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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案經(jīng)典難題(一)1、已知:如圖, O 是半圓的圓心, C、E 是圓上的兩點(diǎn), CD AB , EF AB ,EG CO求證: CD GF(初二)CEAGOFBD2、已知:如圖, P 是正方形 ABCD 內(nèi)點(diǎn), PAD PDA 150求證: PBC 是正三角形(初二)ADPBC3、如圖,已知四邊形ABCD 、 A 1B 1C1D1 都是正方形,A2、 B 2、C2、 D2 分別是 AA 1、 BB 1、CC1、 DD 1 的中點(diǎn)AD求證:四邊形 A 2B 2C2 D2 是正方形(初二)A 2D2A 1D1B 1C1B2C2BC4、已知:如圖,在四邊形ABCD 中, AD BC , M
2、、N 分別是 AB 、CD 的中點(diǎn), AD 、 BC的延長(zhǎng)線交MN 于 E、 FF求證: DEN FENC經(jīng)典難題(二)DAB精彩文檔M實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1、已知: ABC 中, H 為垂心(各邊高線的交點(diǎn)) , O 為外心,且 OM BC 于 M ( 1)求證: AH 2OM ;A( 2)若 BAC 600,求證: AH AO (初二)O·HEBM DC2、設(shè) MN 是圓 O 外一直線,過(guò)O 作 OA MN 于 A ,自 A 引圓的兩條直線,交圓于B 、 C及 D、E,直線 EB 及 CD 分別交 MN 于 P、QG求證: AP AQ (初二)ECO·BD3、如果上題把直線MN
3、 由圓外平移至圓內(nèi),則由此可得以下命題:M設(shè) MN 是圓 O 的弦,過(guò) MN 的中點(diǎn) A 任作兩弦 BC 、DE ,設(shè)于 P、Q求證: AP AQ (初二)MPANQCD 、 EB 分別交 MNECAQ·PN·BO4、如圖,分別以ABC 的 AC 和 BC 為一邊,在 ABC 的外側(cè)作正方形DACDE 和正方形CBFG ,點(diǎn) P 是 EF 的中點(diǎn)D求證:點(diǎn) P 到邊 AB 的距離等于AB 的一半(初二)GEC經(jīng)典難題(三)PFAQB1、如圖,四邊形ABCD 為正方形, DE AC ,AE AC , AE 與 CD 相交于 F求證: CE CF(初二)ADFEBC精彩文檔實(shí)用
4、標(biāo)準(zhǔn)文案2、如圖,四邊形 ABCD 為正方形, DE AC ,且 CE CA ,直線 EC 交 DA 延長(zhǎng)線于 F求證: AE AF (初二)ADFBC3、設(shè) P 是正方形 ABCD 一邊 BC 上的任一點(diǎn), PFAP ,CF 平分 DCEE求證: PA PF(初二)DAF4、如圖, PC 切圓 O 于 C, AC 為圓的直徑, PEF 為圓的割線, B 、 D求證: AB DC ,BC AD (初三)P經(jīng)典難題(四)B PCE AE 、AF 與直線 PO 相交于ABODEFC1、已知: ABC 是正三角形,P 是三角形內(nèi)一點(diǎn),PA3, PB 4,PC 5求: APB 的度數(shù)(初二)AP2、設(shè)
5、 P 是平行四邊形ABCD 內(nèi)部的一點(diǎn),且PBA PDA 求證: PAB PCB (初二)BACDP3、設(shè) ABCD 為圓內(nèi)接凸四邊形,求證:AB · CD AD · BC AC · BD (初三)BACDBC精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案4、平行四邊形ABCD 中,設(shè) E、 F 分別是 BC、 AB 上的一點(diǎn), AE 與 CF 相交于 P,且AE CF求證: DPA DPC (初二)ADF經(jīng)典難題(五)BPE C1、設(shè) P 是邊長(zhǎng)為 1 的正 ABC 內(nèi)任一點(diǎn), L PA PB PC,求證:L2AP2、已知: P 是邊長(zhǎng)為1 的正方形ABCD 內(nèi)的一點(diǎn),求PA PB PC
6、 的最小值BCADPBC3、 P 為正方形ABCD 內(nèi)的一點(diǎn),并且PA a, PB 2a, PC 3a,求正方形的邊長(zhǎng)ADP004、如圖, ABC 中, ABC ACB 80,D 、E 分別是 AB 、 AC 上的點(diǎn), DCA 30, EBA 200,求 BED 的度數(shù)ABC經(jīng)典難題(一)EDBC1.如下圖做GH AB, 連接 EO。由于 GOFE 四點(diǎn)共圓,所以GFH OEG,精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案即 GHF OGE,可得 EO = GO = CO ,又 CO=EO ,所以 CD=GF 得證。GFGHCD2. 如下圖做 DGC 使與 ADP 全等,可得 PDG 為等邊,從而可得 DGC APD
7、 CGP,得出 PC=AD=DC, 和 DCG= PCG 150所以 DCP=30 0 ,從而得出 PBC 是正三角形3. 如下圖 連接 BC1 和 AB1 分別找其中點(diǎn) F,E. 連接 C2F 與 A2E 并延長(zhǎng)相交于 Q點(diǎn),連接 EB2 并延長(zhǎng)交 C2Q于 H點(diǎn),連接 FB2 并延長(zhǎng)交 A2Q于 G點(diǎn),由 A2E= 12 A1 B1= 12 B1C1= FB2 ,EB2 = 12 AB= 12 BC=F C1 ,又 GFQ+ Q=900 和 GEB2+Q=900,所以 GEB2= GFQ 又 B2FC2= A2 EB2 ,可得 B2FC2 A 2EB 2 ,所以 A 2B2=B2C2 ,0
