八年級(jí)講義-反比例函數(shù)(教師版)

1、環(huán)球雅 思教育學(xué)科教 師講義講義編號(hào)： 副校長(zhǎng)/組長(zhǎng)簽字： 簽字日期： 學(xué)員編號(hào)：年級(jí)： 八課時(shí)數(shù)：3課時(shí)學(xué)員姓名：TR版輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué)學(xué)科教師：孟彥課 題17.1反比例函數(shù)授課日期及時(shí)段教學(xué)目的重難點(diǎn)教學(xué) 內(nèi) 容【基礎(chǔ)知識(shí)鞏固】一，k k 11 .定乂： 一般地，形如y （k為常數(shù)，k o）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。y -還可以寫成y kx 1xx2 .反比例函數(shù)解析式的特征：等號(hào)左邊是函數(shù) y,等號(hào)右邊是一個(gè)分式。分子是不為零的常數(shù)k （也叫做比例系數(shù) k）,分母中含有自變量 x,且指數(shù)為1.比例系數(shù)k 0自變量x的取值升-切非零實(shí)數(shù)。函數(shù)y的取值切非零實(shí)數(shù)。3 .反比例函數(shù)的圖像圖像的畫法

2、：描點(diǎn)法 列表（應(yīng)以。為中心，沿 O的兩邊分別取三對(duì)或以上互為相反的數(shù)）描點(diǎn)（有小到大的順序）連線（從左到右光滑的曲線）k反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，y （k為常數(shù)，k 0）中自變量x 0,函數(shù)值y 0,所以雙曲線是不經(jīng)過(guò)x原點(diǎn)，斷開(kāi)的兩個(gè)分支，延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，但是永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。反比例函數(shù)的圖像是是軸對(duì)稱圖形（對(duì)稱軸是y x或y x）。kk反比例函數(shù)y _ (k 0)中比例系數(shù)k的幾何意義是：過(guò)雙曲線 y (k 0)上任意引x軸y軸的垂線,所得矩形面積為|k|o4 .反比例函數(shù)性質(zhì)如下表:k的取值圖像所在象限函數(shù)的增減性k o一、三象限在每個(gè)象限內(nèi)，y值隨x的增大而減小k o二、四

3、象限在每個(gè)象限內(nèi)，y值隨x的增大而增大k)6.“反比例關(guān)系”與“反比例函數(shù)”:成反比例的關(guān)系式不一定是反比例函數(shù)，但是反比例函數(shù)k一中的兩個(gè)變量必成x5 .反比例函數(shù)解析式的確定：利用待定系數(shù)法(只需一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出反比例關(guān)系。反比例函數(shù)的意義i.下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是(A.y=x 1B.y=1C.y=2xD. y =2x答案：C2.已知某氣體的質(zhì)量為5 kg,則其密度p (kg/n3)與體積V(m3)之間的關(guān)系式為函數(shù).、5反比例答案：p=(V>0)V3 .什么是算術(shù)中的反比例定義?答案：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的

4、兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系4 .一張一百元的新版人民幣把它換成50元的人民幣，可得幾張？換成10元的人民幣可得幾張？依次換成 5元，2元，1元的人民幣，各可得幾張？換得的張數(shù)y與面值x之間有怎樣的關(guān)系呢？請(qǐng)同學(xué)們填表：換成的面值x(元)502010521換成的張數(shù)y(張)(1)用含有x的代數(shù)式表示y.(2)換成的面值x會(huì)怎樣變化呢？變量 y是x的函數(shù)嗎？為什么？解析：填表的過(guò)程中可總結(jié)出換得的張數(shù)y與面值x之間的關(guān)系是y=100 ,并且面值x變化時(shí)，換成的張數(shù) y隨之x變化，且對(duì)于任一個(gè) x都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，所以變量y是x的函數(shù).反比例函數(shù)的圖像和

5、性質(zhì)1 .什么是反比例函數(shù)？k答案：一般地，形如y= (k是常數(shù)，kw陰函數(shù)叫做反比例函數(shù).x2 .判斷下面哪些式子表示 y是x的反比例函數(shù)？為什么？1 2，八 2a(1)xy= ;(2)y=5 x;(3)y=；(4)y= (a 為常數(shù)且 a w 0).3 5xx答案：(1)(3)(4)是反比例函數(shù)，因?yàn)?(3)(4)是形如y=K(k是常數(shù)，kw陰函數(shù)；(2)不是反比例函數(shù)，因?yàn)?2)不是形x, k 如y= (k是常數(shù)，kw咂函數(shù).x3.已知反比例函數(shù)y=-的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),則在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而 .x答案:減小【典型例題分析】反比例函數(shù)的意義1 .下列函數(shù)中哪些是正比例函數(shù)？哪

