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1、第三章第三章 非穩(wěn)態(tài)導熱非穩(wěn)態(tài)導熱3-1 非穩(wěn)態(tài)導熱的根本概念非穩(wěn)態(tài)導熱的根本概念1 非穩(wěn)態(tài)導熱的根本特點非穩(wěn)態(tài)導熱的根本特點1在導熱微分方程式中在導熱微分方程式中 ，這意味著導熱體內(nèi)的，這意味著導熱體內(nèi)的 溫度場隨著時間而變化。溫度場隨著時間而變化。2在垂直于熱量方向上，每一截面上熱流量不相等。在垂直于熱量方向上，每一截面上熱流量不相等。3非穩(wěn)態(tài)導熱可以分為周期性和非周期性兩種類型。非穩(wěn)態(tài)導熱可以分為周期性和非周期性兩種類型。4當當為常數(shù)時，直角坐標系下的控制方程為：為常數(shù)時，直角坐標系下的控制方程為： 求解非穩(wěn)態(tài)導熱問題的本質(zhì)便是在給定的初始條件和求解非穩(wěn)態(tài)導熱問題的本質(zhì)便是在給定的初始條

2、件和邊境條件下獲得導熱體的瞬間溫度分布和一定時間間隔邊境條件下獲得導熱體的瞬間溫度分布和一定時間間隔內(nèi)所傳導的熱量。本章只討論第三類邊境條件內(nèi)所傳導的熱量。本章只討論第三類邊境條件0t3-1 3 3 溫度分布：溫度分布：Dt1t0HCBAEFG周期性非穩(wěn)態(tài)導熱：物體的溫度隨時間而作周期性的變化周期性非穩(wěn)態(tài)導熱：物體的溫度隨時間而作周期性的變化 瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導熱：物體的溫度隨時間的推移逐漸趨近于恒定的值瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導熱：物體的溫度隨時間的推移逐漸趨近于恒定的值2 2 非穩(wěn)態(tài)導熱的分類非穩(wěn)態(tài)導熱的分類 非正規(guī)情況階段非正規(guī)情況階段( (右側(cè)面不參與換熱右側(cè)面不參與換熱 ) )：溫度分布顯：溫度分布顯現(xiàn)

3、出部分為非穩(wěn)態(tài)導熱規(guī)律控制區(qū)和部分為初始溫度區(qū)的現(xiàn)出部分為非穩(wěn)態(tài)導熱規(guī)律控制區(qū)和部分為初始溫度區(qū)的混合分布，即：在此階段物體溫度分布受混合分布，即：在此階段物體溫度分布受 初始溫度初始溫度toto分布分布的影響較大的影響較大 正規(guī)情況階段正規(guī)情況階段( (右側(cè)面參與換熱右側(cè)面參與換熱 ) )：當右側(cè)面：當右側(cè)面參與換熱以后，物體中的溫度分布不受參與換熱以后，物體中的溫度分布不受 to to 影響，影響，主要取決于邊境條件及物性，此時，非穩(wěn)態(tài)導熱主要取決于邊境條件及物性，此時，非穩(wěn)態(tài)導熱過程進入到正規(guī)情況階段。過程進入到正規(guī)情況階段。 非正規(guī)情況階段起始階段、正規(guī)情況階非正規(guī)情況階段起始階段、正

4、規(guī)情況階段、新的穩(wěn)態(tài)段、新的穩(wěn)態(tài)導熱過程的三個階段導熱過程的三個階段二類非穩(wěn)態(tài)導熱的區(qū)別：前者存在著有區(qū)二類非穩(wěn)態(tài)導熱的區(qū)別：前者存在著有區(qū)別的兩個不同階段，而后者周期性不別的兩個不同階段，而后者周期性不存在。存在。 求解方法：求解方法：分析解法、近似分析法、數(shù)值解法分析解法、近似分析法、數(shù)值解法分析解法：分別變量法、積分變換、拉普分析解法：分別變量法、積分變換、拉普拉斯變換拉斯變換近似分析法：近似分析法： 集中參數(shù)法、積分法集中參數(shù)法、積分法數(shù)值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有數(shù)值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子動力學模擬、邊境元法限元法、分子動力學模擬、邊境元法 3-2 零維問

