畢達(dá)哥拉斯方法

1、畢達(dá)哥拉斯方法（浙江寧波東方外國語學(xué)校 栗建洲 315500）一、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派簡介畢達(dá)哥拉斯（Pythagoreans，約公元前585 500年）是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他在音樂、天文、哲學(xué)方面也有相當(dāng)研究，首創(chuàng)“地圓說”，認(rèn)為日、月、五星都是球體，懸浮在太空之中。雖然他的生平很少為人所知，但他那傳奇般的經(jīng)歷卻給后人留下了眾多神奇的傳說。據(jù)考證，畢達(dá)哥拉斯生于靠近小亞細(xì)亞海岸薩摩斯（Samos，今希臘東部小島），早年曾追隨古希臘大哲學(xué)家泰勒斯（thales），后到埃及與巴比倫去游學(xué)，在那里受到東方文明的熏陶，學(xué)習(xí)了一些數(shù)學(xué)知識。約在公元前530年到達(dá)意大利南部城鎮(zhèn)克洛吞（crotona），在那

2、里創(chuàng)建了集哲學(xué)、宗教、數(shù)學(xué)合一的秘密學(xué)術(shù)團(tuán)體，這個團(tuán)體被后人稱為“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”，學(xué)派活動持續(xù)了約180年之久。據(jù)傳學(xué)派由領(lǐng)導(dǎo)人向門徒傳授知識，每個門徒都得宣誓嚴(yán)守秘密，并終身只加入這一學(xué)派。門徒的研究成果由領(lǐng)導(dǎo)人加以總結(jié)作為集體的智慧，且秘而不宣，因其學(xué)派的活動都是秘密的，因此籠罩著一種不可思議的神秘氣氛。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的學(xué)者未留下著作，一些留存于世的成果很難分清楚哪些屬于畢達(dá)哥拉斯本人，哪些屬于其門徒，因此后人只能把畢達(dá)哥拉斯學(xué)派作為一個團(tuán)體來評價。二、兩項重要的數(shù)學(xué)研究成果畢達(dá)可拉斯學(xué)派有兩項重要的數(shù)學(xué)研究成果，一項是發(fā)現(xiàn)了畢達(dá)哥拉斯公式，另一項是發(fā)現(xiàn)了黃金分割作圖法，下面簡要介紹這兩

3、項重要數(shù)學(xué)成果的發(fā)現(xiàn)過程。1、畢達(dá)哥拉斯公式的發(fā)現(xiàn)所謂畢達(dá)哥拉斯公式即m2+=（m為奇數(shù)），據(jù)說畢達(dá)哥拉斯應(yīng)邀參加一位富有政要的餐會，主人的豪華餐廳鋪著正方形的大理石地磚，善于觀察和理解的畢達(dá)哥拉斯看著這些排列規(guī)則的美麗方磚，聯(lián)想到它們和數(shù)之間的關(guān)系，并在地板上以其中一塊的對角線為邊畫了一個正方形，發(fā)現(xiàn)這個正方形面積恰好等于兩塊地磚的面積和，當(dāng)他再以兩塊地磚拼成的矩形之對角線作另一個正方形時，發(fā)現(xiàn)這個正方形之面積等于五塊地磚的面積，至此畢達(dá)哥拉斯作了大膽猜想：任何“直角三角形其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和”。但限于當(dāng)時人們的認(rèn)識水平，對這一定理的解釋是建立在如下的基礎(chǔ)之上的：首先，把數(shù)字想

4、象成一些點的組合，這些點可以是星座，也可以是石頭或諸如此類的其它東西，其次，由點組合而成的各種圖形都有相應(yīng)的數(shù)字，然后通過分析圖形的關(guān)系，就能夠了解數(shù)字的規(guī)律。比如1，3，6，10，個點都能組合成三角形（見圖1），因而1，3，6，10，就被稱為三角形數(shù)。1，4，9，16，個點都能組合成正方形（見圖2），因而1，4，9，16，就被稱為正方形數(shù)。依此類推，還有長方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等。 從圖2可以看出，由n2個點組合成的方陣，只有再加上2n+1個點，才能構(gòu)成由(n+1)2點組合的方陣，即n2+(2n+1)= (n+1)2 （1） 如果令2n+1= m2，那么 圖1 n = n+1 = （2

5、）把（2）式代入（1）式，可得 圖2 m2+= （3）這就是著名的畢達(dá)哥拉斯公式。當(dāng)m為奇數(shù)時，m、 就構(gòu)成一組畢達(dá)哥拉斯數(shù)（即勾股數(shù)組）。值得指出的是：在尋找勾股數(shù)組方面，中國有著悠久且光輝的歷史。古算書周髀算經(jīng)中記述著公元前1100年周公和商高兩個人的對話，商高說：“勾廣三，股修四，徑隅五。”即給出了一組勾股數(shù)3，4，5。公元一、二世紀(jì)間的九章算術(shù)中，記載的勾股數(shù)竟有八組之多，它們是（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）（8，15，17）（20，21，29）（20，99，101），（48，55，72），（60，91，109）。更有重大意義的是，通過數(shù)學(xué)家進(jìn)一步的研究，九章算

