高等數學中求極限地方法小結

1、實用標準文案高等數學中求極限的方法小結2. 求極限的常用方法2.1利用等價無窮小求極限這種方法的理論基礎主要包括：(1) 有限個無窮小的和、差、積仍是無窮小.(2) 有界函數與無窮小的乘積是無窮小.(3) 非零無窮小與無窮大互為倒數.(4)等價無窮小代換 ( 當求兩個無窮小之比的極限時，分子與分母都可用等價無窮小代替).3設、 且 limlim；則：與是等價無窮小的充分必要條件為：0() 常用等價無窮小：當變量x0 時，sin x x, tan x x,arcsin x x,arctan x x, ex1 x,ln(1x) x,1cos x 1 x2 ,21 x1x x,(1x)1x 例 1求

2、 lim 1 cos xx 0 x arctan x解x 0時,1cos x 1 x2 ,arctan x x ，21 x21故，原式lim 2x 0x221例 2(1 x2 ) 31求 limcos x1x0111解x0時,(1x2 ) 31 x2 ,1cos x x2,因此:321 x22原式lim3x0123x2例 3求 lim3 131 x 0tan x11 x1解x0時, 31x1 x, tan x x ，故 : 原式 = lim 33x 0 x3精彩文檔ex1實用標準文案2例 4求 limx 0 2xln(1 x)解 x0時, ex1 x,ln(1 x) x , 故 :原式limx

3、21x 0 2x22例 5試確定常數 a 與 n ，使得當 x0 時， axn 與 ln(1x3 )x3 為等價無窮小ln(13)33x23x23x53xx而左邊 lim 1x1 ，解limaxn1n1limnx0x0naxx0 nax故n15即 n63131a1lim6a2x 0 6a2.2利用洛必達法則求極限利用這一法則的前提是：函數的導數要存在；為0比 0型或者型等未定式類型 .洛必達法則分為 3 種情況：（ 1） 0 比 0，無窮比無窮的時候直接用. （ 2）0 乘以無窮，無窮減去無窮（無窮大與無窮小成倒數關系時）通常無窮大都寫成無窮小的倒數形式, 通項之后，就能變成（1）中形式了 .

4、 （ 3）0 的 0 次方， 1 的無窮次方，無窮的 0 次方，對于（指數,冪函數） 形式的方法主要是取指數的方法，這樣就能把冪函數指數位置的函數移下來了，就是寫成0 與無窮的形式了 .洛必達法則中還有一個定理：當 xa 時，函數 f (x) 及 F (x) 都趨于 0；在點 a 的某去心鄰域內，f ( x) F ( x) 的導數都存在且F ( x) 的導數不等于0； limf ( x) 存在，那么xaF ( x)limf ( x)limf(x).1x a F ( x)x aF (x)求極限有很多種方法如洛必達法則，夾逼定理求極限的秘訣是：強行代入， 先定型后定法.3例 6求 lim(1cos

5、2 x ) .x 0sin 2 xx2分析秘訣強行代入，先定型后定法 .精彩文檔實用標準文案110202(00)(00)00 00220404030（此為強行代入以定型） .0000 可能是比00 高階的無窮小， 倘若不這樣， 或(00)(00)00 00040202或(00)(00)00 0004003.解lim(1cos2 x)limx2sin 2 x cos2 xlim ( xsin xcos x)( xsin xcos x)x 0sin2 xx2x0x2 sin2 xx0x4xsin x cos xxsin xcos x2limxsin x cos xlim3lim3，x0xx0xx0

6、x由洛必達法則的2, 有：上式 = 2lim1 cos2xsin 2 x4 lim sin 2 x4.x 03x23 x 0x23例 7求 limex1 .x0x2x(ex1)limex1limex11 .解lim2x)2x 0 ( xx 0 2x 1x 0x x例 8求 limx33x2 .x1x3x2x1解原式lim3x23lim6x3 . （二次使用洛必達法則） .x 1 3x22x 1x 1 6x 2 2例 9求 lim exe x2x .x0xsin x解原式lim exe x2lim exe xlim exe x2 .x01cos xx0 sin xx0 cos x例 10 求 l

7、imx24x3.x1x22x1解原式lim 2x4limx2limx20原式= .x 1 2x 2x 1 x 1x 1 x 1例 11 求 limtan xx.x sin x arcsin xx0精彩文檔實用標準文案11(11x2tan xx22cos)1解原式cos x1 cos xlim2limlimlim.x 0xxxx 03x2x 0 3x2 cos2 xx 0 3x2 cos2x3例 12 求 lim cot x .x 0 ln x解原式limsin 2 xcos2 x xlim1.x0sin 2 xx0 2sin x cos x例 131cos2 x) .求 lim(2 xx2x

