利用導數(shù)解決恒成立問題

1、精品利用導數(shù)求函數(shù)最值 基礎知識總結和邏輯關系1、 函數(shù)的單調性求可導函數(shù)單調區(qū)間的一般步驟和方法:1) 確定函數(shù)的f (x) 的定義區(qū)間；2)求f '(x),令f '(x) 0 ,解此方程，求出它在定義區(qū)間內的一切實根；3)把函數(shù)f (x)的無定義點的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x) 的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；4) 確定f '(x) 在各個區(qū)間內的符號，由f '(x) 的符號判定函數(shù)f x 在每個相應小區(qū)間內的單調性.2、 函數(shù)的極值求函數(shù)的極值的三個基本步驟1) 求導數(shù)f '(x)；2) 求方程f '

2、;(x) 0 的所有實數(shù)根；3)檢3f'(x)在方程f'(x)。的根左右的符號，如果是左正右負(左負右正) ，則f(x) 在這個根處取得極大(小)值.3、 求函數(shù)最值1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)上的極值；2) 將極值與區(qū)間端點函數(shù)值f(a), f(b) 比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值.四 利用導數(shù)證明不等式1) 利用導數(shù)得出函數(shù)單調性來證明不等式我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導數(shù)值大于(或小于)0 時， 則該函數(shù)在該區(qū)間上單調遞增(或遞減) .因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數(shù)，用導數(shù)證明該函數(shù)的單調性,然后再用函數(shù)單調性達到證明不

3、等式的目的.即把證明不等式轉化為證明函數(shù)的單調性.具體有如下幾種形式： 直接構造函數(shù)，然后用導數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調遞增(減)區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大(小)，來證明不等式成立. 把不等式變形后再構造函數(shù), 然后利用導數(shù)證明該函數(shù)的單調性，達到證明不等式的目的.2) 利用導數(shù)求出函數(shù)的最值(或值域)后，再證明不等式.導數(shù)的另一個作用是求函數(shù)的最值. 因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數(shù)，用導數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當該函數(shù)取最大(或最小)值時不等式都成立，可得該不等式恒成立.從而把證明不等式問題轉化為函數(shù)求最值問題. 解題方法總結和題型歸類利用導數(shù)研究

4、含參變量函數(shù)的恒成立問題1) 其中關鍵是根據題目找到給定區(qū)間上恒成立的不等式，轉化成最值問題。2) 首先找不等式。一般來說，有以下五類題型： 在某個區(qū)間上“單調遞增減”： 表明 f (x) 0 ( f (x) 0)恒成立； “無極值點”， 表明 f (x) 0恒成立或f (x) 0恒成立；- 可編輯 -精品“曲線y f(x)在曲線y g(x)上方(下方)表明 f(x) g(x) 0 ( f(x) g(x) 0)恒成立；“無零點”：表明f(x) 0恒成立或f(x) 0恒成立；標志詞：“任意”，“所有”，“均有”，“恒成立”等等，此時題干已給出不等式例1：設函數(shù)f(x) = ax3 3x+1 (x

5、CR),若對于任意 xC 7,1,都有f(x)AO成立，則實數(shù)a的值為？【解析】若x=0,則不論a取何值，f(x)>0顯然成立；當 x>0 ,即 xC(0,1時，f(x) = ax3-3x+ 1 >0可化為 a 二設 g(x)= x2 x3x2 x33 1 -2x則 g'(x)=4,x4所以g(x)在區(qū)間0, 2上單調遞增，在區(qū)間2，1上單調遞減，因此g(x)max = g ；=4,從而 a> 4.當 x<0 ,即 xC 1,0)時，同理 a<3-1.x2 x3g(x)在區(qū)間1,0)上單調遞增，. .g(x)min = g( 1) = 4 ,從而 a

6、W 4,綜上可知a =4.【點評】首選考慮參量分離。得到a F(x)或aF(x),然后求F(x)的最值【答案】a=4.難度*【題】設函數(shù) f(x) = (x a)2lnx, aeR(I)若x = e為y f (x)的極值點，求實數(shù)a ；2 .(n)求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x (0,3e,恒有f (x) <4e成立.注：e為自然對數(shù)的底數(shù).【難度*例2 ：已知aCR,函數(shù)f(x) = (-x2 + ax)ex (xCR, e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)當a = 2時，求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在(一1,1)上單調遞增，求a的取值范圍.【解析】 當a=2時，f(

