分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用李煥煥（合肥市永和學(xué)校）摘 要：在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)用分類討論思想，通過正確分類，可以使復(fù)雜的問題 得到清晰，完整，嚴(yán)密的解答.關(guān)鍵詞：分類討論思想；初中數(shù)學(xué)；正確分類；解題；應(yīng)用Abstract： In solutions mathematics problem Shi, application classification discussion thought, through correctly classification, can makes complex of problem get clear, full, closely of answers.

2、引言：數(shù)學(xué)思想方法是人們對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，因此 在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透是極其重要的。初中數(shù)學(xué)中常見的思想方法 有函數(shù)與方程的思想方法，化歸轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，分類討論的思想方法，數(shù) 形結(jié)合的思想方法，整體的思想方法等。、分類討論思想1 .含義及意義在研究和解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，會遇到許多種不同的情況，有些問題無法用同 一種形式解決，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的。因此，我們需要把所要研究的問 題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，選定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，將其劃分成幾個(gè)能用不同形式解決的小 問題，然后再將這些小問題一一解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的答案。這 就是我們常說的分

3、類討論法，而運(yùn)用這種方法的思想就是分類討論思想。分類討論思想，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方法，同時(shí)乂是一種重 要的解題策略.分類討論思想具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，有利于提高學(xué)生 對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性，縝密性，科學(xué)性，所以在數(shù)學(xué)解題中 占有重要的位置.2 .分類討論的要求、原則及其意義分類討論的要求：正確應(yīng)用分類討論思想，是完整解題的基礎(chǔ).應(yīng)用分類討論 思想解決問題，必須保證分類科學(xué)，統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，在此基礎(chǔ)上減少分類，簡化分類討論過程. 為了分類的正確性，分類討論必需遵循一定的原則進(jìn)行，在 初中階段，我們經(jīng)常用到的有以下四大原則：（1）同一性原則 分類應(yīng)按

4、照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類不能同時(shí)使用幾個(gè)不 同的分類根據(jù).（2）互斥性原則分類后的每個(gè)子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容，即做到各個(gè)子項(xiàng)相互排 斥，分類后不能有些元素既屬于這個(gè)子項(xiàng)，又屬于另一個(gè)子項(xiàng).（3）相稱性原則 分類應(yīng)當(dāng)相稱，即劃分后子項(xiàng)外延的總和（并集），應(yīng)當(dāng)與 母項(xiàng)的外延相等.（4）層次性原則分類有一次分類和多次分類之分，一次分類是對被討論對象 只分類一次；多次分類是把分類后的所有的子項(xiàng)作為母項(xiàng)，再次進(jìn)行分類，直到滿 足需要為止.分類討論的意義：在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，對于因?yàn)榇嬖谝恍┎淮_定因素 無法解答或者結(jié)論不能給予統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問題，我們往往將問題按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)劃分 為若干類或若干個(gè)局部問題來解決，通過

5、正確的分類，能夠克服思維的片面性，可 以使復(fù)雜的問題得到清晰，完整，嚴(yán)密的解答。3 .優(yōu)勢及劣勢運(yùn)用分類討論思想解題的優(yōu)勢是可將復(fù)雜的問題分解成若干個(gè)簡單的問題，便 于解答；恰當(dāng)?shù)姆诸愑懻摽杀苊鈦G值漏解，從而提高全面考慮問題的能力，養(yǎng)成周 密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)教養(yǎng)。運(yùn)用分類討論思想解題的劣勢是容易將一些問題的解答變得繁瑣，耗費(fèi)大量的 時(shí)間；容易形成一種思維定勢，不易于培養(yǎng)創(chuàng)新、有效的解題能力。二、運(yùn)用分類討論思想解題正確運(yùn)用分類討論思想，是完整解題的基礎(chǔ)。但運(yùn)用分類討論思想解決問題， 必須遵循一定的原則，明確如何進(jìn)行分類，知道引起分類討論的原因，明白解題的 一般步驟，才能保證解答的正確性。運(yùn)用分類討論

