多面體多面體與球?qū)ｎ}與球?qū)ｎ}教師版

1、球?qū)ｎ}練習(xí)5一、高考題回放1 .【2011全國課標(biāo)卷，理15】已知矩形ABCD的頂點都在半徑為 4的球0的球面上，且AB= 6,BC= 2 J3，則棱錐O-ABCD的體積為2.直三棱柱ABC - ABQ的各頂點都在同一球面上， 若AB = AC = AA = 2 , BAC = 120 ° , 則此球的表面積等于3 .【2013全國課標(biāo)卷I，理6】如圖，有一個水平放置的 透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度，則球的體積為（500兀 3866兀3A.cm B .cm334 .【2012全國課標(biāo)卷

2、，理11】已知三棱錐邊長為1的正三角形，SC為球0的直徑,1732 兀3C .cm3S - ABC的所有頂點都在球且SC =2 ;則此棱錐的體積為（2048兀 D .30的求面上，）cm3人ABC是5 .正四棱錐的頂點都在同一球面上. 若該棱錐的高為4，底面邊長為2,則該球的表面積為（）81兀B.16 兀C. 9兀A . 一46.已知A , B是球0的球面上兩點，NAOB = 90 °, C為該球面上的動點,若三棱錐0-ABC體積的最大值為 36,則球0的表面積為（A . 36 兀B. 64 兀C. 144兀256；!二、鞏固練習(xí)1 【2013遼寧卷，理】已知三棱柱ABC-A,B1C

3、1的6個頂點都在球0的球面上，若AB =3, AC =4 , AB 丄 AC , AA =12，則球 O 的半徑為(13C.3 .【2014陜西卷，理 上，則該球的體積為（5】已知底面邊長為 ）1,側(cè)棱長為/2的正四棱柱的各頂點均在同一個球面32 nA .3C. 2n4 nD. 43"4 .已知四面體 P- ABC的外接球的球心 0在AB上，且P0 丄平面 ABC , AB =2AC ,若四面體p_ ABC的體積為16，則該球的表面積為（32；!C. 167197125.【2011重慶卷，理9】高為過2的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點S、A、B、4C、D均在半徑為1的

4、同一球面上，則底面 ABCD的中心與頂點S之間的距離為（B .至26 正四面體的四個頂點都在同一個球面上，且正四面體的高為 則這個球的表面積是 .7.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則這個三棱錐的外接球的體積為.8正四面體ABCD的外接球的半徑為 2, 過棱AB作該球的截面，則截面面積的最小值為.9 .已知三棱錐 0ABC中， NB0C =90° , 0A丄平面 BOC ,其中 AB=7i0, BC =辰,AC 二苗,0 ,A , B , C四點均在球S的表面上，則球 S的表面積 為.AD = AC = BD = BC = Vd，則10 .球 0是四面體A

5、BCD的外接球，若 AB=CD =2/2 , 球0的表面積為11已知三棱柱ABC-AB1C1，底面是邊長為 J3的正三角形，側(cè)棱垂直于底面，且該三棱柱的外接球的體積為 32漢，則該三棱柱的體積為3NACB =120° ,12 .已知三棱柱 ABC-AB1C1的各頂點都在球面上，側(cè)棱與底面垂直，CA=CB =2丿3, AA =4，則這個球的表面積為13在半徑為5的球面上有不同的四點 A , B , C , D，若AB=AC = AD=2j5，則平面BCD被球所截得圖形的面積為多面體與球?qū)ｎ}一、高考題回放1 .【2011全國課標(biāo)卷，理15】已知矩形ABCD的頂點都在半徑為 4的球0的球面

6、上，且AB= 6,BC= 2j3，則棱錐O-ABCD的體積為【答案】873【解析】矩形 ABCD的對角線AC =4/3，于是矩形 ABCD的外接圓的半徑為r = 2J3，棱錐 0 -ABCD 的高 hl = Jr2 -r2 =2，所以，VobcD =_ SABCD h =1x 6x 2j3x 2=8/3 .332 . 2009全國課標(biāo)卷，理15】直三棱柱 ABC-ABG的各頂點都在同一球面上，若NBAC =120°，則此球的表面積等于【答案】20?！窘馕觥吭?心ABC中AB =AC =2 , Z BAC =120。，可得BC = 2 J3，由正弦定理，可得 ABC外接圓半徑r =2

