高中數(shù)學(xué)――圓錐曲線試題精選(含答案)

1、高考圓錐曲線試題精選一、選擇題:(每小題 5分,計 50分1、 (2008海南、寧夏文 雙曲線221102x y -=的焦距為( 2. (2004全國卷文、理 橢圓 1422=+y x 的兩個焦點為 F 1、 F 2,過 F 1作垂直于 x 軸的 直線與橢圓相交,一個交點為 P ,則 |2PF = ( A .2B . C . 27 D . 43. (2006遼寧文 方程 22520x x -+=的兩個根可分別作為( 4. (2006四川文、理 直線y=x-3與拋物線 x y 42=交于 A 、 B 兩點,過 A 、 B 兩點向 拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為 P 、 Q ,則梯形 APQB 的

2、面積為( (A 48. (B 56 (C 64 (D 72.5. (2007福建理 以雙曲線116922=-y x 的右焦點為圓心,且與其漸近線相切的圓的方程是 ( A .B.C .D. 6. (2004全國卷理 已知橢圓的中心在原點,離心率 21=e ,且它的一個焦點與拋物線 x y 42-=的焦點重合,則此橢圓方程為( A .13422=+y x B . 16822=+y x C . 1222=+y x D . 1422=+y x 7. (2005湖北文、理 雙曲線 0(122=-mn ny m x 離心率為 2,有一個焦點與拋物線 x y 42=的焦點重合,則 mn 的值為( A . 1

3、63 B . 83 C . 316 D . 388. (2008重慶文 若雙曲線 2221613x y p-=的左焦點在拋物線 y 2=2px 的準(zhǔn)線上 , 則 p 的值為(A2(B3(C4 9. (2002北京文 已知橢圓1532222=+n y m x 和雙曲線 1322222=-n y m x 有公共的焦點,那么 雙曲線的漸近線方程是( A . y x 2±= B . x y 2±= C . y x 4±= D . x y 4±=10. (2003春招北京文、 理 在同一坐標(biāo)系中, 方程 0(0122222>>=+=+b a by ax

4、 by a x 與 的曲線大致是( 二、填空題:(每小題 5分,計 20分11. (2005上海文 若橢圓長軸長與短軸長之比為 2, 它的一個焦點是 (0, 2,則橢圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程是 12. (2008江西文 已知雙曲線 22221(0, 0 x y a b a b -=>>的兩條漸近線方程為 y x =, 若頂點到漸近線的距離為 1,則雙曲線方程為 .13. (2007上海文 以雙曲線 15422=-y x 的中心為頂點,且以該雙曲線的右焦點為焦點的 拋物線方程是 .14.(2008天津理 已知圓 C 的圓心與拋物線 x y 42=的焦點關(guān)于直線 x y =對稱 . 直線0234

5、=-y x 與圓 C 相交于 B A , 兩點,且 6=AB , 則圓 C 的方程為 .三、解答題:(15 18題各 13分, 19、 20題各 14分15. (2006北京文 橢圓 C:22221(0 x y a b a b +=>>的兩個焦點為 F 1,F 2, 點 P 在橢圓 C 上,且 11212414,|,|. 33PF F F PF PF =(求橢圓 C 的方程; ( 若直線 l 過圓 x 2+y2+4x-2y=0的圓心 M , 交橢圓 C 于 , A B 兩點 , 且 A 、 B 關(guān)于點 M 對稱 , 求直線 l 的方程 . .16. (2005重慶文 已知中心在原點

6、的雙曲線 C 的右焦點為(2, 0 ,右頂點為 0, 3( (1求雙曲線 C 的方程; (2若直線 2:+=kx y l 與雙曲線 C 恒有兩個不 同的交點 A 和 B ,且 2>(其中 O 為原點 . 求 k 的取值范圍 .17. (2007安徽文 設(shè) F 是拋物線 G :x 2=4y 的焦點 .( 過點 P (0, -4作拋物線 G 的切線 , 求切線方程 :( 設(shè) A 、 B 為拋物線 G 上異于原點的兩點,且滿足 0·=, 延長 AF 、 BF 分別交拋物線 G 于點C , D ,求四邊形 ABCD 面積的最小值 .18. (2008遼寧文 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中

7、,點 P到兩點 (0, (0的距離之 和等于 4,設(shè)點 P 的軌跡為 C . ( 寫出 C 的方程; ( 設(shè)直線 1y kx =+與 C 交于 A , B 兩點. k 為何值時 OA OB ?此時 AB 的值是多少?19. (2002廣東、河南、江蘇 A 、 B 是雙曲線 x 2 y 221上的兩點,點 N(1,2是線段 AB 的中點(1求直線 AB 的方程;(2如果線段 AB 的垂直平分線與雙曲線相交于 C 、 D 兩點,那么 A 、 B 、 C 、 D 四點是否共圓? 為什么?20. (2007福建理 如圖,已知點 F (1, 0 ,直線 l :x =-1, P 為平面上的動點,過 P 作

