因式分解知識點歸納

1、因式分解知識點回顧1、因式分解的概念：把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互為逆運算2、常用的因式分解方法：（1 ）提取公因式法:ma + mb + m c = m(a + b + c)（2）運用公式法:平方差公式：a2-b2=（a +b）（a-b）；完全平方公式：a2 ±2ab + b2 =(a±b)2（3）十字相乘法:2x +(a+b)x +ab =(x +a)(x +b)因式分解的一般步驟：（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；（3）對二次三項式，應先嘗試用十字

2、相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考慮用分組分解法5、同底數(shù)幕的乘法法則：amUan =am* （ m, n都是正整數(shù)）同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項式或單項式。如：(a +b)2b：a +b)3 =(a +b)56、幕的乘方法則：（am）n =amn（ m,n都是正整數(shù)）幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如：（35）2 =310幕的乘方法則可以逆用：即amn = （am）n =（an）m如：4® =(42)3 =(43)27、積的乘方法則： （ab）n =anbn（ n是正整數(shù)）積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。亦 / c3 25 ，c5 z35 ,2551

3、5 10 5如：(一2x y z) =(一2) (x ) (y ) z =32x y z8同底數(shù)幕的除法法則：aaam"n（a工0,m, n都是正整數(shù)，且m n）同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如:(ab)4 十(ab) = (ab)3 = a3b39、零指數(shù)和負指數(shù);a0 =1，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。1.同底數(shù)幕、幕的運算: m n m+n a a=a（a ）；例題1.若2 =64，則 a=;若 27X3n =(3)8，貝y n=例題2.若5"十=125，求(X - 2)2009'的值。例題3.計算 k-2ytn2xfma = （ a hO, p是正

4、整數(shù)），即一個不等于零的數(shù)的 -P次方等于這個數(shù)的 P次方的倒數(shù)。 a43131如: 2：=（2）=810、單項式的乘法法則： 單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項 式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。注意： 積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號，再計算絕對值。 相同字母相乘，運用同底數(shù)幕的乘法法則。 只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式 單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用。 單項式乘以單項式，結果仍是一個單項式。如：-2x2y3z3xy =11、單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加,

5、即 m(a + b + c) = ma +mb +mc( m, a,b,c都是單項式 ) 注意： 積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。 運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。 在混合運算時，要注意運算順序，結果有同類項的要合并同類項。如：2x(2x 3y) 3y(x + y)12、多項式與多項式相乘的法則；多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所的的積相加。(3a +2b)(a -3b)如：(x+5)(x-6)三、知識點分析:（m， n都是正整數(shù)）. '=amn（ m， n都是正整數(shù)）.練習a2n =3，貝y a6n=.O2設 4x

6、=8y-1,且 9y=27x-1,則 x-y 等于2積的乘方(ab)n=anbn(n為正整數(shù))積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘例題 1.計算：tn-mf 43.乘法公式平方差公式：(a+bla-b)=a2-b2完全平方和公式:(a + b S =a2+ 2ab +b2完全平方差公式:(a -b 2 =a2-2ab +b2例題1.利用平方差公式計算：2009X2007-20082例題2.利用平方差公式計算： 2 2007.2007 -20020063. (a-2b+ 3c-d) (a+ 2b- 3c- d)考點一、因式分解的概念因式分解的概念：把一個多項式分解成幾個整式的

7、積的形式，叫做因式分解。 因式分解和整式乘法互為逆運算1、下列從左到右是因式分解的是()2 2 2A. x(a-b)=ax-bx B. x-1+y =(x-1)(x+1)+y2C. x -1=(x+1)(x-1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c2 2 22、若4a +kab+9b可以因式分解為(2a3b)，則k的值為3、已知a為正整數(shù)，試判斷a2 + a是奇數(shù)還是偶數(shù)?4、已知關于x的二次三項式2x +mx + n有一個因式(X+5)，且m+n=17，試求 m, n的值考點二提取公因式法提取公因式法： ma + mb +m c =m(a +b + c)公因式：一個多項式每一項都含有的相

8、同的因式，叫做這個多項式各項的公因式 找公因式的方法：1、3、系數(shù)為各系數(shù)的最大公約數(shù)2 、字母是相同字母字母的次數(shù)-相同字母的最低次數(shù)習題1、將多項式20a3b22-12a bc分解因式，應提取的公因式是(2A、abB、 4a bC、4ab2D、 4a bc2、已知(19x-31)(13x17)-(13x-17)(11x-23)可因式分解為(ax + b)(8x + c)，其中 a, b, c 均為 整數(shù)，則a+b+c等于（）C、3872A、-12B、-323、分解因式(1) 6a(a +b) 4b(a +b)3a(x- y) -6b(y-x)(3)xn-xnf2(4)(-3)2011 +(

9、-3)20104、先分解因式，在計算求值(1)(2x-1)2(3x +2)-(2x-1)(3x +2)2-x(1-2x)(3x +2) 其中 x=1.5(2)(a-2)(a2+a+1)-(a2-1)(2-a) 其中 a=185、已知多項式X4 +2012X2 +2011X+2012有一個因式為 x2+ax + 1，另一個因式為x2+bx + 2012 , 求a+b的值22 536、若ab +1=0，用因式分解法求 -ab（a b -ab -b）的值7、已知 a，b，c 滿足 ab中a中b =bc + b+c = ca + c + a = 3，求(a+1)(b + 1)(c+1)的值。(a，b，