6、思想解題的原則主要體現(xiàn)在如何進(jìn)行分類上。在對分類對象進(jìn)行 劃分時(shí)，我們應(yīng)該遵循以下四個(gè)原則：劃分應(yīng)是相稱的，劃分后子項(xiàng)的總和應(yīng)與母 項(xiàng)相等；劃分標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，對分類的對象應(yīng)按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分，不能同時(shí)用幾種 依據(jù)去劃分；劃分的子項(xiàng)必須相互排斥，進(jìn)行分類后，有些元素不能既屬于這個(gè)子 頂，又屬于另一個(gè)子項(xiàng)；劃分不能越級，要按層次一級一級進(jìn)行分類。運(yùn)用分類討論思想解題，必須明白解題的一般步驟。首先，明確是否需要分類； 然后確定分類討論的對象；接著，進(jìn)行合理的分類；逐步逐級分類討論，得到階段 性成果；最后，歸納總結(jié)，綜合得出結(jié)論。3分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用1 .分類討論思想在運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、

7、定義題中的應(yīng)用有些數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)概念是分類給出的，如絕對值、圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的概念 等。例1、若14 = 2016州=2,求+力的值。分析：這道題考查學(xué)生對絕對值定義的掌握、運(yùn)用情況。由于絕對值的定義是 分類給出的，所以a, b分別有兩個(gè)值，這個(gè)時(shí)候，求a+b的值就需要進(jìn)行分類討論。解：因?yàn)榛? 2016州=2所以a = ±2016,。= ±2當(dāng)a = 2016,b = 2時(shí)，+ = 2018：當(dāng) =2016,0 = _2 時(shí)，a+b = 2014.當(dāng) a = _2016,Z? = _2 時(shí)，t/+Z? = -2018.當(dāng) a = -2016,0 = 2 時(shí)，a+0 = 2

8、014.2 .分類討論思想在運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算要求限制下的應(yīng)用在解題過程中，往往將式子變形或轉(zhuǎn)化為另外一個(gè)式子來進(jìn)行解題和運(yùn)算，很多變形和運(yùn)算是受條件限制的。例2、已知甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn) 的吧側(cè)，兩點(diǎn)之間的距離為8,求這兩個(gè)數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè) 呢3分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，”數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)” 意味著甲乙兩數(shù)符號相反，即一正一負(fù)。那么究竟誰是正數(shù)誰是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用 分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問題。解：設(shè)甲數(shù)為X,乙數(shù)為y由題意得：，(1)數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)：若x在原點(diǎn)左側(cè),y在原點(diǎn)右側(cè)，即x

9、<0, y>0,則4y=8 ,所以y=2 ,x= -6若x在原點(diǎn)右側(cè),y在原點(diǎn)左側(cè),即 若0,若0,則-4y=8 ,所以y=2,x=6(2數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)：若x、y在原點(diǎn)左側(cè),即x<0, y<0,則-2y=8 ,所以y=-4, x=T2若x、y在原點(diǎn)右側(cè)，即x>0, y>0,則2y=8,所以y=4, x=123 .分類討論思想在數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式限制下的應(yīng)用有些定理或公式本身具有限制條件。如，有些函數(shù)的單調(diào)性具有增減兩種可能, 遇到時(shí)就要進(jìn)行分類討論。例3.已知函救丫= （m-1） x2+ （m-2） x1 （m是實(shí)數(shù)）。如果函數(shù)的圖象和x

10、軸只 有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值。分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分m-l=O和mlWO兩種情況來研究解 決問題。解：當(dāng)m=l時(shí)函數(shù)就是一個(gè)一次函數(shù)y=-xl,它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（-1, 0） O當(dāng)mTWO時(shí)，函數(shù)就是一個(gè)二次函數(shù)丫= （m1） x2+ （m2） x1當(dāng)X= （m2） 2+4 （m1） =0,得 m=0。拋物線y二-x2 2xl,的頂點(diǎn)（一 1, 0）在x軸上。4 .分類討論思想在參數(shù)不確定的題中的應(yīng)用有時(shí)方程、不等式、函數(shù)式中所含參數(shù)取不同的值時(shí)，會導(dǎo)致結(jié)果不同，因此 需要進(jìn)行分類討論。例4、解關(guān)丁入一的不等式：3? （ + l）x +1 v 0。分析：這是一個(gè)含參數(shù)a的不等式，