5、題的分析法零維問題的分析法-集中參數(shù)法集中參數(shù)法1.方法本質(zhì)方法本質(zhì)1集中參數(shù)法運用的條件：當物體內(nèi)部的導熱熱阻遠小于其外表的換熱熱阻時，集中參數(shù)法運用的條件：當物體內(nèi)部的導熱熱阻遠小于其外表的換熱熱阻時， 0 ,物物體在同一瞬間均處于同一溫度下，所求的溫度僅是時間的函數(shù)而與坐標無關。就好似把物體原來延續(xù)分布體在同一瞬間均處于同一溫度下，所求的溫度僅是時間的函數(shù)而與坐標無關。就好似把物體原來延續(xù)分布的質(zhì)量與熱容量均集中到一點上一樣，即的質(zhì)量與熱容量均集中到一點上一樣，即 t=f。這種忽略物體內(nèi)部導熱熱阻的簡化分析方法稱為集中。這種忽略物體內(nèi)部導熱熱阻的簡化分析方法稱為集中參數(shù)法。參數(shù)法。2引入

6、集中參數(shù)法的益處：正是由于物體溫度與空間坐標無關，因此，也稱為零維問題引入集中參數(shù)法的益處：正是由于物體溫度與空間坐標無關，因此，也稱為零維問題;因此集中參數(shù)法尤因此集中參數(shù)法尤其易于處置外形規(guī)那么的物體。其易于處置外形規(guī)那么的物體。 外部熱阻內(nèi)部熱阻hBiV/1/2.2.方法要點方法要點 設有一任不測形的固體，其體積為設有一任不測形的固體，其體積為V V，外表積為，外表積為A A，并具，并具有均勻的初始溫度有均勻的初始溫度t0t0。在初始時辰，忽然將它置于溫度恒為。在初始時辰，忽然將它置于溫度恒為tt的流體中，設的流體中，設t0 t0 t t。固體與流體間的外表傳熱系數(shù)。固體與流體間的外表傳

7、熱系數(shù)h h及固及固體的物性參數(shù)均堅持常數(shù)。體的物性參數(shù)均堅持常數(shù)。 非穩(wěn)態(tài)導熱問題的普通式為非穩(wěn)態(tài)導熱問題的普通式為: : 如下圖，任不測形的物體，參數(shù)均為知。如下圖，任不測形的物體，參數(shù)均為知。00tt 時，t將其忽然置于溫度恒為將其忽然置于溫度恒為 的流體中。的流體中。 由于物體的內(nèi)部熱阻可以忽略，溫度與坐標無關，于是上式簡化成為: 界面上交換的熱量折算成整個物體的體積熱源,由于物體被冷卻所以熱源為負值。 于是有 a b3-3 引入過余溫度 = t-t，那么 初始條件為 下面在初始條件為式(d)的情況下對導熱微分方程式(c)求解。將式(c)分別變量得 c d e00dVchAdVchA

8、ln0dVchAdVchAetttt00其中的指數(shù)：其中的指數(shù)：vvFoBiAVaAVhcVAAhVcVhA222)()( V/A具有長度的量綱，記為L；hL/即為稱為畢渥數(shù)，記為BiV 。 a/L2稱為傅里葉數(shù)，記為FoV，這里下角碼V特別用以表示畢渥數(shù)與傅里葉數(shù)中的特征長度為VA。這樣，上式又可表示為2233Wm1m KkgJkgm KmhAwVcJs 方程中指數(shù)的量綱：方程中指數(shù)的量綱：vvFoBiVchAee0物體中的溫度物體中的溫度呈指數(shù)分布呈指數(shù)分布圖3-2 用集總參數(shù)法分析時物體過余溫度的變化曲線 稱為時間常數(shù)，記為 c。當時間 c時，物體的過余溫度曾經(jīng)到達了初始過余溫度值的36

9、.8%。 求出瞬時熱流量 從 0到時辰之間所交換的總熱量為3-73-83.3.畢渥數(shù)畢渥數(shù)BiVBiV及傅里葉數(shù)及傅里葉數(shù)FoVFoV的物理意義的物理意義 BiVBiV越小，意味著內(nèi)熱阻越小或外熱阻越大，這越小，意味著內(nèi)熱阻越小或外熱阻越大，這時采用集總參數(shù)法分析的結(jié)果就越接近實踐情況。時采用集總參數(shù)法分析的結(jié)果就越接近實踐情況。 FoVFoV越大，物體內(nèi)各點的溫度越接近周圍介質(zhì)的越大，物體內(nèi)各點的溫度越接近周圍介質(zhì)的溫度。溫度。外部熱阻內(nèi)部熱阻hBiV/1/alFoV/2從邊境上開場發(fā)生熱擾動的時辰到時辰止的時間熱擾動分散到 2 的面積上所需的時間l 采用此判據(jù)時，物體中各點過余溫度的差別小

