高三舊人教版物理一輪復(fù)習(xí)教案5機(jī)械能

1、第五章 機(jī)械能一、功和功率1.功 功是力的空間積累效應(yīng)。它和位移相對應(yīng)（也和時間相對應(yīng)）。計(jì)算功的方法有兩種：按照定義求功。即：W=Fscos。 在高中階段，這種方法只適用于恒力做功。當(dāng)時F做正功，當(dāng)時F不做功，當(dāng)時F做負(fù)功。 這種方法也可以說成是：功等于恒力和沿該恒力方向上的位移的乘積。用動能定理W=Ek或功能關(guān)系求功。當(dāng)F為變力時，高中階段往往考慮用這種方法求功。這里求得的功是該過程中外力對物體做的總功（或者說是合外力做的功）。 這種方法的依據(jù)是：做功的過程就是能量轉(zhuǎn)化的過程，功是能的轉(zhuǎn)化的量度。如果知道某一過程中能量轉(zhuǎn)化的數(shù)值，那么也就知道了該過程中對應(yīng)的功的數(shù)值。LmF例1. 如圖所示

2、，質(zhì)量為m的小球用長L的細(xì)線懸掛而靜止在豎直位置。在下列三種情況下，分別用水平拉力F將小球拉到細(xì)線與豎直方向成角的位置。在此過程中，拉力F做的功各是多少？用F緩慢地拉；F為恒力；若F為恒力，而且拉到該位置時小球的速度剛好為零?？晒┻x擇的答案有A. B. C. D.解：若用F緩慢地拉，則顯然F為變力，只能用動能定理求解。F做的功等于該過程克服重力做的功。選D若F為恒力，則可以直接按定義求功。選B若F為恒力，而且拉到該位置時小球的速度剛好為零，那么按定義直接求功和按動能定理求功都是正確的。選B、D2 在第三種情況下，由=，可以得到，可見在擺角為 時小球的速度最大。實(shí)際上，因?yàn)镕與mg的合力也是恒力

3、，而繩的拉力始終不做功，所以其效果相當(dāng)于一個擺，我們可以把這樣的裝置叫做“歪擺”。一對作用力和反作用力在同一段時間內(nèi)做的總功可能為正、可能為負(fù)、也可能為零。一對互為作用反作用的摩擦力做的總功可能為零（靜摩擦力）、可能為負(fù)（滑動摩擦力），但不可能為正。3.功率 功率是描述做功快慢的物理量。功率的定義式：，所求出的功率是時間t內(nèi)的平均功率。功率的計(jì)算式：P=Fvcos，其中是力與速度間的夾角。該公式有兩種用法：求某一時刻的瞬時功率。這時F是該時刻的作用力大小，v取瞬時值，對應(yīng)的P為F在該時刻的瞬時功率；當(dāng)v為某段位移（時間）內(nèi)的平均速度時，則要求這段位移（時間）內(nèi)F必須為恒力，對應(yīng)的P為F在該段時

4、間內(nèi)的平均功率。重力的功率可表示為PG=mgvy，即重力的瞬時功率等于重力和物體在該時刻的豎直分速度之積。vafF汽車的兩種加速問題。當(dāng)汽車從靜止開始沿水平面加速運(yùn)動時，有兩種不同的加速過程，但分析時采用的基本公式都是P=Fv和F-f = ma恒定功率的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，隨著v的增大，F(xiàn)必將減小，a也必將減小，汽車做加速度不斷減小的加速運(yùn)動，直到F=f，a=0，這時v達(dá)到最大值。可見恒定功率的加速一定不是勻加速。這種加速過程發(fā)動機(jī)做的功只能用W=Pt計(jì)算，不能用W=Fs計(jì)算（因?yàn)镕為變力）。恒定牽引力的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定

5、，汽車做勻加速運(yùn)動，而隨著v的增大，P也將不斷增大，直到P達(dá)到額定功率Pm，功率不能再增大了。這時勻加速運(yùn)動結(jié)束，其最大速度為，此后汽車要想繼續(xù)加速就只能做恒定功率的變加速運(yùn)動了?？梢姾愣恳Φ募铀贂r功率一定不恒定。這種加速過程發(fā)動機(jī)做的功只能用W=Fs計(jì)算，不能用W=Pt計(jì)算（因?yàn)镻為變功率）。 要注意兩種加速運(yùn)動過程的最大速度的區(qū)別。例2. 質(zhì)量為2t的農(nóng)用汽車，發(fā)動機(jī)額定功率為30kW，汽車在水平路面行駛時能達(dá)到的最大時速為54km/h。若汽車以額定功率從靜止開始加速，當(dāng)其速度達(dá)到v=36km/h時的瞬時加速度是多大？ 解：汽車在水平路面行駛達(dá)到最大速度時牽引力F等于阻力f，即Pm=f