7、x)= (-x2+ 2x)ex,所以 f'(x)= ( 2x+2)ex+( x2+ 2x)ex =(- x2 + 2)e x.令 f'(x)>0 ,即(-x2+2)ex>0 ,因為 ex>0 , 所以x2 + 2>0 ,解得2<*<42.所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是 42, V2 (2)因為函數(shù)f(x)在(一1,1)上單調遞增，所以f'(x)RO對xC (1,1)都成立.因為 f'(x)= ( 2x+a)ex+ (-x2 + ax)ex=-x2+(a-2)x + aex,所以x2+(a2)x+aex>o 對 xe (

8、 1,1)都成立.因為 ex>0 ,所以一x2+ (a- 2)x+ a >0 對 x C ( 1,1)都成立,x2+ 2x即a>x+ 1x+1 21=(x+1)-xT7 對 xc(1,1)都成立11令y=(x+1)-x77, 則 y' t+7T>0.1所以y = (x + 1)-x在(一1,1)上單調遞增,所以 y<(1 +1)= _,即 a>_.1 + 1223因此a的取值范圍為a>_.2【點評】(1)數(shù)在某區(qū)間上單調遞增 (減)時，函數(shù)的導數(shù)在這個區(qū)間上大 (小)于或者等于零恒成立，轉化為不等式恒成立問題解決.(2)在形式上的二次函數(shù)問題中

9、，極易忘卻的就是二次項系數(shù)可能等于零的情況，這樣的問題在導數(shù)單調性的討論中是經常遇到的，值得特別注意.a的取值范圍為3ak 2-可編輯-*2例 3：已知函數(shù) f(X alnx 2 (a 0). x(I)若曲線y f (x)在點P(1, f(1)處的切線與直線 y x 2垂直，求函數(shù)y f(x)的單調區(qū)間；(n)若對于 x (0,)都有£()<2(a 1)成立，試求a的取值范圍;【解析】(I)直線yx 2的斜率為1.函數(shù)f(x)的定義域為(0,)，2 a 一2 a因為f (x) 二一所以f (1)- -1,所以a 1.x x '112x 2所以 f (x) - In x

10、2. f (x)xx .由f (x) 0解得x 2;由f(x) 0解得0 x 2所以f(x)的單調增區(qū)間是(2,),單調減區(qū)間是(0,2). 4分 2a ax 22，、(II) f (x)-2 - 2由 f (x) 0 斛得 x ;由 f (x)x x x 'a2x -.a所以f (x)在區(qū)間(2, a)上單調遞增，在區(qū)間(0, 2)上單調遞減. a ,2 , 一 2 一，所以當X 2時，函數(shù)f(x)取得最小值，ymin f(£).因為對于 x (0,)都有aaf(x) 2(a 1)成立，.2 一 一 一22 一一 ，22所以 f (-) 2(a 1)即可.則一 aln -

11、2 2(a 1)由 a ln a 解得 0 a 一 a2 a. ae.a所以a的取值范圍是(0, 2)8分e【點評】此題直接求最值。此時不等式一般形如f (x) A或f(x) A ,直接求f (x)的最值?！敬鸢浮縜的取值范圍是(0, 2)e難度*例4：已知函數(shù)f(x) ln(1 x) mx.0,e2 1上恰有兩個零點,(I)當m 1時，求函數(shù)f (x)的單調遞減區(qū)間；(II)求函 數(shù)f(x)的極值；(III)若函數(shù)f (x)在區(qū)間求m的取值范圍.【解析】(I)依題意，函數(shù) f(x)的定義域為1,當 m 1 時，f(x) ln(1 x) x,一 1f (x) 12 分1 x一 1一 x由f (