11、它不一定是一個(gè)二次不等式，故首先對二次 項(xiàng)系數(shù)a分類：（1） aWO, （2） a=0,對于（2）,不等式易解；對于（1） , 乂需 再次分類：a>0或a<0,因?yàn)樵谶@兩種情形下，不等式的解集形式是不同的，不等式 的解集可能是在兩根之外，也可能是在兩根之間。當(dāng)確定這一點(diǎn)后，乂會遇到1與-1 誰大誰小的問題，因而乂需作一次分類討論。故解題時(shí)，需要作三級分類。解.（1）當(dāng)7=0時(shí)，原不等式化為7+1 <0：.X>綜上所述，得原不等式的解集為當(dāng)a<0時(shí)，解集為或a J ； » = 0時(shí)，為Nx > 1； 當(dāng)0 V 4 V 1時(shí)，解.集為< xi&l

12、t;x < >.為=1H寸,例5、已知關(guān)于”的函數(shù)y = 0-4）爐一（2祖-1）工+旭的圖像與X軸總有交點(diǎn),求小的 取值范圍。分析：函數(shù)中最高項(xiàng)的系數(shù)是含字母的不確定代數(shù)式，所以它的取值有多種可 能性，這時(shí)我們就需要進(jìn)行分類討論。題目說函數(shù)圖象與1軸總有交點(diǎn)，并沒有說 明有幾個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有可能是一次函數(shù)，有可能是二次函數(shù)。所以未知數(shù)最高 項(xiàng)的系數(shù)要分類討論。解：（1）當(dāng)?-4 = °,即? = 4時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)； （2）當(dāng)?-4工°時(shí)，此時(shí)函數(shù)為二次函數(shù)，A = -(2/z?-1)- - 4(? - 4)？ > 0解得m &

13、gt; -12,所以當(dāng)12-4W0且12時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn).111 之一綜合(1) (2),當(dāng) 12時(shí)、圖像與x軸總有交點(diǎn)。5 .分類討論思想在圖形不確定的題中的應(yīng)用由于題目未明確給出圖形的所有元素，所以會導(dǎo)致圖形不確定，引起分類討論。 例6、如果三角形的兩邊長分別是23cm和10cm,第三邊的長與其中一邊的長度相等， 那么第三邊的長是多少分析：由于題中所求的第三邊與其中一邊相等，但是不明確具體是與哪條邊相 等，因此需分兩種情況討論。若不作兩種情況的分類討論，可能會出現(xiàn)漏解或錯(cuò)解解：(1)當(dāng)?shù)谌叺拈L為23cm時(shí)，其三邊長分別為23cm、23cm、10cm,它們 滿足三角形三邊關(guān)系：兩邊

14、之和大于第三邊。因此，這三邊能構(gòu)成三角形，所以第 三邊的長為23cm；(2)當(dāng)?shù)谌叺拈L為10cm時(shí)，其三邊長分別為10cm、10cm、23cm。因?yàn)?1O+1OV23,所以它不能構(gòu)成三角形，故第三邊長不能為10cm。綜上所述，第三邊的長為23cm。例7.已知兩圓的半徑分別是5cm和4cm,公共弦長為6cm,則這兩圓的圓心距為分析：由圓的對稱性，兩圓的公共弦可在兩圓心之間，也可以在兩圓心同 旁。答案：4+根號7和4-根號76 .分類討論思想在排列組合問題中的應(yīng)用分類討論思想在排列組合問題中的應(yīng)用也比較常見，尤其是解含有約束條件的 排列組合問題時(shí)，運(yùn)用分類討論的方法可以把復(fù)雜的問題簡單化。例8、