6、vm，而速度為v時的牽引力F=Pm/v，再利用F-f=ma，可以求得這時的a=/s2二、動能定理合外力做的功等于物體動能的變化。（這里的合外力指物體受到的所有外力的合力，包括重力）。表達(dá)式為W=EK動能定理也可以表述為：外力對物體做的總功等于物體動能的變化。實(shí)際應(yīng)用時，后一種表述比較好操作。不必求合力，特別是在全過程的各個階段受力有變化的情況下，只要把各個力在各個階段所做的功都按照代數(shù)和加起來，就可以得到總功。和動量定理一樣，動能定理也建立起過程量（功）和狀態(tài)量（動能）間的聯(lián)系。這樣，無論求合外力做的功還是求物體動能的變化，就都有了兩個可供選擇的途徑。和動量定理不同的是：功和動能都是標(biāo)量，動能

7、定理表達(dá)式是一個標(biāo)量式，不能在某一個方向上應(yīng)用動能定理。確定研究對象和研究過程。和動量定理不同，動能定理的研究對象只能是單個物體，如果是系統(tǒng)，那么系統(tǒng)內(nèi)的物體間不能有相對運(yùn)動。（原因是：系統(tǒng)內(nèi)所有內(nèi)力的總沖量一定是零，而系統(tǒng)內(nèi)所有內(nèi)力做的總功不一定是零）。對研究對象進(jìn)行受力分析。（研究對象以外的物體施于研究對象的力都要分析，含重力）。寫出該過程中合外力做的功，或分別寫出各個力做的功（注意功的正負(fù)）。如果研究過程中物體受力情況有變化，要分別寫出該力在各個階段做的功。寫出物體的初、末動能。按照動能定理列式求解。例3. 如圖所示，斜面傾角為，長為L，AB段光滑，BC段粗糙，且BC=2 AB。質(zhì)量為m

8、的木塊從斜面頂端無初速下滑，到達(dá)C端時速度剛好減小到零。求物體和斜面BC段間的動摩擦因數(shù)。CBA解：以木塊為對象，在下滑全過程中用動能定理：重力做的功為mgLsin，摩擦力做的功為，支持力不做功。初、末動能均為零。mgLsin=0， 從本例題可以看出，由于用動能定理列方程時不牽扯過程中不同階段的加速度，所以比用牛頓定律和運(yùn)動學(xué)方程解題簡潔得多。vv /fGGf例4. 將小球以初速度v0豎直上拋，在不計(jì)空氣阻力的理想狀況下，小球?qū)⑸仙侥骋蛔畲蟾叨取Ｓ捎谟锌諝庾枇?，小球?qū)嶋H上升的最大高度只有該理想高度的80%。設(shè)空氣阻力大小恒定，求小球落回拋出點(diǎn)時的速度大小v。解：有空氣阻力和無空氣阻力兩種情況

9、下分別在上升過程對小球用動能定理： 和，可得H=v02/2g，再以小球?yàn)閷ο?，在有空氣阻力的情況下對上升和下落的全過程用動能定理。全過程重力做的功為零，所以有：，解得 從本題可以看出：根據(jù)題意靈活地選取研究過程可以使問題變得簡單。有時取全過程簡單；有時則取某一階段簡單。原則是盡量使做功的力減少，各個力的功計(jì)算方便；或使初、末動能等于零。Lhs例5. 質(zhì)量為M的木塊放在水平臺面上，臺面比水平地面高出h=0m，木塊離臺的右端L=。質(zhì)量為m=0M的子彈以v0=180m/s的速度水平射向木塊，并以v=90m/s的速度水平射出，木塊落到水平地面時的落地點(diǎn)到臺面右端的水平距離為s=，求木塊與臺面間的動摩擦