12、x) 0得1 0 ,即 01 x1 x解得x 0或x 1,又 Q x 1 , x 0f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,) .4分-1，、(II) f (x) m , (x 1)1 x(1) m 0時，f (x) 0恒成立f(x)在(1,)上單調遞增，無極值.6分，一 1，(2) m 0時，由于一 11m，1，、八，1，二，所以f(x)在 1,- 1上單調遞增，在 一1,上單調遞減,mm1從而f (x)極大值f(一 1) m ln m 1. g分m(III)由(II)問顯然可知，當m 0時，f (x)在區(qū)間0,e2 1上為增函數(shù)，2在區(qū)間0,e 1不可能恰有兩個零點.10分1當m 0時，由(II)向

13、知f(x)極大值二f ( 1), m又f(0) 0,0為f(x)的一個零點.11分-2_f(e 1) 0若f(x)在0,e2 1恰有兩個零點，只需1201 e 1m2 m(e2 1) 02即 1f m 113分【點評】首先考慮參量分離。得到a F(x)或a F(x),然后求F(x)的2 m 1 e 1 e最值。直接求最值。此時不等式一般形如f(x) A或f(x) A,直接求f (x)的最值。2【答案】f- m 1e 1【難度*1 a例5：已知函數(shù)f(x) ln x ax 1 .x1 .(i)當0 a 時，討論函數(shù)f(x)的單調性; 2、121 一，(n)設 g(x) x 2bx 4,當 a 時

14、，若對任意 x (0,2), f(x) g(x)恒成立, 4求實數(shù)b的取值范圍.2/1 1a ax x (1 a)八【解析】：(i) f/(x) aJ-分x xxax (1 a)(x 1)2(x 0)x令 f/(x) 0得 x11-a,x2 13 分a1當a -時，f (x) 0 ,函數(shù)f (x)在(0,)上單減 4分21 1a當 0 a 1 時，1 ,2 a, 一 1 a在(0,1)和(,)上，有f (x) 0 ,函數(shù)f(x)單減，a在(1,9)上，f (x) 0,函數(shù)f(x)單增 6分a一 1 一， 1 a 八 一、，13,(n)當 a 一時，3, f(x) ln x -x 14 a4 4

15、x由(I)知，函數(shù) f (x)在(0,1)上是單減，在(1,2)上單增1所以函數(shù)f (x)在(0,2)的最小值為f(1)-8分若對任意x (0,2),當x2 1,2時，f (x) g(x)恒成立，,1 r只需當x 1,2時，gmax(x)3即可1g2所以2, 11分g(2)12，一,11代入解得b4，11八所以實數(shù)b的取值范圍是一，).13分4【點評】注意如果條件改為“f(x1) g(x2)”恒成立，怎么樣解答，還可以移項構造新函數(shù)嗎？,1 -一 11【答案】b的取值范圍是U,)4難度*例6：設l為曲線C： y &x在點(1, 0)處的切線. x(I)求l的方程；(II)證明：除切點(

16、1, 0)之外，曲線C在直線l的下方【解析】(I)設f x"，則fx mn. xx所以f' 11.所以L的方程為y x 1 .(n)令g x x 1 f x ,則除切點之外，曲線 C在直線L的下方等價于g x >0 x 0, x 1 .g x滿足g 1 =0 ,且2x 1 In xx =x當0 v x v 1時，x2 1<0,In x< 0,所以g x v 0,故g x單調遞減;2當x>1時，x 1>0,In x>0,所以g x>0,故gx單倜遞減.所以 g x >g 1 =0x 0, x 1所以除切點之外，曲線 C在直線L的下

17、方.A,【點評】構造函數(shù)，轉化直接求最值。此時不等式一般形如f(x) A或f(x)直接求f (x)的最值。【答案】(I) y x 1*2【題】已知函數(shù)f(x) ax (a 2)x In x . (I)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(1, f(1)處的切線方程；(n)當a>0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1 , e上的最小值為-2 ,求a的取值范圍；(出)若對任意 xi,x2 (0,), x1 x2，且 f(xi)+2xi f(x2)+2x2恒成立，求 a 的取值范圍.：難度*1【題】己知函數(shù)f(x) -x3 2a x2 (a 1)x 5是R上的單調增函數(shù)，求實數(shù)a的 3取值范圍.【難度】*1 ；【題】已知函數(shù) f(x) -x2 2ex 3e2 In x