2.4.1逆變換與逆矩陣(2)

1、鎮(zhèn)江實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高中數(shù)學(xué)教案 (選修4 - 2)【矩陣與變換】§ 2.4.1逆變換與逆矩陣教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能：理解逆矩陣的意義；掌握二階矩陣存在逆矩陣的條件。理解逆矩陣的唯一性和 （AB-1 = B1A1等簡單性質(zhì)，并了解其在變換 中的意義。會(huì)從幾何變換的角度求出 AB的逆矩陣。會(huì)用逆矩陣的知識(shí)解釋二階矩陣的乘法何時(shí)滿足消去律。2、過程與方法：通過具體的圖形變換，理解逆矩陣的意義并掌握二階矩陣的條件；通 過具體的投影變換，說明它所對(duì)應(yīng)矩陣的逆矩陣不存在3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：使用通俗的語言和豐富有趣的實(shí)例來循序漸進(jìn)地展開教學(xué)內(nèi)容，以此來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；通過設(shè)置思考與探究，來給

2、學(xué)生創(chuàng)設(shè)思考與探究 的空間.重點(diǎn)難點(diǎn)：1、教學(xué)重點(diǎn)：逆矩陣及其求法。2、教學(xué)難點(diǎn)：逆矩陣的求法。教學(xué)方法：自主合作探究 教具準(zhǔn)備：多媒體設(shè)備教學(xué)過程：問題探究、引入概念【情境】我們知道二階矩陣對(duì)應(yīng)著平面上的一個(gè)幾何變換，它把點(diǎn)P(x,y)變換到點(diǎn)P' (x ',y ').反過來，如果已知變換后的結(jié)果P' (xy ')，能不能“找到回家的路(逆變換)”，讓它變回到原來的點(diǎn)P(x,y)呢？'(x,y)走過去走過來 (x：y')從變換的結(jié)果來看，雖然經(jīng)歷“走過去”又“走過來”的兩次變換，但是最終還是回到原地，變回為“自己”.由于每個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)著一

3、個(gè)幾何變換，這兩次連續(xù)的變換卻又對(duì)應(yīng)著兩個(gè)矩陣的積，于是，上面的問題就變成了已經(jīng)知道了矩陣 A,我們能否找到一個(gè)矩陣B,使得連續(xù)進(jìn)行的兩次變換的結(jié)果與恒等變換的結(jié)果相同【引入例】對(duì)于下列給出的變換矩陣A,是否存在變換矩陣B,使得連續(xù)進(jìn)行兩次變換(先 Ta后Tb)的結(jié)果與恒等變換的結(jié)果相同？以x軸為反射軸作反射變換；繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°橫坐標(biāo)不變，沿 y軸方向?qū)⒖v坐標(biāo)拉伸為原來的2倍作伸壓變換；沿y軸方向，向x軸作投影變換；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)依縱坐標(biāo)的比例增加，且(x,y) t (x+2y,y)的切變變換；解：對(duì)于反射變換 Ta,滿足條件的變換就是它自身，即B= A.對(duì)于旋轉(zhuǎn)變換

4、Ta,存在旋轉(zhuǎn)變換Tb, B為繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°的 變換矩陣對(duì)于伸壓變換 Ta,存在變換Tb,它對(duì)應(yīng)著使平面內(nèi)的點(diǎn)保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)沿y軸方向壓縮為原來的1/2的變換矩陣B.對(duì)于投影變換 Ta,不存在滿足條件的變換矩陣B.對(duì)于切變變換 Ta,存在切變變換 Tb,它對(duì)應(yīng)著使得平面內(nèi)的點(diǎn)保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)依縱坐標(biāo)的比例減少，且(x,y) T(x 2y,y)的變換矩陣B.合作學(xué)習(xí)、形成概念【逆矩陣的定義】對(duì)于二階矩陣A, B,若AB= BA= E,則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣.【說明】當(dāng)一個(gè)矩陣 A表示的是平面上向量到向量的一一映射時(shí)，它才 是可逆的。B為A的逆矩陣，貝U