10、于采用此判據(jù)時，物體中各點過余溫度的差別小于5%5%M1 . 0)AV(hBiv對厚為對厚為22的的無限大平板無限大平板對半徑為對半徑為R R的無的無限長圓柱限長圓柱對半徑為對半徑為R R的的 球球31M21M1M3BB3RR4R34AV2BB2RR2RAVBBAAAViiv23iiv2iiv4 4 集總參數(shù)法的運用條件集總參數(shù)法的運用條件是與物體幾何外形是與物體幾何外形有關的無量綱常數(shù)有關的無量綱常數(shù)例例3-1 3-1 不斷徑為不斷徑為5cm5cm的鋼球，初始溫度為的鋼球，初始溫度為4500c4500c，忽然被置于溫，忽然被置于溫 度為度為300c300c的空氣中。設鋼球外表與周圍環(huán)境間的外

11、表傳熱的空氣中。設鋼球外表與周圍環(huán)境間的外表傳熱 系數(shù)為系數(shù)為24w/(m2.k)24w/(m2.k)，試計算鋼球冷卻到，試計算鋼球冷卻到3000c3000c所需的時間。所需的時間。 知鋼球的知鋼球的c=0.48kJ/(kg.k), =7753kg/m3,=33w/(m.k)c=0.48kJ/(kg.k), =7753kg/m3,=33w/(m.k)。1.無限大的平板的分析解無限大的平板的分析解=const=const a=const a=consth=consth=const因兩邊對稱，因兩邊對稱，( (可以只研討半塊平壁可以只研討半塊平壁導熱微分方程導熱微分方程初始條件初始條件邊境條件邊境

12、條件xtat22)0,x0(0tt00 x0 xtx)tt (hxt( (對稱性對稱性) )令令t), x( t), x(xhx0 x0 x00,x0 xa022上式化為：上式化為：用分別變量法可得其分析解為：用分別變量法可得其分析解為：此處此處BnBn為離散面為離散面( (特征值特征值) )假設令假設令那么上式可改寫為：那么上式可改寫為：eannnnnnnxx210)cos()sin()cos()sin(2),(e22nan1nnnnn0)xcos(cossinsin2), x(nn*nn為下面超越方程的根為下面超越方程的根為畢渥準那么數(shù)，用符號為畢渥準那么數(shù)，用符號 Bi Bi 表表示示書

13、上書上P73P73表表3-13-1給出了部分給出了部分BiBi數(shù)下的數(shù)下的11值值hctgnnheannnnnnnxx210)cos()sin()cos()sin(2),(eannnnnnnxx22)(10)cos()sin()cos()sin(2),(因此因此是是F0, Bi F0, Bi 和和 函數(shù)，即函數(shù)，即0),x(x)x,B,F(f),x(i00留意：特征值留意：特征值 特征數(shù)準那么數(shù)特征數(shù)準那么數(shù) 區(qū)別n2. 非穩(wěn)態(tài)導熱的正規(guī)情況非穩(wěn)態(tài)導熱的正規(guī)情況 對無限大平板 當 取級數(shù)的首項，板中心溫度， 誤差小于1% 20aF2 . 0F0eFxx021)cos(cossinsin2),(

14、111110eFm021111100cossinsin2)(),0(eFxx021)cos(cossinsin2),(111110eFm021111100cossinsin2)(), 0()cos()(),(1xxm假設令Q為 內(nèi)所傳送熱量-時辰z的平均過余溫度)(00ttcVQ00001)(),(ttcVdVxttcQQVe11021sin)F(11110vcossinsin2dvv1,0調(diào)查熱量的傳送調(diào)查熱量的傳送Q0 -Q0 -非穩(wěn)態(tài)導熱所能傳送的最大熱量非穩(wěn)態(tài)導熱所能傳送的最大熱量i021010210B)Fexp(A)y(f)Fexp(A0無限大平板長圓柱體及球此處此處此處的此處的A，

15、B及函數(shù)及函數(shù) 見見P74表表3-220i20iRazFhRBRxyazFhBxy1()fy近似擬合公式近似擬合公式 可利用下面等近似計算公式計算無限大平板、無限長圓柱、可利用下面等近似計算公式計算無限大平板、無限長圓柱、球的非穩(wěn)態(tài)導熱，即球的非穩(wěn)態(tài)導熱，即 其中其中為無量綱幾何位置，對平板為無量綱幾何位置，對平板 x/ ，對校體及球體，對校體及球體rR， R為外外表半徑。系數(shù)為外外表半徑。系數(shù)A、B及函數(shù)及函數(shù) f(1)的表達式取的表達式取決于幾何外形，如表決于幾何外形，如表3-1所示。所示。3-263-25表3-1 系數(shù)A、B及函數(shù) f(1)的表達式 1、A、B和J0(x)也可采用近似公式