8、0sinx2sin2x cos2 x( xsin xcos x)( xsin x cos x)解原式limsin2xx2limx4x0x0limxsin x cos xx sin xcos xx sin x cos x1 cos2xsin 2 x 4x3limx2limx32lim3x23x0x0x0x0“0”型：例 14求 lim x(arctan x) .x 2arctanx11x2解原式lim21lim1lim1 .xx1x11xx2x2“”型：例 15求 limsecxtan x .x2解secxtan x1sin x1sin x，cos xcos xcos x故原式1sin xlim

9、cosx0 .limsin xxcosxx22“ 00”型：例 16 求 lim xx .x 0原式 lim eln xxlim exln xlim ex ln x1 .解ex 0x 0x 0“1 ”型：精彩文檔實用標準文案例 17求 lim1ex.x x解原式lim1ex eeee .xx0“”型：例 18 求 lim ( 1) tan x .x 0 xln( 1 )tan x解原式 lim e xx 0lim e tan xln xlim etan xln xex 0，x 0而 lim ( tan x ln x)tan x xlim ( x ln x) 0 ，因此：原式 =1.x 0x 0

10、2.3泰勒公式（含有 e的 x 次方的時候，尤其是含有正、余弦的加減的時候要特別注意）泰勒中值定理定理：如果函數f ( x) 在含有 n 的某個開區(qū)間(a, b) 內具有直到 (n1)階的導數，則對任一x(a,b) ，有f ( x)f ( x ) + f (x)(x- x)+f ( x0 )( x -x )2+f ( n) ( x0 ) ( x -x) n + R(x)0002!0n!0n其中 Rn ( x)f ( n 1)xx0n 1是 x 與 x0 之間的某個值 .1n1 !，這里例 19 利用帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式，求極限sin xx cos xlimsin3x.x 0解由于公式

11、的分母 sin3 x x3 (x0)，我們只需將分子中的sin x xx30( x3 ), x cos xxx30( x3 ) 代入計算，3!2!于是 sin xx cos xxx30( x3 ) xx30( x3 )1 x30( x3 ) ，對上式做運算3!2!3時，把兩個x3 高階的無窮小的代數和還是記作0( x3 ) .3x3x24314例 20 limlimxx3x32x2x1213 ，xx11xx2x3精彩文檔實用標準文案1n211limn21 ，lim221x(n1)x1n2nn2)n3n21(lim31limnn 1n.x(2)3x223332.4無窮小與有界函數的處理方法面對復

12、雜函數， 尤其是正、 余弦的復雜函數與其它函數相乘的時候，一定要注意這個方法.3例 21求 limx sin x .xx解 原式lim(1sin x)lim(11 sin x)1 .xxxx2.5夾逼定理主要介紹的是如何用之求數列極限，這個主要是看見極限中的通項是方式和的形式，對之放縮或擴大 .1sinsin 2sin例 22求 limnn.nn1n112nniin sininsinnsinn ，解nni 1n 1 i 1 n 1i 1 n oinlimni1sin in lim 1 n o n nni1in12nsin x dx，0sin inn11ni12limlim1 sin x dx，

13、nn1nn 1n i 1n0i 1nsin i2 .根據夾逼定理limnxi 11ni2.6 等比等差數列公式（的絕對值要小于1） 1精彩文檔實用標準文案例 23設 | 1 ，證等比數列1，2n 1 ， 的極限為 0.證任取 01，為使 xn a，而 xn an lnln , nlnln，nn，使，即當 Nln，當 nN 時，即 nNln1ln，ln1lnlnn lnlnn即 xna，由定義知limn102. n.lim2. n11.n因此 , 很顯然有 :0.99.lim0.99.1.nn2.7 各項以拆分相加 3將待求的和式子的各項拆分相加來消除中間的大多數，主要應用于數列極限, 可以使用

14、待定系數來拆分簡化函數 .例 24 求 lim111.1.n2*33*4n n1解 原式lim1 1111 .11n2334nn 1lim111n 2 n 1lim31n 2 n 13= .22.8求左右極限的方式x1, x0例 25求函數 f ( x) 0, x0 ，求 x0 時， fx 的極限 .x1, x0精彩文檔實用標準文案解limfxlimx11， lim fxlimx1 1 ，x 0x0x 0x 0因為 limfxlimfx，所以，當 x0時， f ( x) 的極限不存在 .x0x0例 26limxx0.xx0解limx(x)lim (x )0 ， limx xlim x0 ，x0

15、xx 0x 0xx 0因為 limx(x)limxx0 ，所以 , 原式 =0.x0xx 0x2.9應用兩個重要極限lim sin xx1， lim 11ex 0xxx例 27求 lim ex1 .x 0x解 記 x ln 1tex 1t ，則t1原式 = limlimt 0 1 tt 0ln 1 1t111 因為 lim 1 x x e .tx1例 28求 lim1nn 1n.1n 1 1解原式 = lim= e.1nn11n例 29 求 lim.1nn-11n 1 1解原式 = lim= e .1nn-12.10 根據增長速度ln x xne x( x)xn例 30求 limx n為正整數