10、c都是正整數(shù)）考點三、用乘法公式分解因式平方差公式 a?b? = (a+b)(ab)運用平方差公式分解的多項式是二次項，這兩項必須是平方式，且這兩項的符號相反 習題1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（2 2A、 x +4y-X2 -4y22 2 2 2x -2y +1 C x +4y2、分解下列因式(1)3x2 -122(2) (x + 2)(x+4) + x -42 2(x + y) -(x-y)(7)3、若X3 -xy?2009X201120102 -1n為正整數(shù)，則(5)(a-b)2-1(6)9(a-b)2 30(a2 b2) +25(a +b)2(2n +1)-(2n-1)2

11、一定能被 8 整除完全平方式 a2 ±2ab+b2 = (a ±b)2運用完全平方公式分解的多項式是三項式，且符合首平方，尾平方，首尾兩倍中間放的特點，其中首尾 兩項的符號必須相同，中間項的符號正負均可。習題1、在多項式x2+2xy -y2x2+2xy-y2x2+xy+y24x2+1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有（A、 B 、 C 、 D 、2、下列因式分解中，正確的有(4a-a3b2 =a(4-a2b2) x2y-2xy+xy =xy(x -2)-a + ab ac =a(a-b - C) 2 2 2 2 2 29abc6a b=3abc(3-2a)一x y+_x

12、y = xy(x +y)333A、0個 B 、1個 C 、2個 D 、5個3、如果X2 +2(m-3)x+16是一個完全平方式，那么m應為(A、-5D、7 或-14、分解因式2(1) mx -4mx +2m2a2-4a +2-x3 + 2x2 -X2 2(4) (2x +3) -(x-3)2(5)8x y -8xy + 2y2 2(7)4x 12xy+9y 4x+6y-3(6)(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y 415、已知 a+b=2， ab = 2，求一a22 26、證明代數(shù)式X +y 10x+8y+45的值總是正數(shù)7、已知a， b， c分別是4ABC的三邊長，試比較(a2 +

13、b2 -c2)2與4a2b2的大小考點四、十字相乘法2(1)二次項系數(shù)為1的二次三項式x + Px + q中，如果能把常數(shù)項2并且a+b等于一次項系數(shù) P的值，那么它 就可以把二次三項式 xq分解成兩個因式a、b的積,px+q分解成2 2例題講解1、分解因式：x2+5x+6分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于由于 6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6),2 2解：X +5x+6 = x +(2+3)x+2x3=(x+ 2)( X + 3)1用此方法進行分解的關鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積,例題講解2、分解因式：x2-7x + 6解：原式=x2 +

14、(-1)+(_6)x+(-1)(-6)= (x1)(x-6)5。從中可以發(fā)現(xiàn)只有1夂3X 2+1X 3=5且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。2 X 3的分解適合，即2+3=5)1-6 _(-1+ (-6 ) = -7練習分解因式(1) X2 +14x +24 15a +36X2 +4x -5(4) x2 +x -22y -2y-15X2 -10X-242、二次項系數(shù)不為 1的二次三項式 條件：(1)(2)(3)分解結果：=a1a2=%2-ac +ax2+ bx +ccb2ax +bx +c = (a1X +G)(a2x + c2)CiC2b =aiC2 +a2Ci例題講解1、分解因式：分

15、析：解：3x2分解因式：(1)3x2 -11x+103 1-5 -2 X(-6 ) + (-5 ) = -11-11x +10 = (x -2)(3x - 5)5x2 +7x-6(2) 3x2-7x 中 2X +px+q=x +(a +bk+ ab=(x +a)(x +b)2(4) 一6y2 +11y+103、二次項系數(shù)為1的多項式例題講解、分解因式：a2 -8ab -128b2分析：將b看成常數(shù)，把原多項式看成關于a的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。1 8b1-16b8b+(-16b)= -8b+8b +(-16b)a +8bx (16b) = (a + 8b)(a -16b)分解因式(

16、1) X2 -3xy+2y2m2-6mn+8n2(3) a2-ab-6b24、二次項系數(shù)不為1的多項式 例題講解12x2 - 7xy +6y2-2y-3y2(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x 2y)(2x -3y)x2y2 -3xy + 2把xy看作一個整體1-2 _-1)+(-2)= -3解：原式=(xy1)(xy -2)分解因式：(1) 15x2 +7xy-4y22 2(2) a x - 6ax + 8解：a2 -8ab-128b2=a2x3y2 -4x(3) X3 + 6x2 27x(4)a2 -b2 -2b-1考點五、因式分解的應用1、分解下列因式2(1)3x -32、計算

17、下列各題2(1)(4a -4a+1)-(2a -1)2 2 2(2)(a2+b2-c2-2ab)-(a-b-c)3、解方程2 2(1)16(x +1) =25(x-2)2(2) (2x+3) =(2x +3)4、如果實數(shù)b，且=，那么a+b的值等于 b+15、1 -22 *32 -42 衛(wèi)-62 +3+45+61+2+ 20092 -20102 +2O112-2O122 2009 +20102011 + 20126、若多項式2x +ax-12能分解成兩個整系數(shù)的一次因式的乘積，試確定符合條件的整數(shù)a的值（寫出3個）7、先變形再求值14334(1)已知 2x-y=16，xy=4，求 2xy-xy 的值(2)已知 3x2 8x+2 =0，求一12x2 +32x的值8、已知a、b、c為三角