8、又 GFQ+ HB 2F=90 和 GFQ= EB 2A 2 ,同理可得其他邊垂直且相等,從而得出四邊形A 2B 2C2D2 是正方形。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案4. 如下圖 連接 AC并取其中點(diǎn) Q,連接 QN和 QM,所以可得 QMF= F, QNM= DEN 和 QMN= QNM ,從而得出DEN F。經(jīng)典難題(二)1.(1) 延長(zhǎng) AD到 F 連 BF,做 OG AF,又 F= ACB= BHD ,可得 BH=BF, 從而可得HD=DF ,又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2) 連接 OB,OC,既得 BOC=120 0,從而可得 BOM=60 0,所以
9、可得OB=2OM=AH=AO,得證。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案3. 作 OF CD,OGBE ,連接 OP, OA , OF, AF, OG,AG , OQ。由于AD=AC=CD= 2FD= FD,ABAEBE2BGBG由此可得 ADF ABG ,從而可得AFC= AGE 。又因?yàn)?PFOA 與 QGOA 四點(diǎn)共圓,可得AFC= AOP 和 AGE= AOQ , AOP= AOQ ,從而可得 AP=AQ 。4. 過(guò) E,C,F 點(diǎn)分別作 AB所在直線的高 EG,CI,F(xiàn)H??傻?PQ=EG + FH 。 2由 EGA AIC ,可得 EG=AI ,由 BFH CBI ,可得 FH=BI 。AI+BI
10、AB22精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案經(jīng)典難題(三)1. 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ADE ,到 ABG ,連接 CG.由于 ABG= ADE=90 0+45 0=135 0從而可得B ,G,D 在一條直線上,可得AGB CGB 。推出 AE=AG=AC=GC ,可得 AGC 為等邊三角形。 AGB=30 0,既得 EAC=30 0,從而可得 A EC=75 0。又 EFC= DFA=45 0+30 0=75 0.可證: CE=CF 。2. 連接 BD作 CH DE ,可得四邊形 CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH ,可得 CEH=30 0,所以 CAE= CEA= AED=15 0,精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)
11、文案又 FAE=900000+45 +15 =150,從而可知道F=150,從而得出 AE=AF 。3. 作 FG CD,F(xiàn)EBE ,可以得出 GFEC 為正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。tan BAP=tan EPF= X =Z,可得 YZ=XY-X 2 +XZ ,Y Y- X+Z即 Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得 X=Z ,得出 ABP PEF ,得到 PA PF ,得證 。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案經(jīng)典難題(四)1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ABP600 ,連接 PQ ,則 PBQ 是正三角形??傻?PQC 是直角三角形。02. 作過(guò) P點(diǎn)平行于 AD的直線,并
12、選一點(diǎn) E,使 AE DC,BEPC.可以得出 ABP= ADP= AEP,可得:AEBP 共圓(一邊所對(duì)兩角相等)??傻?BAP= BEP= BCP,得證。3. 在 BD取一點(diǎn) E,使 BCE= ACD ,既得 BEC ADC ,可得:BE = AD ,即 AD ?BC=BE ?AC,BCAC又 ACB= DCE,可得 ABC DEC ,既得AB = DE ,即 AB ?CD=DE ?AC ,ACDC由 +可得 : AB ?CD+AD ?BC=AC(BE+DE)= AC· BD ,得證。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案AE , AGCF ,由S ADE=S ABCD= SDFC ,可得:4.過(guò)
13、D作 AQ2AE PQ AE PQ,由 AE=FC 。=22可得 DQ=DG ,可得 DPA DPC(角平分線逆定理) 。經(jīng)典難題(五)1. (1)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) BPC 600 ,可得 PBE 為等邊三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP , PE, EF 在一條直線上,即如下圖:可得最小L=;精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案( 2)過(guò) P 點(diǎn)作 BC的平行線交 AB,AC與點(diǎn) D,F(xiàn)。由于 APD> ATP= ADP ,推出 AD>AP又 BP+DP>BP和 PF+FC>PC又 DF=AF由可得:最大L<2;由( 1)和( 2)既得:L 2 。2. 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) BPC 60 0 ,可得 PBE 為等邊三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP, PE, EF 在一條直線上,即如下圖:可得最小 PA+PB+PC=AF 。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案既得 AF= 1+ (3+ 1)2=2+3=4+2 3422=( 3+ 1)2=2( 3+1)22=6 +22。3. 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ABP 900 ,可得如下圖:既得正方形邊長(zhǎng) L = (2 +2)2+(2 ) 2 a = 5 + 2 2 a 。22精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案4. 在 AB上
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