6、些是反比例函數(shù)？(1)y=3x 1;(2)y=2x 2;(3)y= 1 ;(4)y= 2x ;(5)y=3x;(6)y=- ;(7)y= ；(8)y=.x 3x 3x 2xk解析：一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，kw。)勺函數(shù)叫做正比例函數(shù)；形如y=(k是常數(shù)，kw q)j函數(shù)叫做反比例函數(shù).x答案：正比例函數(shù)有(4)(5);反比例函數(shù)有(3)(6)(8).2 .已知函數(shù)y=3xm 7是正比例函數(shù)，則 m= ;已知函數(shù)y=3x m - 7是反比例函數(shù)，則m=.解析：由正比例函數(shù)和反比例函數(shù)定義可得：當(dāng)m7=1，即m=8時(shí)，函數(shù)y=3xm 7是正比例函數(shù)；當(dāng) m7=1，即m=6時(shí)，函數(shù)y=3xm

7、 7是反比例函數(shù).答案：8 63 .一個(gè)矩形的面積是 20 cm2,相鄰的兩條邊長(zhǎng)為 x cm和y cm,那么變量y是x的函數(shù)嗎？是反比例函數(shù)嗎？為什么？解析：根據(jù)矩形面積公式得 20=xy,所以求得y=20,那么變量y是x的反比例函數(shù).x4 .已知點(diǎn)A( -2, 3)在反比仞函數(shù) y= a的圖象上，則 a=. x解析：點(diǎn)A( 2, 3)在反比仞函數(shù)y=_a的圖象上表示當(dāng)x= 2時(shí)y=3,所以求得a= 6. x答案：65 .某村有耕地346.2公頃，人口數(shù)量n逐年發(fā)生變化，那么該村人均占有耕地面積m(公頃/人)是全村人口數(shù)量 n的函數(shù)嗎？是反比例函數(shù)嗎？為什么？346.2解析：人均耕地=(n豐

8、0,以是函數(shù)關(guān)系，且符合反比例函數(shù)定義.n6.y是x的反比例函數(shù)，下表給出了 x與y的一些值：x-21121213y2321(1)寫出這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)根據(jù)函數(shù)表達(dá)式完成上表.解:(1)設(shè)丫=£把 x= 1,y=2 代入得 k= -2,y= -.xx(2)依次代入已知的x值求y值,或代入已知的y值求x值.從左至ij右依次為 x= - 3,y=1,y=4,y= -4,y= - 2,x=2,y= .37 .已知y=yi y2, yi與x成反比例，y2與x2成正比例，并且當(dāng) x=3時(shí),y=5;x=1時(shí)，y= 1.求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.解:設(shè) yi=±1, y2=k

9、2(x 2),1. y= k2(x 2).當(dāng) x=3 時(shí)，y= -k2 (3 2)=5 ,即 k2 =5;33當(dāng) x=1 時(shí)，y= k2 (1 2)= 1,即 k1+k2= 1, k1=3, k2= 4.1. y= +4(x 2).1x反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)k1 .如果反比例函數(shù) y=k的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一3,4)，那么k的值是()x解析：將( 3,4)的坐標(biāo)代入y=k,得k= 12. 答案：12 x2 .如圖某閉合電路中，電源的電壓為定值，電流I(A)與電阻R(成反比例.右圖表示的是該電路中電流I與電阻R之間關(guān)系的圖象，則用電阻R表示電流I的函數(shù)關(guān)系式為()k解析：設(shè)1= 一,將（3,2）代入即

10、得k=6.R6答案：.1=Ry=kx k的圖象大致是（）3.函數(shù)y= k（k豐0）圖象如圖所示，那么函數(shù) x答案:Ck .解:y二在二、四象限，所以k<0,則y=kx -k向左傾斜，與y軸交于正半軸.解析：反比例函數(shù)y= 2的圖象在第一、三象限，而反比例函數(shù)y= -2的圖象在第二、四象限. 答案：（2）3x3x4.下圖給出了反比例函數(shù) 丫=2和丫= -2的圖象，你知道哪一個(gè)是y= -2的圖象嗎?3x 3x3xx5.已知反比例函數(shù) y= -3m_2,當(dāng)m 時(shí)，其圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限內(nèi)；當(dāng) m 時(shí),x其圖象在每個(gè)象限內(nèi) y隨x的增大而增大.3m 22斛析：右使反比例函數(shù)y=的圖象的兩