7、,設(shè)此圓圓心為 0,球心為0，在R 0B0'中，易得球半徑r = J5，故此球的表面積為 4兀R2 =2 0兀.3. 2013全國課標(biāo)卷I，理6】如圖，有一個水平放置的 透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測則球的體積為（866兀 3 cm32048 兀 3cmA .500 八3cm3B.1732兀 3C.cmD.3【答案】A得水深為6cm,如果不計容器的厚度，【解析】設(shè)球的半徑為 R，則由題知球被正方體上面截得的小圓的半徑為4,球心到截面圓的距離為R-2 ,則R2=（R-2）2+，解得R=5, 球的體積為5 003=cm .34

8、 .【2012全國課標(biāo)卷，理11】已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球0的求面上，AABC是 邊長為1的正三角形，SC為球0的直徑，且SC=2 ;則此棱錐的體積為（D. 2C.3【答案】【解析】也ABC的外接圓的半徑r=，點0到面ABC的距離d3SC為球0的直徑=點S到面ABC的距離為2d二"63此棱錐的體積為 V =1Sb2 33另：V必BC X2R 二3 排除 B,C,D .365.【2014全國大綱卷，理 8】正四棱錐的頂點都在同一球面上. 若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（B.16 兀C.9兀【答案】【解析】如圖所示，因為正四棱錐的底面邊長為2,所以AE= 1

9、AC = a/2 .設(shè)球心為0,球的半徑為R,貝U 0E = 4-R, 0A = R,又知 A0E為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得，0A2= 0E2+AE2, 即卩 R2= (4 R)2 + 2，解得 R= 9，所以球的表面積 S= 4 uR2 = '846 .【2015全國新課標(biāo)II卷，理9】已知A , B是球0的球面上兩點，NAOB=90° , C為該球面上的動點，若三棱錐 0 -ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為（A . 36 兀B. 64 兀C. 144 兀D. 256兀C/ I '-flyAB【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)點 C位于垂直于面 AOB的直

10、徑端點時,三棱錐O - ABC的體積最大，設(shè)球 O的半徑為R ,1 1 2 1 3此時 Vo/bc =Vcob =-xR2xR= R3 =36= R=6 ,3 262”.球O的表面積S=4；iR =144兀.7.【2010全國課標(biāo)卷，理12】已知在半徑為2的球面上有 A、B、C、D四點，若AB=CD= 2,則四面體ABCD的體積的最大值為（C. 2/3【答案】【解析】V四面體ABCDB過 CD作平面 PCD,使AB丄平面 PCD ,1 1 2=X2X x2xh= h，當(dāng)直徑通過23交AB與P,設(shè)點P到CD的距離為h，則有X2 X3AB 與 CD 的中點時，hmax-zQ-l2 =23 ,故Vm

11、a"乎 二、鞏固練習(xí)1 .【2013遼寧卷,理】已知三棱柱ABC-ABjG的6個頂點都在球 O的球面上，若AB =3, AC =4 ,AB丄AC , AA =12，則球O的半徑為（13C.2D. 3410【答案】【解析】因為三棱柱 ABC - ABG的6個頂點都在球 O的球面上，若AB = 3, AC = 4 ,AB丄AC , AA =12 ,所以三棱柱的底面是直角三角形，側(cè)棱與底面垂直，側(cè)面B1BCC1 經(jīng)過球的球心，球的直徑是其對角線的長,Kt因為 AB=3, AC=4, BC=5, B" J52 +122 =13,所以球的半徑為:132122 .【2014湖南卷，理7

12、】一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖1-2所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得 到的最大球的半徑等于（）A . 1B. 2C . 3【答案】B= J82 +62 = r =2 .5】已知底面邊長為1,側(cè)棱長為邁的正四棱柱的各頂點均在同一個球面 ）【解析】由題意，該幾何體為三棱柱，所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑 貝y 8 -r + 6 -r3 .【2014陜西卷，理 上，則該球的體積為（C. 2n32 n A . V【答案】D【解析】根據(jù)正四棱柱的幾何特征得：該球的直徑為正四棱柱的體對角線，故2R =（12 +12 +（/2）2 = 2，即得R =1，所以該球的體積 V =4

13、 口3 -H R 34 .已知四面體 P- ABC的外接球的球心 O在AB上，且若四面體P - ABC的體積為癥16，則該球的表面積為（32兀2D如下圖所示，由于四面體C.伽【答案】【解析】的球心O在AB上，則AB為其外接球的一條直徑, 因此NACB =90。，設(shè)球O的半徑為r,P - ABC的外接球D.49在 RUABC 中，二 AB =2AC =2r= AC =r= BC =73r ,1 73 2-S血BC = AC "AB = r2 2由于P為球O上一點，則，且PO丄平面ABC ,1S 念BC =3r3r =-21所以VPBC =丄PO '3所以球O的表面積為2S=4r