5、 A也是B的逆矩陣；若A是可逆的，則 A的逆矩陣是唯一的，記為A1.假設(shè)Bi, B2都是A的逆矩陣，貝U AB= BiA= E, AB2= B2A= E,所以B= EB= (B2A)Bi = B2(AB) = BE= B2一 1 1【思考】M的逆矩陣M和函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)y=f (x)有什么異同？MMI1= M 1M= E, f 1f(x)= x, f f 1(x)= x.一 1【若A可逆，則求A的方法】幾何變換：待定系數(shù)法：- d-b |卄"la 若A =b(ad be 式0),則 A-1ad -bead - beLcd-ca.ad-be ad-bc 若二階矩陣A, B均存在

6、逆矩陣，則 AB也存在逆矩陣，且(AB廠1= BTA1.【證明】由于二階矩陣 A, B均存在逆矩陣，它們分別為A1, B"，故1 1 1 1AA = A A= E, BB = B B= E1 1 1 1 1 1(AB)(B A ) = A(BB )A = AEA = AA = E,1 1 1 1 1 1(B A ) (AB) = B (A A)B= B EB= B B= E,因此，(AB)* B1A1.若A, B, C為二階矩陣，且 AB= AC,若矩陣A存在逆矩陣，則 B= C.【證明】因?yàn)榫仃?A存在逆矩陣，故 AA 1= E,于是1 1 1 1B= EB= (A A)B= A

7、(AB) = A (AC) = (A A)C= C【思考】如果二階矩陣 A存在逆矩陣，且 BA= CA那么B= C成立嗎？ 成立，證明同上學(xué)以致用、深化概念請(qǐng)把【例1】用幾何變換的觀點(diǎn)判斷下列矩陣是否存在逆矩陣，若存在,它求出來；若不存在，請(qǐng)說明理由【分析】矩陣A是反射變換矩陣，它存在逆矩陣,A4矩陣B為伸壓變換矩陣，它存在逆矩陣,2 o_-4B010C0-1101;B =2;C =;D =10 一J01一0 一0 一鎮(zhèn)江實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高中數(shù)學(xué)教案 （選修4 - 2）【矩陣與變換】【例2】求矩陣5 7_-A的逆矩陣.【分析】（待定系數(shù)法），設(shè)Alxy，利用AA1 = E得到關(guān)于w矩陣C是旋轉(zhuǎn)變換

8、矩陣，它存在逆矩陣，1矩陣D是投影變換矩陣，它不存在逆矩陣【評(píng)析】：11012【例3】求解矩陣AB的逆矩陣AJ1P0bJ-1 _101 ；【分析】J0一31x,y,z,w 的方程組，求解即得A=87一8588【評(píng)析】：鎮(zhèn)江實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高中數(shù)學(xué)教案 (選修4 - 2)【矩陣與變換】101_1111 _A=01ba =112二(AB)=B°A° =412一101102 一(AB)1 A 1二 B"A"0101【例4】已知變換4 X ，試將它寫成坐標(biāo)變換的形2 .V式;已知變換試將它寫成矩陣乘法的形式【解】x|X+4y |V f $x+2yr.y自主探究、鞏固概念總結(jié)反思、提高認(rèn)識(shí)1.對(duì)于二階矩陣 A, B,若有AB= BA= E，則稱A是可逆的，B稱為A的逆 矩陣【說明】B為A的逆矩陣，貝U A也為B的逆矩陣.若二階矩陣 A存在逆矩陣B,則A的逆矩陣是唯一的，通常記 A的 逆矩陣為A_1_，且A_1= B.當(dāng)一個(gè)矩陣表示的是平面上向量到向量的一一映射時(shí)，它才是可逆的。2.求二階矩陣bdad -be =0)的方法有:幾何變換:待定系數(shù)法:a c_-A若-bad beaad be _:d b -(