8、直 線 l 的垂線,垂足為點 Q ,且 =。 (1求動點 P 的軌跡 C 的方程;(2過點 F 的直線交軌跡 C 于 A 、 B 兩點,交直線 l 于點 M ,已知 , ,求 的值。 “圓錐曲線與方程”單元測試(參考答案一、選擇題:(每小題 5分,計 50分 11. 1208022=+y x ; 12. 223144x y -= . 13. x y 122=. 14. 22(1 10x y +-=.三、解答題:(15 18題各 13分, 19、 20題各 14分15. . 解:( 因為點 P 在橢圓 C 上,所以 6221=+=PF PF a , a=3. 在 Rt PF 1F 2中, , 2

9、212221=-=PF PF F F 故橢圓的半焦距 c =5,從而 b 2=a 2-c 2=4, 所以橢圓 C 的方程為 4922y x +=1. ( 解法一:設(shè) A , B 的坐標(biāo)分別為(x 1, y 1 、 (x 2, y 2 .已知圓的方程為(x +2 2+(y -1 2=5,所以圓心 M 的坐標(biāo)為(-2, 1 . 從而可設(shè)直線 l 的方程為 y =k (x +2+1,代入橢圓 C 的方程得 (4+9k 2 x 2+(36k 2+18k x +36k 2+36k -27=0.因為 A , B 關(guān)于點 M 對稱 . , 所以. 29491822221-=+-=+k kk x x 解得 9

10、8=k , 所以直線 l 的方程為 , 1 2(98+=x y即 8x -9y +25=0. (經(jīng)檢驗,所求直線方程符合題意 ( 解法二:已知圓的方程為(x +2 2+(y -1 2=5,所以圓心 M 的坐標(biāo)為(-2, 1 . 設(shè) A , B 的坐標(biāo)分別為(x 1, y 1 ,(x 2, y 2. 由題意 x 1x 2且, 1492121=+y x , 1492222=+yx 由-得 . 04(9 (21212121=+-+-y y y y x x x x 因為 A 、 B 關(guān)于點 M 對稱,所以 x 1+ x2=-4, y1+ y2=2,代入得2121x x y y -=98,即直線 l 的

11、斜率為 98,所以直線 l 的方程為 y -1=98(x+2 , 即 8x -9y +25=0.(經(jīng)檢驗,所求直線方程符合題意 .16.解:(設(shè)雙曲線方程為 12222=-by a x . 0, 0(>>b a由已知得 . 1, 2, 2, 2222=+=b b a c a 得 再由 故雙曲線 C 的方程為 . 1322=-y x (將 得 代入 13222=-+=y x kx y . 0926 31(22=-kx x k 由直線 l 與雙曲線交于不同的兩點得 >-=-+=-.0 1(36 31(36 26(,0312222k k k k即 . 13122<k k 且

12、啟智輔導(dǎo) 設(shè) A( x A , y A , B( x B , y B ，則 x A + x B = 6 2k -9 ， , x A xB = 2 1 - 3k 1 - 3k 2 由OA × OB > 2得x A xB + y A yB > 2, 而 x A xB + y A y B = x A xB + (kxA + 2 (kxB + 2 = (k 2 + 1 x A xB + 2k ( x A + xB + 2 -9 6 2k 3k 2 + 7 + 2k +2= 2 . 1 - 3k 2 1 - 3k 2 3k - 1 3k 2 + 7 - 3k 2 + 9 1 >

13、; 2,即 > 0, 解此不等式得 < k 2 < 3. 于是 2 2 3 3k - 1 3k - 1 1 < k 2 < 1. 由、得 3 3 3 故 k 的取值范圍為 (-1,- È ( ,1. 3 3 2 x x0 x 由 17.解： （）設(shè)切點 Q( x0 , . y¢ = , 知拋物線在 Q 點處的切線斜率為 0 ， 2 4 2 2 2 x x x x 故所求切線方程為 y - 0 = 0 ( x - x0 , 即y = 0 x- 0 . 2 4 4 2 2 x 2 因為點 P （0， 在切線上， -4） 所以 - 4 = - 0 ,