6、術(shù)一書中實際上給出了求勾股數(shù)組的通式，即對于任意的正整數(shù)m，n，m>n有 這一通式得到了古代數(shù)學(xué)家劉徽的證明。2、黃金分割作圖法的發(fā)現(xiàn)所謂“黃金分割”，指的是這樣一個問題：給定一條線段AB，在其上找一點P，使得AP2= AB·PB，則點P即為黃金分割點。黃金分割在美學(xué)上有著特殊的意義，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是在分析正五邊形性質(zhì)時發(fā)現(xiàn)了黃金分割作圖法的，他們認(rèn)為，正五邊形對角線的交點“恰好是對角線上的黃金分割點”，而這一點所分成的兩條線段，較長的一條其長度正好等于正五邊形的邊長，如果用d表示對角線長，s表示邊長，那么就有公式： d（ds）=s2 （4）那么畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是用什么樣的方式證

7、明這一公式的呢？首先考慮一系列五邊形P1、P2Pn它們的邊長和對角線長分別為s1、s2sn和d1、d2dn且滿足如下的遞推關(guān)系： dn= （5）即有如下的序列PnP1P2P3P4P5P6P7P8sn1123581321dn12358132134我們觀察P1、 P3、 P6所表示的圖形 P1 P3 P6很明顯，隨時著n值的增長，這些五邊形越來越象“正五邊形”，可以設(shè)想，當(dāng)n值趨于無窮大時，這些五邊形是會變成正五邊形的。于是，這一系列五邊形的邊長與對角線長的關(guān)系，就會轉(zhuǎn)化成正五邊形邊長與對角線長的關(guān)系。由遞推關(guān)系可以得知 dn（dnsn）sn2=(1)n （6）這表明，以dn和dnsn為邊長的長方

8、形面積，總是略大于或小于以sn為邊長的正方形面積。而且隨著n值的增大，兩者的差距越來越小。由此可以推斷，當(dāng)n值趨于無窮大時，兩者的差距會消失。令d和s分別表示dn和sn在n值趨于無窮大時的值，則可得到d（ds）=s2，這正好是表示黃金分割關(guān)系的公式。在今天看來，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的上述推理方式是很費事的，如對公式（6）取極限即可得到公式（4），根據(jù)正五邊形的幾何性質(zhì)能很容易證明公式（4）（事實上歐幾里得也作出了證明），但畢達(dá)哥拉斯學(xué)派因在那個年代還沒有今天的極限理論和歐氏幾何學(xué)說，在對黃金分割的發(fā)現(xiàn)與證明中經(jīng)過了曲折和迂回的思路，盡管如此，這在當(dāng)時已是非凡的成就。三、主要數(shù)學(xué)思想對我們的啟迪畢達(dá)哥

9、拉斯學(xué)派之所以能發(fā)現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯數(shù)和黃金分割作圖法，關(guān)鍵在于正確的分析了正方形數(shù)的圖形和正五邊形邊長與對角線的關(guān)系，已初步具備了“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，使當(dāng)時人們對數(shù)的規(guī)律的認(rèn)識大大直觀化，從而在數(shù)論方面有了諸多的發(fā)現(xiàn)如三角形數(shù)，正方形數(shù)的一般公式，三角形數(shù)與正方形數(shù)的關(guān)系等，黃金分割作圖法的推理方式蘊含了極限的理論和數(shù)學(xué)歸納法思想。但我們也必須清醒地認(rèn)識到畢達(dá)格拉斯學(xué)派對數(shù)字和圖形關(guān)系的片面理解，也得出了一些錯誤的結(jié)論，比如：他們認(rèn)為數(shù)既然是一些點的組合，而點是不可再分的，所以只有能表示成整數(shù)和整數(shù)之比的數(shù)（有理數(shù)）是合理的，而不能表示為整數(shù)之比的數(shù)（無理數(shù)）是不合理的，因其團(tuán)體具有強烈的宗教意識，致使門徒的研究成果不能離開學(xué)派的主要觀點，據(jù)說，畢達(dá)哥拉斯的一個門徒希帕薩斯（Hippqsus）發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，但這一發(fā)現(xiàn)打破了“宇宙萬物皆為整數(shù)與整數(shù)之比的信條”，因此被扔到大海里，但該定理對數(shù)學(xué)的發(fā)展卻起到了巨大的促進(jìn)作用。對黃金分割的推理方式也不嚴(yán)格精確，其中夾雜著直觀經(jīng)驗和想象的成份，如果把這些經(jīng)驗和想象應(yīng)用在其它數(shù)學(xué)問題上是很可能會得出錯誤的結(jié)論。從畢達(dá)格拉斯學(xué)派的上述兩項成果可以看出，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，往往要比證明數(shù)學(xué)成果更困難，因