10、因數(shù)為。解：本題的物理過程可以分為三個階段，在其中兩個階段中有機(jī)械能損失：子彈射穿木塊階段和木塊在臺面上滑行階段。所以本題必須分三個階段列方程：子彈射穿木塊階段，對系統(tǒng)用動量守恒，設(shè)木塊末速度為v1，mv0= mv+Mv1木塊在臺面上滑行階段對木塊用動能定理，設(shè)木塊離開臺面時的速度為v2， 有：木塊離開臺面后的平拋階段，由、可得0 從本題應(yīng)引起注意的是：凡是有機(jī)械能損失的過程，都應(yīng)該分段處理。從本題還應(yīng)引起注意的是：不要對系統(tǒng)用動能定理。在子彈穿過木塊階段，子彈和木塊間的一對摩擦力做的總功為負(fù)功。如果對系統(tǒng)在全過程用動能定理，就會把這個負(fù)功漏掉。ABCDGGNN例6. 如圖所示，小球以大小為v

11、0的初速度由A端向右運(yùn)動，到B端時的速度減小為vB；若以同樣大小的初速度由B端向左運(yùn)動，到A端時的速度減小為vA。已知小球運(yùn)動過程中始終未離開該粗糙軌道。比較vA 、vB的大小，結(jié)論是 A.vA>vB B.vA=vB C.vA<vB解：小球向右通過凹槽C時的速率比向左通過凹槽C時的速率大，由向心力方程可知，對應(yīng)的彈力N一定大，滑動摩擦力也大，克服阻力做的功多；又小球向右通過凸起D時的速率比向左通過凸起D時的速率小，由向心力方程可知，對應(yīng)的彈力N一定大，滑動摩擦力也大，克服阻力做的功多。所以小球向右運(yùn)動全過程克服阻力做功多，動能損失多，末動能小，選A。三、機(jī)械能守恒定律1.機(jī)械能守恒

12、定律的兩種表述在只有重力做功的情形下，物體的動能和重力勢能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變。如果沒有摩擦和介質(zhì)阻力，物體只發(fā)生動能和重力勢能的相互轉(zhuǎn)化時，機(jī)械能的總量保持不變。 對機(jī)械能守恒定律的理解： 機(jī)械能守恒定律的研究對象一定是系統(tǒng)，至少包括地球在內(nèi)。通常我們說“小球的機(jī)械能守恒”其實(shí)一定也就包括地球在內(nèi)，因?yàn)橹亓菽芫褪切∏蚝偷厍蛩灿械摹Ａ硗庑∏虻膭幽苤兴玫膙，也是相對于地面的速度。 當(dāng)研究對象（除地球以外）只有一個物體時，往往根據(jù)是否“只有重力做功”來判定機(jī)械能是否守恒；當(dāng)研究對象（除地球以外）由多個物體組成時，往往根據(jù)是否“沒有摩擦和介質(zhì)阻力”來判定機(jī)械能是否守恒。 “只有

13、重力做功”不等于“只受重力作用”。在該過程中，物體可以受其它力的作用，只要這些力不做功，或所做功的代數(shù)和為零，就可以認(rèn)為是“只有重力做功”。2.機(jī)械能守恒定律的各種表達(dá)形式，即； 用時，需要規(guī)定重力勢能的參考平面。用時則不必規(guī)定重力勢能的參考平面，因?yàn)橹亓菽艿母淖兞颗c參考平面的選取沒有關(guān)系。尤其是用E增=E減，只要把增加的機(jī)械能和減少的機(jī)械能都寫出來，方程自然就列出來了。3.解題步驟確定研究對象和研究過程。判斷機(jī)械能是否守恒。選定一種表達(dá)式，列式求解。4.應(yīng)用舉例例7. 如圖物塊和斜面都是光滑的，物塊從靜止沿斜面下滑過程中，物塊機(jī)械能是否守恒？系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒？Ns解：以物塊和斜面系統(tǒng)為研