16、，0 .xe精彩文檔實用標準文案原式 = limnxn1n n1 xn 2limn!0 .解x= lim2xn xxexexe例 31 求 limln x0 .xnnxln x11解limlimxlim0 .xnnxn1nxnxxx同函數趨近于無窮的速度是不一樣的，x 的 x 次方快于 x! （ x 的階乘）快于指數函數，快于冪函數，快于對數函數 .所以增長速度：ln xxne x(x) .故以后上述結論可直接在極限計算中運用.2.11換元法例 32 lim(11 )x .xx解 令 xt ，1tt1t1t 11= e則原式 = lim1limlim11tttttt1t12.12 利用極限的運

17、算法則1利用如下的極限運算法則來求極限：(1) 如果 lim fxA,lim gxB,那么 limf ( x)g( x)limf ( x)lim g (x)ABlimfxgxlim fxlim gxA B若又有 B 0 ，則 lim f ( x)lim f (x)Ag (x)lim g(x)B（ 2）如果 limf (x) 存在，而 c 為常數，則 lim cf ( x)c limf ( x)（ 3）如果 limf (x) 存在，而 n 為正整數，則 lim f ( x)nlim f (x) n（ 4）如果 ( x)( x) ，而 lim ( x)a, lim( x)b ，則 ab（ 5）設有

18、數列xn和 yn，如果 limxn ynAB;n精彩文檔實用標準文案那么， limxnynAB; lim xn ynA Bnn當 yn0 n 1,2,. 且 b0 時， lim xnAnynB2.13 求數列極限的時候可以將其轉化為定積分1x20,1n例 33已知 fx1, 在區(qū)間上求 limf i0 i1個小區(qū)間xi 1, xi ,xi 1ixi，為xi中的最大值） .n1解 由已知得 :limfixifx dx010i12 dx1 x0.4（注釋：由已知可以清楚的知道，該極限的求解可以轉化為定積分間 0,1 上的面積） .在有的極限的計算中，需要利用到如下的一些結論、概念和方法：xi （其

19、中將0,1 分為 n, 求函數fx 在區(qū)（ 1）定積分中值定理：如果函數fx 在積分區(qū)間a, b上連續(xù)，則在a, b上至少有bxdxx baab一個點，使下列公式成立：f；a（ 2）設函數 fx 在區(qū)間a,上連續(xù)，取 ta ，如果極限limtf x dx 存在，ta則稱此極限為函數 fx在無窮區(qū)間a,上的反常積分，記作f (x) dx ，即0f ( x) dxlimtf ( x) dx ；ata設 f x 在區(qū)間a,b 上連續(xù)且 f x0 ，求以曲線 yf x為曲線，底為a, b 的A ，把這個面積A 表示為定積分：A=bx dx曲邊梯形的面積f的步驟是：a首先，用任意一組的點把區(qū)間a,b 分

20、成長度為xi(i 1,2,.n) 的 n 個小區(qū)間， 相應地n 個窄曲邊梯形，第i 個窄曲邊梯形的面積設為n把曲線梯形分成Ai ，于是有 AAi ；i 1精彩文檔實用標準文案其次，計算Ai的近似值Aifixixi1ixi；A 的近似值n然后，求和，得Ai1fixi；nb最后，求極限，得Alimf (i )xif ( x) dx .a0i 1xxtf tdt設函數 f xf00 ，求極限02 .例 34連續(xù)，且limxxt.x 0xfdt0xxtftdtxtdtxtdt解 lim 0xftfx= lim0x0,x0fxtdtx 0xfudux00xft dt +xfxxfx由洛必達得： lim0

21、xx0fuduxfx，0其中 fxt dx, 令 uxt, 得xfudu,0再由積分中值定理得:limxf在0到 x之間xfxx 0 xflimff012 .x 0 ff xf 0f 0例 35計算反常積分 :1dx.dxx2解=arctan x= limarctan xlimarctan x=().21xxx-222.14利用函數有界原理證明極限的存在性，利用數列的逆推求極限（ 1）單調有界數列必有極限；（ 2）單調遞增且有上界的數列必有極限，單調遞減且有下界的數列必有極限. 3例 36數列 xn:2 ，2 x，222 ， 極限存在嗎？n 1解 由已知可得xn單調遞增且有界，由單調有界原理，知lim xn 存在n又 xn2 xn1 ， lim xnlim2xn1nn精彩文檔實用標準文案記 lim xn =t, 則 t2t ，n即可證 xn2 ，得到t2.2.15直接使用求導的定義求極限當題目中告訴你F (0)0 時， F (x) 的導數等于0 的時候， 就是暗示你一定要用導數定義：（ 1）設函數 yf x 在點 x0 的某個領域內有定義，當自變量x 在 x0 處取得增量x（點xx0 仍在該領域內）時，相應的函數取得增量y fx x0 f x0 ；如果y與x 之比x0 時的極限存在，則稱函數yf x在點 x0 處可導，并稱這個極限為函數 yfx