16、：3-27a3-27b3-27c3-27d式3-27a3-27d中的常數(shù)列于表3-2、3-3中。表3-2 式3-27a3-27d中的常數(shù)表3-3 計算J0(x)的常數(shù)3海斯勒圖計算圖線 為便于計算，工程技術(shù)界曾廣泛采用按分析解的級數(shù)第一項而繪制的一些圖線(諾謨圖)，其中用以確定溫度分布的圖線稱為海斯勒(Heisler)圖。以無限大平板為例，它首先據(jù)式(3-21)給出m/0隨Fo及Bi變化的曲線(此時x/0)，隨后再據(jù)式(3-22)確定 /m之值，于是平板中恣意一點的/0值便為 同樣，對于初始時辰到時辰物體與環(huán)境間所交換的熱量，可以利用式(3-23) 作出QQ0 f(Fo，Bi)的圖線。作為例如

17、，無限大平板的m/0、 /m及QQ0的計算圖線示于圖3-4、3-5及3-6中。3-28圖3-4 無限大平板中心溫度的諾謨圖圖3-5 無限大平板的 /m曲線圖3-6 無限大平板的Q/Q0曲線 值得指出，諾模圖雖然有簡捷方便的優(yōu)點。似其計算的準確度遭到有限的圖線的影響。隨著近代計算技術(shù)的迅速開展，直接運用分析解或其簡化擬合式來計算的方法將日益遭到注重。4.分析解運用范圍的推行和討論 上述分析解的運用范圍可以作三點推行。 (1)對無限大平板問題的分析是以平板被加熱的情況為例的，但不難證明，上述結(jié)果對物體被冷卻的情況同樣適用； (2)從無限大平板問題的數(shù)學描畫式(3-14)(3-17)可以看出，分析解

18、式(3-18)也適用于一側(cè)絕熱、另一側(cè)為第三類邊境條件的厚為的平板情形； (3)當固體外表與流體間的外表傳熱系數(shù)趨于無窮大時，固體的外表溫度就趨近于流體溫度，因此Bi時的上述分析解就是物體外表溫度發(fā)生一忽然變化然后堅持不變時的解，即第一類邊境條件的解。 下面討論Fo數(shù)及Bi數(shù)對溫度場的影響。 (1)分析解式(3-18)、(3-21)及諾漠圖清楚地闡明，物體中各點的過余溫度隨時間的添加而減小。由于Fo數(shù)與成正比，所以物體中各點的過余溫度亦隨Fo數(shù)的添加而減小。 (2)Bi數(shù)的影響那么可以從兩個方面來闡明。 一方面，從圖3-4可以看出，在一樣的Fo數(shù)的條件下，Bi數(shù)越大(即1Bi越小)， m/0的

19、值越小。由于Bi數(shù)越大，意味著外表上的換熱條件越強，導致物體的中心溫度越迅速地接近周圍介質(zhì)的溫度。在極限情況下，Bi ，這相當于在過程開場瞬間物體外表就到達了周圍介質(zhì)的溫度，物體中心溫度的變化當然也最迅速。所以，諾謨圖中1/Bi=0的線本質(zhì)上就代表壁溫堅持恒定的第一類邊境條件的解。 另一方面，Bi數(shù)的大小還決議物體中溫度的扯平程度。例如對于平板，從諾謨圖3-5中可以看到，當1Bi10(即Bi0.1)時，截面上的過余溫度差值已小于5。假設采用忽略物體內(nèi)部熱阻的簡化分析，即前面已引見過的集總參數(shù)法做計算，誤差也不大。在海斯勒圖上，為得到更高的計算準確度，Bi數(shù)的下限不斷推到0.01，這時分析解與集

20、總參數(shù)法的解相差極微。由此可見：介質(zhì)溫度恒定的第三類邊境條件下的分析解，在Bi的極限情況下轉(zhuǎn)化為第一類邊境條件下的解，而在Bi0的極限情況下那么與集中參數(shù)法的解一樣。3-4 二維及三維非穩(wěn)態(tài)導熱問題的求解 在二維及三維非穩(wěn)態(tài)導熱問題中，幾個重要的典型幾何外形物體的非穩(wěn)態(tài)導熱問題的分析解，可以利用維非穩(wěn)態(tài)導熱問題分橋解的組合求得。無限長方柱體、短圓柱體及短方柱體就是這類典型幾何外形的例子。 下面以無限長方柱體(即其截面為長方形的柱體)的非穩(wěn)態(tài)導熱問題為例來作分析。這是一個二維問題。截面尺寸為21 22的方柱體可以看成是兩塊厚度分別為21及22的無限大平板垂直相交所截出的物體。討論的目的是要找出這個二維溫度場與兩塊無限大平板的溫度場的關系。 方柱體的截面如圖3-7所示。設方柱體的初始溫度為t0，過程開場時被置于溫度為的t度的流體中，外表與流體間的外表傳熱系數(shù)為h。試求其溫度場。 圖3-7 分析方柱體