14、 =9兀.5.【2011重慶卷，理9】高為呂四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點 S之間的距離為（B 渥210【答案】ABCD所在的圓是小圓，對角線長為由題意可知四棱錐的高為，點S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球4【解析】J2面上，球心 O到小圓圓心0的距離為 蘭22直平分的平面上（如圖），而頂點S到球心面ABCD的中心0 '與頂點S之間的距離為：，頂點S在球心距的垂O的距離為1，所以底1.6 .正四面體的四個頂點都在同一個球面上，且正四面體的高為 則這個球的表面積是【答案】36；!0'4【解析

15、】如圖所示：設(shè)正四面體的棱長等于a，球的半徑等于作AH垂直于平面 BCD，H為垂足.則 bh=3bd=3呼aa，故 AH =JaB2 -BH2，可得 a =263在RtAOBH中，由勾股定理可得 OB2-OH2=BH2=r2-(4-r)2 =(逅 a)2 = 8= r3故球的表面積為： S =4兀r2 =36兀.7 已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則這個三棱錐的外接球的體積為【答案】4血【解析】由三視圖知幾何體是有一個側(cè)面 與底面垂直的三棱錐，底面是斜邊上的高是J2的等腰直角三角形，與底面垂直的側(cè)面是個等腰三角形，底邊長為2，高長為2，故三棱錐的外接球與以棱長為2的

16、正方體的外接球相同，其直徑為2j3 ,半徑為R = J3，三棱錐的外接球體積為 V=-；iR3=4j3兀.38 正四面體 ABCD的外接球的半徑為2，過棱 AB作該球的截面，則截面面積的最小值為.【答案】-兀3【解析】因為正四面體的外接球，設(shè)正四面體的邊長為a,外接球的半徑為R ,則VZa =2R，于是a =2R二俎6，過棱AB作該球的截面，當(dāng)截面以 AB為直徑時233面積最小，所以 S =兀（2"）2 =8兀.3 39.已知三棱錐 O ABC 中，NBOC =90°, OA 丄平面 BOC ,其中 AB = JT0 , BC = JT3 ,AC=J5 , O, A , B

17、 , C四點均在球S的表面上，則球S的表面積為【答案】14?！窘馕觥縉BOC =90°, OA丄平面BOC ,三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可以以三條側(cè)棱為棱長得到一個長方體，由圓的對稱性知長方體的各個頂點都在這個球上,2 1球的直徑是（2R）2 =（10+13 +5）=14 ,2球的表面積是 S=4兀R2 =兀（2只）2 =14兀.10.球 O是四面體 ABCD 的外接球，若 AB=CD=2j2 , AD = AC = BD = BC = J5，則球O的表面積為【答案】9?！窘馕觥吭谒拿骟wABCD中AB =CD =2j2 , AD = AC = BD = BC = J5 ,四面體ABC

18、D可以看成是分別以 AB與CD , AC與BD , AD與BC為相對兩個面對角線的長方體中四面 體，該四面體的外接球就是該長方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為R ,2 1 2 2于是（2R）2=5（8 +5 + 5）=9，球的表面積是 S=4%r2=兀（2R）2=9兀.11.已知三棱柱 ABC-ABjG，底面是邊長為 J3的正三角形，側(cè)棱垂直于底面，且該三棱柱的外接球的體積為，則該三棱柱的體積為9【答案】-2【解析】根據(jù)球的體積計算公式，該球的半徑是R = 2 ,正 ABC的外接圓的半徑r二2%“3 府=1 .設(shè)三棱柱的高為2a，根據(jù)題意，得a2 +r2323故這個三棱柱的高是2 J3，其體積是V = S曲BC X h =罟(J3)2 X12 .已知三棱柱 ABC-ABjG的各頂點都在球面上，側(cè)棱與底面垂直,NACB =120° ,CA=CB =2s/3 , AAi =4，則這個球的表面積為【答案】64；!【解析】在蟲ABC中，由余弦定理得AB = Jac2 + BC2 -2 ”AC ”BC codACB = 6 ,設(shè)AABC的外接圓的半徑為r，于是ABsin ZACB 73設(shè)外接