15、在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，12條棱的中點(diǎn)，6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn) 中，共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是多少匐解：依題意，共線的三點(diǎn)組可以分為三類：8x7 .=2o(1)兩端點(diǎn)皆為頂點(diǎn)的共線三點(diǎn)組，共有2(個(gè))；6x13（2）兩端點(diǎn)皆為面的中心的共線三點(diǎn)組，共有一（個(gè)）；生=18（3）兩端點(diǎn)皆為各棱中點(diǎn)的共線三點(diǎn)組，共有2（個(gè)）：所以總共有28+3+18 = 49 （個(gè)）。7 .分類討論思想在實(shí)際問題中的應(yīng)用近幾年來，考試命題中出現(xiàn)了大量的實(shí)際應(yīng)用題。這種應(yīng)用題，往往需要運(yùn)用 分類討論思想才能順利解決。例9、某超市春節(jié)期間舉行促銷優(yōu)惠活動(dòng)，方案一：憑50元錢購買會員卡，憑會員卡 購買超市內(nèi)商品享受

16、八折優(yōu)惠；方案二：若不購買會員，則購買超市內(nèi)商品只能享 受九折優(yōu)惠。（1）若按照方案一購買商品應(yīng)付款額為力 （元），若按照方案二購買商品應(yīng)付款額 為先 （元），購買商品的價(jià)格為x元，請用含有x的代數(shù)式表示力和以；（2）購買商品的價(jià)格在什么范圍內(nèi)，如何選擇購買方案更劃算解：（1） y尸50+, 72=0（2）當(dāng)力巫時(shí)，50+>,解得XV500；當(dāng)y尸為時(shí)，50+=，解得x=500；當(dāng)當(dāng)y】V 以時(shí)，50+<,解得x>500；所以當(dāng)購買商品的價(jià)格小于500元時(shí)，選擇方案二更劃算，當(dāng)購買商品的價(jià)格等于500 元時(shí)，選擇兩種方案一樣劃算，當(dāng)購買商品的價(jià)格大于500元時(shí),選擇方案一更劃

17、算。 四、如何簡化分類討論分類討論是一種重要的解題策略，但他不是萬能的，不是唯一的，對于分類討論 的問題，在熟悉和掌握分類討論的同時(shí)，要注意克服盲目討論的思維定勢，要認(rèn)真 審查題目的特點(diǎn)，充分挖掘題中潛在的特殊性和簡單性，盡可能避免分類討論，簡 化分類討論過程，從而提高分類討論的效果.五、總結(jié)通過以上的例子，可以發(fā)現(xiàn)分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用是非常廣泛 的。通過探討分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中集合，函數(shù)，不等式，排列組合等中的應(yīng) 用，我們應(yīng)用正確的分類討論思想，對不同情況進(jìn)行分類研究，使問題化整為零， 各個(gè)擊破，再積零為整，從而使復(fù)雜的問題得到清晰，完整，嚴(yán)密的解答.它能使 許多看似復(fù)雜的

18、問題簡單化，也能全面地解答一個(gè)問題。在使用分類討論思想解題 時(shí)，首先需要明白為何要進(jìn)行分類討論，再者要遵循一定的原則，合理分類，對全 體對象的分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏。但是在解題過程中，不能盲目或機(jī) 械地進(jìn)行分類討論。有的題目雖然含有分類因素，但對問題作深入研究，會發(fā)現(xiàn)題 目中各定量或變量存在一定的關(guān)系。因此，對于需要分類討論的問題，在熟悉和掌 握分類討論思想的同時(shí)，要注意克服盲目討論的思維定勢，認(rèn)真審查題目的特點(diǎn)， 充分挖掘題中潛在的特殊性和簡單性，盡可能避免分類討論，簡化分類討論過程， 使解題更簡單、更輕松。參考文獻(xiàn)：1皇甫月紅.淺談初中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)教.課程教育研究,2012(33).2陳新娟.分類討論思想在解