14、究對象，很明顯物塊下滑過程中系統(tǒng)不受摩擦和介質(zhì)阻力，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒。又由水平方向系統(tǒng)動量守恒可以得知：斜面將向左運(yùn)動，即斜面的機(jī)械能將增大，故物塊的機(jī)械能一定將減少。有些同學(xué)一看本題說的是光滑斜面，容易錯認(rèn)為物塊本身機(jī)械能就守恒。這里要提醒兩條：由于斜面本身要向左滑動，所以斜面對物塊的彈力N和物塊的實(shí)際位移s的方向已經(jīng)不再垂直，彈力要對物塊做負(fù)功，對物塊來說已經(jīng)不再滿足“只有重力做功”的條件。由于水平方向系統(tǒng)動量守恒，斜面一定會向右運(yùn)動，其動能也只能是由物塊的機(jī)械能轉(zhuǎn)移而來，所以物塊的機(jī)械能必然減少。ABO例8. 如圖所示，質(zhì)量分別為2 m和3m的兩個小球固定在一根直角尺的兩端A、B，直角尺

15、的頂點(diǎn)O處有光滑的固定轉(zhuǎn)動軸。AO、BO的長分別為2L和L。開始時直角尺的AO部分處于水平位置而B在O的正下方。讓該系統(tǒng)由靜止開始自由轉(zhuǎn)動，求：當(dāng)A到達(dá)最低點(diǎn)時，A小球的速度大小v； B球能上升的最大高度h；開始轉(zhuǎn)動后B球可能達(dá)到的最大速度vm。解：以直角尺和兩小球組成的系統(tǒng)為對象，由于轉(zhuǎn)動過程不受摩擦和介質(zhì)阻力，所以該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。過程中A的重力勢能減少， A、B的動能和B的重力勢能增加，A的即時速度總是B的2倍。，解得B球不可能到達(dá)O的正上方，它到達(dá)最大高度時速度一定為零，設(shè)該位置比OA豎直位置向左偏了角。2mg2Lcos=3mgL(1+sin)，此式可化簡為4cos-3sin=3，利

16、用三角公式可解得sin(53°-)=sin37°，=16°B球速度最大時就是系統(tǒng)動能最大時，而系統(tǒng)動能增大等于系統(tǒng)重力做的功WG。設(shè)OA從開始轉(zhuǎn)過角時B球速度最大，=2mg2Lsin-3mgL(1-cos)ABOv1v1/2OABBOA=mgL(4sin+3cos-3)2mgL，解得 本題如果用EP+EK= EP/+EK/這種表達(dá)形式，就需要規(guī)定重力勢能的參考平面，顯然比較煩瑣。用E增=E減就要簡潔得多。K例9. 如圖所示，粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有總長為4L的水。開始時閥門K閉合，左右支管內(nèi)水面高度差為L。打開閥門K后，左右水面剛好相平時左管液面的速度是多大？（管的

17、內(nèi)部橫截面很小，摩擦阻力忽略不計(jì)）解：由于不考慮摩擦阻力，故整個水柱的機(jī)械能守恒。從初始狀態(tài)到左右支管水面相平為止，相當(dāng)于有長L/2的水柱由左管移到右管。系統(tǒng)的重力勢能減少，動能增加。該過程中，整個水柱勢能的減少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力勢能的減少。不妨設(shè)水柱總質(zhì)量為8m，則，得。 本題在應(yīng)用機(jī)械能守恒定律時仍然是用E增 =E減 建立方程，在計(jì)算系統(tǒng)重力勢能變化時用了等效方法。需要注意的是：研究對象仍然是整個水柱，到兩個支管水面相平時，整個水柱中的每一小部分的速率都是相同的。四、功能關(guān)系做功的過程是能量轉(zhuǎn)化的過程，功是能的轉(zhuǎn)化的量度。 能量守恒和轉(zhuǎn)化定律是自然界最基本的定律之一。而在

18、不同形式的能量發(fā)生相互轉(zhuǎn)化的過程中，功扮演著重要的角色。本章的主要定理、定律都是由這個基本原理出發(fā)而得到的。需要強(qiáng)調(diào)的是：功是一種過程量，它和一段位移（一段時間）相對應(yīng)；而能是一種狀態(tài)量，它個一個時刻相對應(yīng)。兩者的單位是相同的（都是J），但不能說功就是能，也不能說“功變成了能”。 復(fù)習(xí)本章時的一個重要課題是要研究功和能的關(guān)系，尤其是功和機(jī)械能的關(guān)系。突出：“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”這一基本概念。物體動能的增量由外力做的總功來量度：W外=Ek，這就是動能定理。物體重力勢能的增量由重力做的功來量度：WG= -EP，這就是勢能定理。物體機(jī)械能的增量由重力以外的其他力做的功來量度：W其=E機(jī)，（W其表示除