11、個(gè)分支在第一、二象限內(nèi)，需使 3m-2>0,即m ；若使反比例函x3一 3m2 一 一 .一一一， .，一 2數(shù)y= 3m2的圖象在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，需使3m- 2v 0,即m -.x3-22答案：22336.直線y=2x與雙曲線y=k的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 4),則它們的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是 8y , /n x2j x-2x ,解得 或y4y-4y 2x,X解析：因?yàn)辄c(diǎn)(2,4)在雙曲線y= k上，所以4= k，得k=8 ,則它與y=2x組成方程組 x2所以另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是(一2, - 4).答案：(一2, - 4)【重點(diǎn)知識(shí)鞏固】2k2 k 2【例1】如果函數(shù)y kx的圖像是

12、雙曲線，且在第二，四象限內(nèi)，那么的值是多少？【解析】有函數(shù)圖像為雙曲線則此函數(shù)為反比例函數(shù)y K,(k 0)即y kx 1 ( k 0)又在第二，四象限內(nèi)，x則k 0可以求出的值【答案】由反比例函數(shù)的定義，得：212k k 21解得k 1或k 2k 0k 0 2k 1，一一2k2 k 2 ，1k 1時(shí)函數(shù)y kx 為y x1【例2】在反比例函數(shù) y一的圖像上有三點(diǎn)x1,y1,x2 ,y2,x3 ,y3。右x1x20x3則下列各式正x確的是()a y3 y1 y2 b . y3 y2 y c . y y2 y d . y yz y【解析】可直接以數(shù)的角度比較大小，也可用圖像法，還可取特殊值法。1

13、11斛法一:由題思得 y1一，y2 , y3Xx2x3x1 x2 0 x3,y3 y1 y2 所以選 A1斛法一：用圖像法，在直角坐標(biāo)系中作出y 的圖像xy2選A1,y31, y3 y1 y2描出三個(gè)點(diǎn)，滿足 x1 x20 x3觀察圖像直接得到 y y1解法三：用特殊值法人1xx20x3,令x12,x21,x31y1一，y22【例3】如果一次函數(shù)y mxn m 0與反比例函數(shù)3n m的圖像 相交于點(diǎn)（3,2）,那么該直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為（【解析】直線ymx n與雙曲線y3n m一一 1 一x相父于2,21 -m2 3n2解得1直線為y 2x 1,雙曲線為y工解方程組xy 2x1xiyix

14、2y2另一個(gè)點(diǎn)為1, 1【例4】如圖，在Rt AOB中，點(diǎn)A是直線ym與雙曲線m在第一象限的交點(diǎn)，且 S aob 2 ,則m的值 xxa, Na .解：因?yàn)橹本€則有Ya xa m,yA 旦.所以m xaxaNa.又點(diǎn)A在第一象限，所以O(shè)Bxaxa, AB I Ya Ya.所以S AOB1-11OB?AB 1 xAy221一 m.而已知S AOB 2AB2【課后強(qiáng)化練習(xí)】反比例函數(shù)的意義1 .下列關(guān)系式中，哪個(gè)等式表示y是x的反比例函數(shù)（）k A.y= _ xBB.y= -2xC.y噌D. 2xy=1解析：選項(xiàng)A中的k沒(méi)說(shuō)明是否為0,選項(xiàng)B中的1x出現(xiàn)了二次，選項(xiàng) C中y是2x+1的反比例函數(shù).

15、D符合反比例函數(shù)定義，故選D.答案:D2 .下列各變量之間的關(guān)系屬于反比例函數(shù)關(guān)系的有(當(dāng)路程s一定時(shí) 汽車行駛的平均速度v與行駛時(shí)間t之間的關(guān)系；當(dāng)電壓U一定時(shí)，電路中的電阻R與通過(guò)的電流強(qiáng)度I之間的函數(shù)關(guān)系；當(dāng)矩形面積 S一定時(shí)，矩形的兩邊a與b之間的函數(shù)關(guān)系；當(dāng)受力F一定時(shí)，物體所受到的壓強(qiáng) p與受力面積S之間的函數(shù)關(guān)系.A.B.C.D.解析： v= s R=U- a=S ®p=£ .答案：Dt 1bs3 .下列函數(shù)表達(dá)式中，x均表示自變量，那么哪些是反比例函數(shù)?如果是，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填上k的值;如果不是，請(qǐng)?zhí)钌?不是”丫二 5( x丫二 x (2x(5)y=()；)；)

