選修1-1第二章(2)雙曲線及拋物線

1、教師姓名學(xué)生姓名填寫時(shí)間年級 高二學(xué)科數(shù)學(xué)上課時(shí)間階段基礎(chǔ)（） 提高（） 強(qiáng)化（ ）課時(shí)計(jì)劃第（ ）次課共（ ）次課教學(xué)目標(biāo)1掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì)并會靈活應(yīng)用.2了解圓錐曲線在高考中的地位及考察方式.雙曲線與拋物線知識梳理1、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（1）雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)、的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a（小于|）的動點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.在這個定義中，要注意條件2a|，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=|，則動點(diǎn)的軌跡是兩條射線；若2a|，則無軌跡.若時(shí)，動點(diǎn)的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又若時(shí)，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個分支組成的，

2、故在定義中應(yīng)為“差的絕對值”.（2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.2、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（1）雙曲線實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b，離心率離心率e越大，開口越大.（2）雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：，其中k是一個不為零的常數(shù).（3）焦半徑公式，.（4）雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系若雙曲線方程為漸近線方程：；若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為；若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)

3、在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上）. （5）雙曲線的第二定義、準(zhǔn)線方程.題型一 求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程例1 已知雙曲線過兩點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解法1 當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為：，因?yàn)樵陔p曲線上，所以, 解得：；所求的雙曲線方程為：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在Y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為：，因?yàn)樵陔p曲線上，所以, 解得：；（不合舍去）綜上：所求的雙曲線方程為：解法2 因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)位置不定，所以設(shè)雙曲線的方程為：因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，解得所求的雙曲線方程為：評析 解法1采用了通法，因?yàn)闊o法判斷焦點(diǎn)所在的位置，分兩種情況討論。解法2將雙曲線的方程設(shè)為，運(yùn)算比較簡便。題型二 雙曲線的性質(zhì)應(yīng)用例2已知雙曲線與橢圓

4、共焦點(diǎn)，它們的離心率之和為，求雙曲線方程.解 由于橢圓焦點(diǎn)為F(0,4),離心率為e=,所以雙曲線的焦點(diǎn)為F(0,4),離心率為2,從而c=4,a=2,b=2.所以求雙曲線方程為: .評析 關(guān)于雙曲線離心率、漸近線問題常常是考察的重點(diǎn)，主要尋找三元素之間的關(guān)系題型三 有共同漸近線的雙曲線方程的求法例3 求與雙曲線有共同的漸近線，并且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線方程解 由題意可設(shè)所求雙曲線方程為：雙曲線經(jīng)過點(diǎn) 所求雙曲線方程為： 評析 漸近線為的雙曲線方程可設(shè)為，若與有共同的漸近線也可以設(shè)出雙曲線系，再把已知點(diǎn)代入，即可求出題型四 綜合題例4 設(shè)雙曲線上兩點(diǎn)A、B，AB中點(diǎn)M（1，2）求直線AB方程；如果線段

5、AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D是否共圓，為什么？解法一：顯然AB斜率存在設(shè)AB：y-2=k(x-1) 由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0當(dāng)>0時(shí)，設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2） 則 k=1，滿足>0 直線AB：y=x+1 法二：設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2）則兩式相減得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) x1x2 AB：y=x+1代入得：>0評注：法一為韋達(dá)定理法，法二稱為點(diǎn)差法，當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)，常用這兩種途徑處理。在利用點(diǎn)差法時(shí)，必須檢驗(yàn)條件>0是否成立。（2）設(shè)A、B、C

6、、D共圓于OM，因AB為弦，故M在AB垂直平分線即CD上；又CD為弦，故圓心M為CD中點(diǎn)。因此只需證CD中點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由得：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3由得：x2+6x-11=0設(shè)C（x3,y3），D（x4,y4），CD中點(diǎn)M（x0,y0）則 M（-3，6） |MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|= |MA|=|MB|=|MC|=|MD| A、B、C、D在以CD中點(diǎn)，M（-3，6）為圓心，為半徑的圓上評析：此類探索性命題通?？隙M足條件的結(jié)論存在，然后求出該結(jié)論，并檢驗(yàn)是否滿足所有條件.本題應(yīng)著重分析圓的幾何性質(zhì)，以定圓心和