19、重力以外的其它力做的功），這就是機(jī)械能定理。當(dāng)W其=0時，說明只有重力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。一對互為作用力反作用力的摩擦力做的總功，用來量度該過程系統(tǒng)由于摩擦而減小的機(jī)械能，也就是系統(tǒng)增加的內(nèi)能。f d=Q（d為這兩個物體間相對移動的路程）。FGva例10. 質(zhì)量為m的物體在豎直向上的恒力F作用下減速上升了H，在這個過程中，下列說法中正確的有A.物體的重力勢能增加了mgH B.物體的動能減少了FHC.物體的機(jī)械能增加了FH D.物體重力勢能的增加小于動能的減少解：由以上三個定理不難得出正確答案是A、CABCD例11. 如圖所示，一根輕彈簧下端固定，豎立在水平面上。其正上方A位置有一只小球

20、。小球從靜止開始下落，在B位置接觸彈簧的上端，在C位置小球所受彈力大小等于重力，在D位置小球速度減小到零。小球下降階段下列說法中正確的是B位置小球動能最大C位置小球動能最大AC位置小球重力勢能的減少大于小球動能的增加AD位置小球重力勢能的減少等于彈簧彈性勢能的增加解：小球動能的增加用合外力做功來量度，AC小球受的合力一直向下，對小球做正功，使動能增加；CD小球受的合力一直向上，對小球做負(fù)功，使動能減小，所以B正確。從AC小球重力勢能的減少等于小球動能的增加和彈性勢能之和，所以C正確。A、D兩位置動能均為零，重力做的正功等于彈力做的負(fù)功，所以D正確。選B、C、D。五、綜合練習(xí) 我們已經(jīng)復(fù)習(xí)了牛頓

21、定律、動量定理和動量守恒、動能定理和機(jī)械能守恒。它們分別反映了力的瞬時作用效應(yīng)、力的時間積累效應(yīng)和力的空間積累效應(yīng)。解決力學(xué)問題離不開這三種解題思路。在比較復(fù)雜的題目中，這三種手段往往是交替使用的。下面舉幾個例題說明這一點(diǎn)。a b c例12. 如圖所示，a、b、c三個相同的小球，a從光滑斜面頂端由靜止開始自由下滑，同時b、c從同一高度分別開始自由下落和平拋。下列說法正確的有A.它們同時到達(dá)同一水平面 B.重力對它們的沖量相同C.它們的末動能相同 D.它們動量變化的大小相同解：b、c飛行時間相同（都是）；a與b比較，兩者平均速度大小相同（末動能相同）；但顯然a的位移大，所以用的時間長，因此A、B

22、都不對。由于機(jī)械能守恒，c的機(jī)械能最大（有初動能），到地面時末動能也大，因此C也不對。a、b的初動量都是零，末動量大小又相同，所以動量變化大小相同；b、c所受沖量相同，所以動量變化大小也相同，故D正確。 這道題看似簡單，實(shí)際上考察了平均速度、功、沖量等很多知識。另外，在比較中以b為中介：a、b的初、末動能相同，平均速度大小相同，但重力作用時間不同；b、c飛行時間相同（都等于自由落體時間），但初動能不同。本題如果去掉b球可能更難做一些。例13. 質(zhì)量為m的汽車在平直公路上以速度v勻速行駛，發(fā)動機(jī)實(shí)際功率為P。若司機(jī)突然減小油門使實(shí)際功率減為并保持下去，汽車所受阻力不變，則減小油門瞬間汽車加速度大

23、小是多少？以后汽車將怎樣運(yùn)動？解：由公式F- f=ma和P=Fv，原來牽引力F等于阻力f，減小油門瞬間v未變，由P=Fv，F(xiàn)將減半，合力變?yōu)椋较蚝退俣确较蛳喾?，加速度大小為；以后汽車做恒定功率的減速運(yùn)動，F(xiàn)又逐漸增大，當(dāng)增大到F=f時，a=0，速度減到最小為v/2，再以后一直做勻速運(yùn)動。 這道題是恒定功率減速的問題，和恒定功率加速的思路是完全相同的。AB例14. 質(zhì)量為M的小車A左端固定一根輕彈簧，車靜止在光滑水平面上，一質(zhì)量為m的小物塊B從右端以速度v0沖上小車并壓縮彈簧，然后又被彈回，回到車右端時剛好與車保持相對靜止。求這過程彈簧的最大彈性勢能EP和全過程系統(tǒng)摩擦生熱Q各多少？簡述B相對