14、 x0 = 16, x0 = ±4. 所以切線方程為 y=±2x-4. 4 (設(shè) A( x1 , y1 , C ( x2 , y 2 . 由題設(shè)知，直線 AC 的斜率 k 存在，由對稱性，不妨設(shè) k0. = (k 2 + 1 因直線 AC 過焦點 F（0，1） ，所以直線 AC 的方程為 y=kx+1. 點 A，C 的坐標(biāo)滿足方程組 í ì y = kx + 1, 2 î x = 4 y, ì x1 + x 2 = 4 k , 由根與系數(shù)的關(guān)系知 í î x1 x 2 = -4. 消去 y，得 x 2 - 4kx

15、- 4 = 0, AC = ( x1 - x2 2 + ( y1 - y 2 2 = 1 + k 2 ( x1 + x 2 2 - 4 x1 x 2 = 4(1 + k 2 . 1 1 因為 AC BD ，所以 BD 的斜率為 - ，從而 BD 的方程 y = - x + 1. k k 2 1 2 4(1 + k . 同理可求得 BD = 4(1 + (- = 4 k2 1 8(1 + k 2 1 S ABCD = AC BD = = 8(k 2 + 2 + 2 ³ 32. 2 2 k k 當(dāng) k=1 時，等號成立.所以，四邊形 ABCD 面積的最小值為 32. 18解： （）設(shè) P

16、（x，y） ，由橢圓定義可知，點 P 的軌跡 C 是以 (0， 3，3 為焦點， - (0 長半軸為 2 的橢圓它的短半軸 b = 22 - ( 3 2 = 1 ，故曲線 C 的方程為 y2 x + = 1 4 2 ì 2 y2 = 1， ïx + （）設(shè) A( x1，y1 ，B( x2，y2 ，其坐標(biāo)滿足 í 4 ï y = kx + 1. î 2k 3 2 2 ，x1 x2 = - 2 消去 y 并整理得 (k + 4 x + 2kx - 3 = 0 ， 故 x1 + x2 = - 2 k +4 k +4 uuu uuu r r OA OB

17、 ，即 x1 x2 + y1 y2 = 0 而 y1 y2 = k 2 x1x2 + k ( x1 + x2 + 1 ， 高考圓錐曲線試題精選 第6頁 共8頁 啟智輔導(dǎo) 3 3k 2 2k 2 -4k 2 + 1 - - +1 = 2 于是 x1 x2 + y1 y2 = - 2 k + 4 k2 + 4 k2 + 4 k +4 uuu uuu r r 1 所以 k = ± 時， x1 x2 + y1 y2 = 0 ，故 OA OB 2 1 4 12 當(dāng) k = ± 時， x1 + x2 = m ， x1 x2 = - 2 17 17 uuuu r AB = ( x2 -

18、x1 2 + ( y2 - y1 2 = (1 + k 2 ( x2 - x1 2 ， 而 ( x2 - x1 2 = ( x2 + x1 2 - 4 x1 x2 = 所以 AB = 42 4 ´ 3 43 ´13 + 4´ = ， 172 17 17 2 uuuu r 4 65 17 2 19.解：(1依題意，可設(shè)直線方程為 yk(x12 y 2 2 代入 x 1，整理得 (2kx 2k(2kx(2k 20 2 2 2 記 A(x1,y1,B(x2,y2，則 x1、x2 是方程的兩個不同的實數(shù)根，所以 2k 0,且 x1x2 2k(2k 2 2k 1 由 N(1

19、,2是 AB 中點得 (x1x21 2 k(2k2k ，解得 k1，所易知 AB 的方程為 yx1. 2 (2將 k1 代入方程得 x 2x30，解出 x11,x23，由 yx1 得 y10,y2 4 即 A、B 的坐標(biāo)分別為(1,0和(3，4 由 CD 垂直平分 AB，得直線 CD 的方程為 y(x12，即 y3x ，代入雙曲線方程， 整理， 2 得 x 6x110 記 C(x3,y3,D(x4,y4，以及 CD 中點為 M(x0,y0，則 x3、x4 是方程的兩個的實數(shù)根，所以 1 x3x46, x3x411， 從而 x0 (x3x43,y03x06 2 |CD| (x3x4 (y3y4

20、2(x3x4 2(x3x4 4x3x44 10 1 |MC|MD| |CD|2 10， 又|MA|MB| 2 2 2 2 2 2 2 2 (x0x1 (y0y1 4362 10 即 A、B、C、D 四點到點 M 的距離相等，所以 A、B、C、D 四點共圓. ， 20.（）解法一：設(shè)點 P( x，y ，則 Q(-1 y ，由 2 得： y Q O A M P B F x ( x + 1， g ， y = ( x -1，yg -2，y ，化簡得 C : y = 4x 0 (2 - ( uuu uuu uuu r r r （）解法二：由 得： FQg PQ + PF = 0 ， ( uuu r uuu r uu