / B+/ D= 180°, E、F分別是邊BC CD上的點(diǎn)，且/ EAM2/ bad (1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明.(3)如圖，在四邊形 ABC沖，AB= AD, / B+/ ADO 180°, E、F分*1別是邊BC CD延長線上的點(diǎn)，且/ EAM-/ BAD (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系, 并證明.(4)如圖，將邊長為4cm的正方形紙片ABCD& EF折疊(點(diǎn)E、F分別在邊AB CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處,MN與 CD交于點(diǎn)P,連接EP.DFMcm求證：EP

10、= AE+ DPAEM的周長=(2)隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置(點(diǎn) M不與A、D重合)， PDM的周長是否發(fā)生變化？請說明理由.(5).如圖17,正方形ABCD E、F分別為BC CD邊上一點(diǎn).(1)若/ EAF= 450.求證：EF= BE+ DF.若 AEF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，保持/ EAF= 45o,問/ CEF的周長是否隨 AEF位置的變化而變化?(3)已知正方形 ABCD勺邊長為1,如果/ CEF的周長為2.求/ EAFJr 3!? 丿-圖c(1)如圖，若M為AD邊的中點(diǎn),的度數(shù).如圖,求證：(1)MN= M申 DN點(diǎn)A到MN的距離等于正方形的邊長;(3)VCMN勺周長等于正方形AB

11、CD邊長的2倍;(4)Swabcd/cmn2AB"mn，(5)MAB= 20°,求 AMN(6)MAB Op P 45°，求 AMN練習(xí)鞏固5、已知在正方形 ABCD中,MAN= 45°，連接BD與AM AN分別交于E、F兩點(diǎn)。EB2DF2;VAEN與 VAFM是等腰三角形;(9)SVAEFSVAMN練習(xí)鞏固6、在等邊ABC的兩邊AB，AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M，N，D為ABC外一點(diǎn)，且 MDN 60，AB，AC上移動時，BM，BN，MN之間的數(shù)量BDC 120 , BD cd，探究：當(dāng)點(diǎn)M ,N分別愛直線關(guān)系及AMN的周長Q與等邊ABC的周長L的關(guān)系.

12、cCC(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)M ,N在邊AB ,AC上，且DM DN時，BM , NC , MN之間的數(shù)量關(guān)系式(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)M ,N在邊AB ,AC上，且DM DN時，猜想(1)問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明;(用x , L表示)(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)M ,N分別在邊AB ,CA的延長線上時，若AN x，貝g練習(xí)鞏固7、如圖所示， ABC是邊長為1的等邊三角形， BDC是頂角為120。的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個60°的/ MDN點(diǎn)M N分別在AB AC上，求 AMN勺周長練習(xí)鞏固8如圖，在正方形 ABC沖，BE=3 EF= 5，DF= 4,求/ BA曰/DCF為多少度。鞏固練習(xí)9、如圖 1，Rt ABCRt EDF / ACB=/ F= 90°,/ A=/ E= 30° 旋轉(zhuǎn)，DE DF分別交線段AC于點(diǎn)M K. 如圖2、圖3,當(dāng)/CD片0° 或60°時，AM+ CK