24、于車向右返回過程中小車的速度變化情況。解：全過程系統(tǒng)動量守恒，小物塊在車左端和回到車右端兩個時刻，系統(tǒng)的速度是相同的，都滿足：mv0=(m+M)v；第二階段初、末系統(tǒng)動能相同，說明小物塊從車左端返回車右端過程中彈性勢能的減小恰好等于系統(tǒng)內(nèi)能的增加，即彈簧的最大彈性勢能EP恰好等于返回過程的摩擦生熱，而往、返兩個過程中摩擦生熱是相同的，所以EP是全過程摩擦生熱Q的一半。又因?yàn)槿^程系統(tǒng)的動能損失應(yīng)該等于系統(tǒng)因摩擦而增加的內(nèi)能，所以EK=Q=2EP 而， ABF f至于B相對于車向右返回過程中小車的速度變化，則應(yīng)該用牛頓運(yùn)動定律來分析：剛開始向右返回時刻，彈簧對B的彈力一定大于滑動摩擦力，根據(jù)牛頓

25、第三定律，小車受的彈力F也一定大于摩擦力f，小車向左加速運(yùn)動；彈力逐漸減小而摩擦力大小不變，所以到某一時刻彈力和摩擦力大小相等，這時小車速度最大；以后彈力將小于摩擦力，小車受的合外力向右，開始做減速運(yùn)動；B脫離彈簧后，小車在水平方向只受摩擦力，繼續(xù)減速，直到和B具有向左的共同速度，并保持勻速運(yùn)動。例15. 海岸炮將炮彈水平射出。炮身質(zhì)量（不含炮彈）為M，每顆炮彈質(zhì)量為m。當(dāng)炮身固定時，炮彈水平射程為s，那么當(dāng)炮身不固定時，發(fā)射同樣的炮彈，水平射程將是多少？解：兩次發(fā)射轉(zhuǎn)化為動能的化學(xué)能E是相同的。第一次化學(xué)能全部轉(zhuǎn)化為炮彈的動能；第二次化學(xué)能轉(zhuǎn)化為炮彈和炮身的動能，而炮彈和炮身水平動量守恒，由

26、動能和動量的關(guān)系式知，在動量大小相同的情況下，物體的動能和質(zhì)量成反比，炮彈的動能，由于平拋的射高相等，兩次射程的比等于拋出時初速度之比， 這是典型的把動量和能量結(jié)合起來應(yīng)用的應(yīng)用題。要熟練掌握一個物體的動能和它的動量大小的關(guān)系；要善于從能量守恒的觀點(diǎn)（本題是系統(tǒng)機(jī)械能增量相同）來分析問題。ABCv2v例16. 質(zhì)量為m的長木板A靜止在光滑水平面上，另兩個質(zhì)量也是m的鐵塊B、C同時從A的左右兩端滑上A的上表面，初速度大小分別為v和2v，B、C與A間的動摩擦因數(shù)均為。試分析B、C滑上長木板A后，A的運(yùn)動狀態(tài)如何變化？為使B、C不相撞，A木板至少多長？解：B、C都相對于A滑動時，A所受合力為零，保持

27、靜止。這段時間為。B剛好相對于A 靜止時，C的速度為v，A開向左做勻加速運(yùn)動，由動量守恒可求出A、B、C最終的共同速度，這段加速經(jīng)歷的時間為，最終A將以做勻速運(yùn)動。 全過程系統(tǒng)動能的損失都將轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能，而摩擦生熱，由能量守恒定律列式：。這就是A木板應(yīng)該具有的最小長度。Mmv 本題還可以求系統(tǒng)機(jī)械能損失（摩擦生熱）和B、C與A摩擦生熱之比：第一階段B對A的位移就是對地的位移：sB=v2/2g，C的平均速度是其3倍因此C對A的位移是其3倍：sC=3v2/2g；第二階段A、B共同向左運(yùn)動的加速度是g/2，對地位移是s=v2/9g，C平均速度是其4倍，對地位移是s/= 4v2/9g，相對于A位移是v2/3g，故B、C與A間的相對位移大小依次是d