2021中考數(shù)學(xué)壓軸題專題訓(xùn)練01全等三角形中的輔助線做法及常見(jiàn)題型（附解析）

1、全等三角形中的輔助線做法及常見(jiàn)題型1如圖，在中，是的中點(diǎn)，且，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上（1）求證：；（2）若，求四邊形的面積【詳解】（1）證明：，是等腰直角三角形，為中點(diǎn)，平分，在和中，（2），S四邊形CEDF，是的中點(diǎn)，S四邊形CEDF=12如圖，中，點(diǎn)D在邊上，且 （1）求證：；（2）點(diǎn)E在邊上，連接交于點(diǎn)F，且，求的度數(shù)（3）在（2）的條件下，若，的周長(zhǎng)等于30，求的長(zhǎng)【詳解】（1）證明：BDC90°ABD，BDC=ABD+A， A90°ABDBDCBDA180°， BDA180°BDC90°ABD ABDA90°ABDDBAB解：（2）

2、如圖1，作CHBE，連接DH，AFDABC，AFDABDBAE，ABCABDDBC，BAEDBC由（1）知，BADBDA，又EACBADBAE，CADBDBC，CAECAECEBECH，BEEHCHEH即BHCEAEABBD，BDHABEBEDHBECD，CHDHCDDCH為等邊三角形ACB 60°（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AOCE，垂足為ODHAE，CAECDH60°，AECDHC60°ACE是等邊三角形設(shè)ACCEAEx，則BE16x，DHAE，BFEBDH，ABF的周長(zhǎng)等于30，即ABBFAFABx=30，解得AB16在RtACO中，AC，AO，BO16在RtAB

3、O中，AO2BO2AB2，即解得（舍去）ACAF113已知：在和中，（1）如圖，若求證：求證：的度數(shù)圖（2）如圖，若，的大小為_(kāi)（直接寫出結(jié)果，不證明）圖【詳解】解:（1），在和中，；（2）如圖，同理可得：，故答案為：，4如圖，在中，于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)（1）求證：；（2）若，求的周長(zhǎng)【詳解】解：（1）證明：ADBC，ADC=ADB=90°，在ACD和BED中，ACDBED（SAS），DAC=CBF；（2）ADBC，AD=BD=3，DAC=CBF，DAC+C=CBF+C=90°，AFB=90°，BAF的周長(zhǎng)為：AB+BF+AF=5在ABC中，BAC

4、=90°，AC=AB，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊作ADE（頂點(diǎn)ADE按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校褼AE=90°，AD=AE，連接CE（1）如圖1，若點(diǎn)D在BC邊上（點(diǎn)D與BC不重合），求證：ABDACE；求證：（2）如圖2，若點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，若DB=5，BC=7，則ADE的面積為_(kāi)（3）如圖3，若點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，以AD為邊作等腰RtADE，DAE=90°，連結(jié)BE，若BE=10，BC=6，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)【詳解】（1）BAC=DAE，BAD=CAE，又AB=AC，AD=AE，ABDACE，ABDACE，ABD=ACE，BD=CE，ABD+ACB=AC

5、E+ACB=DCE=90°，；（2）過(guò)點(diǎn)A作AFDE于點(diǎn)FADAE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，DAE90°，AFDE，同理可證ABDACE，ADBAEC，DBEC，DB5，BC7，EC5，DC12，DAE90°，ADEAED90°，ADCCDEAED90°，AECAEDCDE90°，即CEDCDE90°，ECD90°，DE2CE2CD225144169，DE0，DE13，AF，ADE的面積為DEAF×13×；（3）由（1）可知：ABDACE，BDCE，ABDACE，BCE=ACB+ACE=ACB+ABD

6、=90°，RtBCE中，BE10，BC6，CE8，BDCE8，CD862，RtDCE中，DE=，ADE是等腰直角三角形，AE=6如圖在中，為的中點(diǎn)（1）寫出點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)、的距離的大小關(guān)系（2）如果點(diǎn)、分別在線段、上移動(dòng)，移動(dòng)中保持，請(qǐng)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論（3）當(dāng)點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形的面積是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由【詳解】（1）連接OA，中，為的中點(diǎn)，（2）是等腰直角三角形，證明如下：，為的中點(diǎn)，在與中，是等腰直角三角形（3）四邊形的面積保持不變，理由如下：由（2）可得： =，的面積保持不變四邊形的面積保持不變7如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，