16、；(7)y=2x 1 ().0.4(2)y=(4)xy=2(6)y=(x)；)；)；k斛析：由反比例函數(shù)te乂 ：形如y= (k是常數(shù)，kw咂函數(shù)叫做反比例函數(shù)，可知(2)(4)(6)是反比例函數(shù)，其 kx值分另I為5、0.4、2、 5、2.答案：(1)5 (2)0.4 (3)不是 (4)2 (5)不是 (6) 5 (7)2關(guān)系.4 .若y與x成正比例，z與y成反比例，則x與z之間成卜2斛析：令 y=k1x(k10),z= (k2W 0所以 z=y，即x= -2-.因?yàn)閗1半0,kw所以豐斷以x是z的反比例函數(shù).k1xk1 zki答案：反比例5.已知y與(2x+1)成反比例,且 x=1時(shí),y=

17、2,那么當(dāng)x=0時(shí)，y=解析：因?yàn)閥與(2x+1)成反比例，可設(shè)y=k,由x=1時(shí)，y=2得k=6 ,即函數(shù)解析式為 y=-6,所以當(dāng)x=02x 12x 1時(shí)，y=6.答案：66.已知函數(shù)y=(m+2)x m 3是反比例函數(shù)，求m的值.解:由反比例函數(shù)的定義，得1m1 3'解得m=2.m 2 0.7 .已知y=yi+y2, yi與x成正比例，y2與x成反比例，并且 x=i時(shí)y=0 ； x=2時(shí)y=3,求函數(shù)的解析式.k2k2斛： yi 與 x 成正比例，y2 與 x 成反比例， ，設(shè) yi=kix,y2=(kiw0,kw 0).又 y=yi+y2=kix+ 一xx當(dāng) x=1 時(shí),y=0

18、;x=2時(shí),y=3.ki k20,2ki 1k2 2解得3.kik22,、2，這個(gè)函數(shù)的解析式為y=2x 2.xI=ioR(2)當(dāng) 1=0.5 時(shí),0.5= ，.二 R=20.R8 .在某一電路中，保持電壓U（伏特）不變，電流1（安培）與電阻R（歐姆）成反比例，當(dāng)電阻 R=5時(shí)，電流1=2安培.（1）求I與R之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)電流1=0.5安培時(shí)，求電阻 R的值.解:（i） I= U ,當(dāng)R=5, I=2時(shí)，2=U，得U=i0. I與R之間的函數(shù)關(guān)系式為反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)1.若點(diǎn)（一2,yi）、（1,y2）、（2,y3）都在反比例函數(shù)y=i ,一 一的圖象上，則有（xA.yi &g

19、t;y2>y3B.y i>y3> y2C.y3>yi>y2D.y2>yi >y3解析：因?yàn)閥= 工在第四象限內(nèi)隨 x的增大xy增大,又知道iv2,所以y2< y3.而（2,yi）在第二象限，故yi>0,所以yi>y3>y2.答案：B2.已知一個(gè)矩形的面積為24 cm2,其長(zhǎng)為 y cm,寬為x cm,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系白圖象大致是 （）答案：D,其中k=24>0, x>0,所以函數(shù)關(guān)系的圖象大致是答案D的圖象.x3.已知函數(shù)y=k的圖象過(guò)點(diǎn)A（6,i），則下列點(diǎn)中不在該函數(shù)圖象上的點(diǎn)是（）xB.(-1-6)解析：

20、將點(diǎn)A(6, 1)代入y= k,得k= 6,再將四個(gè)選擇項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式驗(yàn)證，兩坐標(biāo)之積不為6的即不在圖象上x(chóng)答案：BA.( 2,3)C.(6)D.(2, 3)4.已知k>0,()ky=的圖象在二、四象限，所以X解析：當(dāng)k>0時(shí)正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和一、三象限，而反比例函數(shù)選C.選項(xiàng)A的正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和二、四象限，則k<0.選項(xiàng)k的反比例函數(shù)y=-的圖象在一、x三象限，則一k>0,即k<0.選項(xiàng)D的錯(cuò)誤和選項(xiàng) A、B的錯(cuò)誤一樣.答案：C5.反比例函數(shù)ky= -(k>0)在第一象限的圖象如圖所不，點(diǎn)xk的值是()M是圖象上一點(diǎn)，MP垂直x軸于點(diǎn)P,如果 MOP的面積解析： MOP的面積等于-OPXPM=1 ,2y=- (k>0)的圖象在第一象x11、限，所以 OP=|x1|=x1, PM=|y 1|=y1,即 - XOPXPM= 一 x1y1=1.所以 k=x 1y1=2.答案：2226.已知反比例函