高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué) I題庫(kù)解答

1、 dM (a f = dai ai 證明： M ( a 對(duì) ai 求導(dǎo)得 n f xk f dM (a = k =1 + dai xk ai ai 而一階條件意味著 f ( x* =0 xk 所以有 dM (a f = dai ai 6. 簡(jiǎn)單來(lái)自Jehle and Reny 運(yùn)用包絡(luò)定理證明霍太林引理： 設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為 ( p , w ，其中 p 為產(chǎn)出品的價(jià)格，w 為生產(chǎn)投入品的價(jià)格。則利潤(rùn)函數(shù) 對(duì) p 求偏導(dǎo)得到生產(chǎn)函數(shù)，即： ( p, w = f ( x p x 證明：生產(chǎn)者的利潤(rùn)最大化問(wèn)題為 ( p, w = max pf ( x w x 由包絡(luò)定理得 ( p, w pf ( x w

2、x = = f ( x p p 7. 困難來(lái)自 Jehle and Reny 證明有約束條件的包絡(luò)定理 max f ( x1 ,., xn , a1 ,., am s.t. h1 ( x1 ,., xn , a1 ,., am = 0 hm ( x1 ,., xn , a1 ,., am = 0 令 V (a1 ,., am = max f ( x1 ,., xn , a1 ,., am s.t. h1 ( x1 ,.xn , a1 ,., am = 0 hm ( x1 ,.xn , a1 ,., am = 0 則： m h V L f = µj j (a1 ,., am = ak

3、ak ak j =1 ak 證明：最大化問(wèn)題的拉格朗日式為： L = f ( x1 ,., xn , a1 ,., am µ j h j ( x1 ,.xn , a1 ,., am j =1 m (1 一階條件為： f ( x1 (a1 ,., am ,., xn (a1 ,., am , a1 ,., am xi µ j j =1 m h j ( x1 (a1 ,., am ,., xn ( a1 ,., am , a1 ,., am xi   21    (2 =0   for all i = 1,., n. h ( x ,.,

4、xn , a1 ,., am L f ( x1 ,., xn , a1 ,., am m = µj j 1 ak ak ak j =1 由鏈?zhǔn)椒▌t有： n f ( x1 ( a1 ,., am ,., xn ( a1 ,., am , a1 ,., am xi V (a1 ,., am = i ak xi ak i =1 (3 f ( x1 (a1 ,., am ,., xn (a1 ,., am , a1 ,., am + ak 運(yùn)用一階條件得到： n m h j ( x1 (a1 ,., am ,., xn (a1 ,., am , a1 ,., am xi V (a1 ,.,

5、am = µ j i ak xi i =1 j =1 ak (4 f ( x1 (a1 ,., am ,., xn (a1 ,., am , a1 ,., am + ak 因?yàn)閷?duì)所有的 j = 1,., m. h j ( x1 ,.xn , a1 ,., am = 0 我們有： (5 i =1 n h j ( x1 ,.xn , a1 ,., am xi h j ( x1 ,.xn , a1 ,., am i + =0 xi ak ak m h ( x ,.xn , a1 ,., am V (a1 ,., am = µ j ( j 1 ak ak j =1 (6 所以 f

6、( x1 (a1 ,., am ,., xn (a1 ,., am , a1 ,., am + ak 聯(lián)合(3和(7得到 m h V L f = µj j (a1 ,., am = ak ak ak j =1 ak (7 8. 簡(jiǎn)單來(lái)自Jehle and Reny 運(yùn)用包絡(luò)定理證明羅伊恒等式：假定效用函數(shù)是嚴(yán)格遞增，嚴(yán) 格擬凹，并在 n + 上連續(xù)可導(dǎo)。記 x ( p , y 和 v ( p , y 分別為馬歇爾需求函數(shù)和直接效用 函數(shù)。則對(duì)任意 p 0 和 y >0 都有 xi ( p, y = 證明：效用最大化問(wèn)題為 v( p, y / pi v( p, y / y v (

7、 p , y = max u ( x1 ,., xn x1 ,., xn n i =1 s.t. 拉格朗日式為 pi xi = y n L = v( p, y µ ( i =1 pi xi y 由包絡(luò)定理有 v( p, y / pi = L / pi = µ xi v ( p , y / y = L / y = µ 所以   22      v( p, y / pi = xi ( p, y v( p, y / y n 9. 簡(jiǎn)單來(lái)自Jehle and Reny 運(yùn)用包絡(luò)定理證明謝波特引理： 設(shè) x ( p , u 和 e (

8、 p , u 為希克斯需求函數(shù)和支出函數(shù)。如果 e ( p , u 對(duì) p 在 R+ 上連續(xù)可 導(dǎo)，則 e( p, u = xi ( p, u pi 證明：支出最小化問(wèn)題為 e( p, u = min 拉格朗日式為 x1 ,., xn n i =1 pi x i s.t. u ( x1 ,., xn = u L = i =1 pi xi µu u ( x1 ,., xn n 由包絡(luò)定理得 e( p, u L = = xi ( p, u 。 pi pi 10. 簡(jiǎn)單來(lái)自Jehle and Reny 運(yùn)用包絡(luò)定理證明謝波特引理： 設(shè)成本函數(shù)為 C ( w, y ， 證明成本函數(shù)對(duì)要素 i 的價(jià)格求偏導(dǎo)即得到 i 的條件要素需求函 數(shù)，即： C ( w, y = xi ( w, y 。 wi 證明：如果生產(chǎn)某種商品有 n 種要素投入，則成本函數(shù)為 C ( w, y = min i =1 wi xi n x s.t. f ( x1 ,., xn = y 拉格朗日式為 L = i