7、與直線交于點(diǎn)（1）填空：點(diǎn)的坐標(biāo)是（_，_），點(diǎn)的坐標(biāo)是（_，_）；（2）直線與直線的位置關(guān)系_；（3）線段的長(zhǎng)為_(kāi)；（4）在第一象限是否存在點(diǎn)，使得是等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)_【詳解】（1）令，令，則，解得，； 令，令，則，解得，；（2）直線與直線垂直，理由如下：，在和中， ， ， ， 直線與直線垂直；（3）解得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為， 線段的長(zhǎng)為；（4）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得是等腰直角三角形，若AB為斜邊，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸和y軸的垂線，分別交x軸于點(diǎn)E，y軸于點(diǎn)F，是等腰直角三角形， ， 在和中， ，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則 ，解得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；若AB邊為直角邊，過(guò)點(diǎn)P作軸交x軸

8、于點(diǎn)G，是等腰直角三角形， ， 在和中， ，此時(shí)P的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)P作軸交y軸于點(diǎn)H，是等腰直角三角形， ， 在和中， ，此時(shí)P的坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或8如圖1，兩個(gè)不全等的等腰直角三角形和疊放在一起，并且有公共的直角頂點(diǎn)將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在圖2中作出旋轉(zhuǎn)后的OAB(保留作圖痕跡，不寫作法，不證明)；在圖1中，你發(fā)現(xiàn)線段的數(shù)量關(guān)系是_，直線 相交成 角(填“銳”、“鈍”或“直”)；將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角， 得到圖，這時(shí)(2)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍成立?作出判斷并說(shuō)明理由； 若將繞點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)更大的角時(shí)，結(jié)論仍然成立嗎？作出判斷，不必說(shuō)明理由【詳解】解：（1）如圖所示（2）

9、等腰直角三角形和疊放在一起，如圖1，OC=OD，OA=OBAC=BD，故答案為：；直（3）將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，的兩個(gè)結(jié)論成立；理由如下：旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角后， 在和中，延長(zhǎng)交于E，交于，又將繞點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)更大的角時(shí)，結(jié)論仍然成立理由同上9問(wèn)題背景：我們學(xué)習(xí)等邊三角形時(shí)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即：如圖（1），在中，則探究結(jié)論：小明同學(xué)對(duì)以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究（1）如圖（1），作邊上的中線，得到結(jié)論：為等邊三角形；與之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)（2）如圖（2），是的中線，點(diǎn)D是邊上任意一點(diǎn)，連接，作等邊，且點(diǎn)P在的內(nèi)部，連接試探究線段

10、與之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明（3）當(dāng)點(diǎn)D為邊延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，在（2）中條件的基礎(chǔ)上，線段與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出答案即可【詳解】（1），為邊上的中線，是等邊三角形，（2）證明：如圖，連接，都是等邊三角形，；（3）當(dāng)點(diǎn)D為邊延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，同（2）中的方法可證10如圖1，在RtABC中，A90°，ABAC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，ADAE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；（2）探究證明：把ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷PMN的形狀

11、，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：把ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD4，AB10，請(qǐng)直接寫出PMN面積的最大值【詳解】解：（1）點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，故答案為：，；（2）是等腰直角三角形由旋轉(zhuǎn)知，利用三角形的中位線得，是等腰三角形，同（1）的方法得，同（1）的方法得，是等腰直角三角形；（3）方法1：如圖2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大時(shí)，的面積最大，且在頂點(diǎn)上面，最大，連接，在中，在中，方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，最大時(shí)，面積最大，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，11在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E(1)當(dāng)直線MN

12、繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：ADCCEB；DE=AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，直接寫出DE、AD、BE的關(guān)系為：_；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明【詳解】（1）證明：如下圖：ACB=90°，ACD+BCE=90°，而ADMN于D，BEMN于E，ADC=CEB=90°，BCE+CBE=90°，ACD=CBE在ADC和CEB中，ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；（2）證明：在ADC和CEB中，ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=CECD=ADBE；（3）DE=BEAD易證得ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=CDCE=BEAD12（1）（方法探索）如圖，在等邊中，點(diǎn)在內(nèi)，且，求的長(zhǎng)小敏在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，想到了以下思路：如圖，把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，分別證明和是特殊三角形，從而得解請(qǐng)?jiān)诖怂悸诽崾鞠拢蟪鯬B的長(zhǎng)解：把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，請(qǐng)接著寫下去：（2）（方