第128020號圓心角(1)

1、 圓心角圓心角 所對所對的弧為的弧為 AB，A AO OB B 過點過點O作弦作弦AB的垂線的垂線, 垂足垂足為為M,OABM 頂點在圓心的角頂點在圓心的角,叫叫圓心角圓心角，如如 , A AO OB B所對的弦為所對的弦為AB；圖圖1 OM是唯一的。是唯一的。 則垂線段則垂線段OM的長度的長度,即圓即圓心到弦的距離，叫心到弦的距離，叫弦心距弦心距 , 圖圖1中，中，OM為為AB弦的弦心距。弦的弦心距。1、判別下列各圖中的角是不是圓心角，并說明理由。2、下列圖中弦心距做對了的是（ ） 由上分析，任意給圓心角，對應(yīng)出現(xiàn)由上分析，任意給圓心角，對應(yīng)出現(xiàn)四個量：四個量：圓心角圓心角弧弧弦弦 弦心距弦

2、心距 圓心角圓心角弧弧之間的關(guān)系之間的關(guān)系弦弦 弦心距弦心距課題猜猜 想：想：?,BOAAOB.2 情況又如何若 圖 2 也就是在也就是在 圖圖2 中研究不同的圓中研究不同的圓心角心角 、 ，以及它們，以及它們所對的弧所對的弧 , 弦弦 , 弦的弦心距弦的弦心距 OM、 之間的關(guān)之間的關(guān)系。系。B BO OA AB BA AA AB B、AOBAOBMMO OB BA AA AB B、.MOOM,BAABBAAB,BOAAOB1. ，則若?圓的旋轉(zhuǎn)不變性：圓的旋轉(zhuǎn)不變性： 圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角，都能，都能夠與原來的圓重合。夠與原來的圓重合。 注：注： =180O 旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)，說

3、明圓是以圓心為對稱中說明圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。心的中心對稱圖形。圖圖 31 . 射線射線OB與射線與射線OB重合嗎重合嗎?為什么為什么?2 . 點點A與與A ，點，點B與與B 重合嗎？重合嗎？ 為什么？為什么？4 . OM 與與OM 呢？為什么？呢？為什么？ 于是，若于是，若AOB = AOB ，則則 AB=AB , AB= AB , OM=OM .3 . AB與與A B ,弦弦AB與弦與弦A B重合嗎？為什么？重合嗎？為什么？將將AOB連同連同AB繞圓心繞圓心O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)，使射線使射線OA與射線與射線OA 重合重合 , 則：則：圖圖 4 如圖，如圖， O 和和 O 是等圓，是等

4、圓，如果如果 AOB= AOB 那么那么 AB=AB 、AB= AB 、OM=OM,為什么？為什么？?圓心角定理圓心角定理 : : 在同圓或等圓中，相等的圓心角在同圓或等圓中，相等的圓心角 所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。距相等。已知：如圖已知：如圖5, AOB = AOB , OM、OM 分別是弦分別是弦 AB、弦、弦 AB 的弦心距的弦心距.求證：求證： AB=AB , AB= AB , OM=OM 證明：證明：將將AOB連同連同AB繞圓心繞圓心O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)， 使射線使射線OA與射線與射線OA 重合重合 .又根據(jù)弦心距的唯一性，得

5、又根據(jù)弦心距的唯一性，得OM=OM圖圖 5 BAAB,BAABBB,AABOOB,AOOABOOB 重合 與 合 重 與重合 與BOAAOB 另外，對于等圓的情況另外，對于等圓的情況 ，因為兩個等圓可，因為兩個等圓可疊合成同圓，所以等圓問題可轉(zhuǎn)化為同圓問題，疊合成同圓，所以等圓問題可轉(zhuǎn)化為同圓問題，命題成立。命題成立。條件條件結(jié)論結(jié)論在同圓或等圓中在同圓或等圓中如果圓心角相等如果圓心角相等那么那么圓心角所對的弧相等圓心角所對的弧相等圓心角所對的弦相等圓心角所對的弦相等圓心角所對的弦的弦心距相等圓心角所對的弦的弦心距相等在同圓或等圓中在同圓或等圓中如果弦相等如果弦相等那么那么弦所對的圓心角相等弦

6、所對的圓心角相等弦所對的弧（指劣?。┫嗟认宜鶎Φ幕。ㄖ噶踊。┫嗟认业南倚木嘞嗟认业南倚木嘞嗟仍谕瑘A或等圓中在同圓或等圓中如果弦心距相等如果弦心距相等那么那么弦心距所對應(yīng)的圓心角相等弦心距所對應(yīng)的圓心角相等弦心距所對應(yīng)的弧相等弦心距所對應(yīng)的弧相等弦心距所對應(yīng)的弦相等弦心距所對應(yīng)的弦相等在同圓或等圓中在同圓或等圓中如果弧相等如果弧相等那么那么弧所對的圓心角相等弧所對的圓心角相等弧所對的弦相等弧所對的弦相等弧所對的弦的弦心距相等弧所對的弦的弦心距相等推論：推論：(圓心角定理的逆定理圓心角定理的逆定理) 在同圓或等圓中，如果兩個圓心在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦角、兩條弧、

7、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余的各組量都分別相等。對應(yīng)的其余的各組量都分別相等。例例1 如圖，已知點如圖，已知點O是是EPF 的平分線上一點，的平分線上一點，P點在圓外，點在圓外，以以O(shè)為圓心的圓與為圓心的圓與EPF 的兩邊分別相交于的兩邊分別相交于A、B和和C、D。求證：求證：AB=CD分析：分析： 聯(lián)想到聯(lián)想到“角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)”，作弦心距，作弦心距OM、ON， 證明證明: 作作 , 垂足分別為垂足分別為M 、 N 。C CD DO ON N , , A AB BO OMMCDCDONONABABOMOMNPONPOMPOMPOOM=ONAB=CD.PABECMNDF要證要證AB=CD ，只需證，只需證OM=ONO.PBEDFOAC.如圖，如圖，P點在圓上，點在圓上，PB=PD嗎？嗎？ P點在圓內(nèi)，點在圓內(nèi)，AB=CD嗎？嗎？思考：思考：PBEMNDFOMN猜猜 想：想：?,BOAAOB.2 情況又如何若 圖 2 也就是在也就是在 圖圖2 中研究不同的圓中研究不同的圓心角心角 、 ，以及它們，以