7、定半徑這兩定為中心，充分分析平面圖形的幾何性質(zhì)可以使解題思路更清晰，在學(xué)習(xí)中必須引起足夠重視.題型五 直線與雙曲線的位置關(guān)系例5 已知不論b取何實(shí)數(shù)，直線y=kx+b與雙曲線x22y2=1總有公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍.分析 聯(lián)立方程組，結(jié)合數(shù)形討論解 聯(lián)立方程組消去y得(2k21)x2+4kbx+2b2+1=0,當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行，（1）當(dāng)時(shí)，有一個交點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，沒有交點(diǎn)，所以不合題意當(dāng)時(shí)，依題意有=(4kb)24(2k21)(2b2+1)=4(2k22b21)0，對所有實(shí)數(shù)b恒成立，2k210，得 所以評析 利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用

8、判別式、韋達(dá)定理來求解或證明注意：與雙曲線只有一個公共點(diǎn)的直線有兩種一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點(diǎn)的直線另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條知識梳理1拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線l上)定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（,0），它的準(zhǔn)線方程是；2拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程圖

9、形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點(diǎn)離心率說明：（1）通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個頂點(diǎn)，一個焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離題型一 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1 已知拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線上的點(diǎn)M（3，m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和m的值.解法1 設(shè)拋物線方程y2=2px(p0)，則焦點(diǎn)F（,0)，由題設(shè)可得：，解得故拋物線的方程為y2=8x,m的值為±.解法2 設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0)，則焦點(diǎn)F（,0），準(zhǔn)線方程為x=.根據(jù)拋物線的定義

10、，M到焦點(diǎn)的距離等于5，也就是M到準(zhǔn)線的距離等于5，則+3=5，p=4因此拋物線方程為y2=8x，又點(diǎn)M（3，m)在拋物線上，于是m2=24，m=±題型二：焦點(diǎn)弦問題例2 斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，求線段AB的長.解法1 如圖所示，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程x=1.由題可知，直線AB的方程為y=x1，代入拋物線方程y2=4x，整理得：x26x+1=0解上述方程得x1=3+2,x2=32，分別代入直線方程得y1=2+2,y2=22即A、B的坐標(biāo)分別為（3+2，2+2），（32，22）|AB|=解法2 設(shè)A(x1,y1)、B

11、(x2,y2)，則x1+x2=6,x1·x2=1|AB|=|x1x2|解法3 設(shè)A（x1,y1)、B(x2,y2),由拋物線定義可知，|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=1的距離|AA|即|AF|=|AA|=x1+1；同理|BF|=|BB|=x2+1 |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8評析： 解2是利用韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求，是解析幾何中求弦長的一種普遍適用的方法；解3充分利用了拋物線的定義，解法簡潔，值得引起重視備選題例3在拋物線上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到直線的距離最短。解：設(shè)點(diǎn)，距離為， 當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)為所求的點(diǎn)。評析，此問題可以設(shè)點(diǎn),利用拋物線標(biāo)點(diǎn)法求解；也可以設(shè)

12、與相切，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)。雙曲線與拋物線（學(xué)生作業(yè)） 圓錐曲線與方程（作業(yè)）一、選擇題（每小題5分，共60分）1橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為（）A B C2 D4 2過拋物線的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則等于（）A10B8 C6D43若直線ykx2與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A， B， C， D， 4（理）已知拋物線上兩個動點(diǎn)B、C和點(diǎn)A（1，2）且BAC90°，則動直線BC必過定點(diǎn)（）A（2，5）B（-2，5） C（5，-2）D（5，2）（文）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，、，兩點(diǎn)，若，則等于（） A4

13、pB5pC6p D8p5.已知兩點(diǎn),給出下列曲線方程：;.在曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是（ ） （A） （B） （C） （D）6已知雙曲線（a0，b0）的兩個焦點(diǎn)為、，點(diǎn)A在雙曲線第一象限的圖象上，若的面積為1，且，則雙曲線方程為（） A B C D 7圓心在拋物線上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及x軸都相切的圓的方程是（）ABC D8雙曲線的虛軸長為4，離心率，、分別是它的左、右焦點(diǎn)，若過的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，且是的等差中項(xiàng)，則等于（ ）A BCD89（理）已知橢圓（a0）與A（2，1），B（4，3）為端點(diǎn)的線段沒有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是（） A B或 C或 D

14、（文）拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）A0 B C2D310已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個焦點(diǎn)為,直線與其相交于兩點(diǎn), 中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,則此雙曲線的方程是( )(A) (B) (C) (D) 11.將拋物線繞其頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則拋物線方程為（ ）（A） （B） （C） （D）12若直線和O沒有交點(diǎn)，則過的直線與橢圓的交點(diǎn)個數(shù)（）A至多一個 B2個 C1個 D0個二、填空題（每小題4分，共16分）13橢圓的離心率為，則a_ 14已知直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于，則雙曲線的兩條漸近線的夾角的正切值等于_15長為l0l1的線段AB的兩個端點(diǎn)在拋物線上滑動，則線段AB中點(diǎn)

15、M到x軸距離的最小值是_ 16某宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地球中心F為焦點(diǎn)的橢圓，測得近地點(diǎn)A距離地面，遠(yuǎn)地點(diǎn)B距離地面，地球半徑為，關(guān)于這個橢圓有以下四種說法：焦距長為；短軸長為；離心率；若以AB方向?yàn)閤軸正方向，F(xiàn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與F對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為，其中正確的序號為_ 三、解答題（共44分）17（本小題10分）已知橢圓的一個頂點(diǎn)為A（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上.若右焦點(diǎn)到直線的距離為3.（1）求橢圓的方程;（2）設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N.當(dāng)時(shí)，求m的取值范圍.18（本小題10分）雙曲線的右支上存在與右焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線等距離的點(diǎn)，求離心率的取值范圍.xOABMy19.（本小題12分）如圖，直

16、線與拋物線交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，且.（1）求證：點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）求證：；（3）求的面積的最小值.20（本小題12分）已知橢圓方程為，射線（x0）與橢圓的交點(diǎn)為M，過M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（異于M）（1）求證直線AB的斜率為定值；（2）求面積的最大值三、解答題（20分）11（本小題滿分10分）已知直線與圓相切于點(diǎn)T，且與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn).若T是線段AB的中點(diǎn)，求直線的方程.12（10分）已知橢圓（ab0）的離心率，過點(diǎn)和的直線與原點(diǎn)的距離為（1）求橢圓的方程（2）已知定點(diǎn)，若直線與橢圓交于C、D兩點(diǎn)問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)?請說明理由圓錐

17、曲線單元檢測答案1. A 2.B 3 D 4 理C 文A 5 D 6 A 7 D 8A 9 理B 文B 10 D 11 B 12 B13或 14 15 1617.（1）依題意可設(shè)橢圓方程為 ，則右焦點(diǎn)F（）由題設(shè) 解得 故所求橢圓的方程為.4分.（2）設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，由 得 由于直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，即 6分 從而 又，則 即 8分把代入得 解得 由得 解得 .故所求m的取范圍是（）10分18設(shè)M是雙曲線右支上滿足條件的點(diǎn)，且它到右焦點(diǎn)F2的距離等于它到左準(zhǔn)線的距離，即，由雙曲線定義可知 5分由焦點(diǎn)半徑公式得 7分而 即 解得 但 10分19. (1 ) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為, 直線方程為, 代入得 是此方程的兩根, ，即點(diǎn)的坐標(biāo)為（1, 0）. (2 ) . （3）由方程，, , 且 , 于是=1， 當(dāng)時(shí)，的面積取最小值1.20解析：（1）斜率k存在，不妨設(shè)k0，求出（，2）直線MA方程為，直線方程為分別與橢圓方程聯(lián)立，可解出，（定值）（2