提公因式法基礎知識講解

1、提公因式法(基礎)【學習目標】1. 了解因式分解的意義，以及它與整式乘法的關系；2. 能確定多項式各項的公因式，會用提公因式法將多項式分解因式 【要點梳理】要點一、因式分解把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式要點詮釋：(1 )因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體， 而不是部分，因式分解的結果只能是整式的積的形式(2) 要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止(3) 因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算要點二、公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就

2、叫做公因式要點詮釋：(1 )公因式必須是每一項中都含有的因式(2) 公因式可以是一個數，也可以是一個字母，還可以是一個多項式(3) 公因式的確定分為數字系數和字母兩部分：公因式的系數是各項系數的最大公約數字母是各項中相同的字母， 指數取各字母指數最低的要點三、提公因式法把多項式，分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是 7 I，即:;/ .；，而匚.，正好是記二- 一“二除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法.要點詮釋：(1)提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律,即懶住十施h +決亡二戰(zhàn)，(a + b +c).(2) 用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多

3、項式各項的公因式.(3) 當多項式第一項的系數是負數時，通常先提出“一”號，使括號內的第一項的系數變?yōu)檎龜?，同時多項式的各項都要變號.(4) 用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸? 1”或“1 ”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現錯誤【典型例題】類型一、因式分解的概念1、觀察下列從左到右的變形： 6a3b32a2b3ab2 ；mambc m ab c 6x2 12xy 6y226 x y ；3a2b3a 2b9a2 4b其中是因式分解的有 (填序號)【思路點撥】根據因式分解的定義是將多項式形式變成幾個整式的積的形式，從對象和結果兩方面去

4、判斷.【答案】(3).【解析】解： (1) 的左邊不是多項式而是一個單項式，(2) (4)的右邊都不是積的形式，所以它們都不是因式分解；只有 (3)的左邊是多項式，右邊是整式的積的形式，所以只有(3)是因式分解【總結升華】 因式分解是將多項式變成積的形式， 所以等式的左邊必須是多項式， 將單項式拆成幾個單項式乘積的形式不能稱為因式分解等式的右邊必須是整式因式積的形式舉一反三：【變式】(2014?海南)下列式子從左到右變形是因式分解的是()+4a - 21=a (a+4)-21+4a- 21=( a- 3)( a+7)2+4a- 21=( a+2)- 252C.( a- 3)( a+7) =a

5、+4a- 21 【答案】 B.類型二、提公因式法分解因式22、(1)多項式 3x2 6xy 3 的公因式是(2) 多項式 4mn3 16m2 8m 的公因式是 ；(3) 多項式 x(b c a) y(b c a) (a b c) 的公因式是 ；(4) 多項式 2(x 3) x(3 x) 的公因式是 【答案】 (1)3(2)4(3)b c a (4)【解析】 解：先確定系數部分的公因式，再確定字母部分的公因式(1 )的公因式就是 3、6、3 的最大公約數，最后的一項中不含字母，所以公因式中也不 含字母公因式為 3.(2) 公因式的系數是 4、16、8 的最大公約數，字母部分是公因式為4.(3)

6、公因式是( b c a )，為一個多項式因式(4) 多項式可變形 2 x 3 x x 3 ，其公因式是【總結升華】 確定公因式一定要從系數、字母及指數三方面入手，公因式可以是一個數， 也 可以是一個單項式，還可以是一個多項式，互為相反數的因式可變形為公因式舉一反三：【變式】下列多項式中，能用提公因式法分解因式的是( )222A xyB x2xC x yD xxy y【答案】B；2323、若pqqpqp E，則E是()A1qpBC 1 p qD 1 q p答案】 C；解析】解：2pq3qp2q p 1 p q 故選 C總結升華】 觀察等式的右邊，提取的是2q p ，故可把22p q 變成 q p

7、 ，即左邊2=q p 1 p q 注意偶次幕時，交換被減數和減數的位置，值不變；奇次幕時，交 換被減數和減數的位置，應加上負號舉一反三：【變式】把多項式 m 1 m 1 m 1 提取公因式 m 1 后，余下的部分是( )ABC. 2D【答案】 D；解： m 1 m1m 1 ，=m 1 m1 1 ，=m 1 m24、(2015春？新沂市期中)分解因式：3x (a- b)- 6y ( b-a).【思路點撥】 將原式變形后，提取公因式即可得到結果【答案與解析】解：原式 =3x(a- b) +6y(a- b) =3(a- b)(x+2y)【總結升華】 此題考查了因式分解-提公因式法， 熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關 鍵舉一反三：【變式】用提公因式法分解因式正確的是()222A. 12abc 9a2b2c23abc 43abB. 3x2y3xy 6y3y2xx 2yC. a2ab acaabcD. x2y5xy y2 yx5x【答案】 C；解： A. 1 2abc 9a2b2c2 3abc 4 3abc ，故本選項錯誤；22B.3x2 y 3xy 6y 3y x2 x 2 ，故本選項錯誤；C. a2ab ac a a b c ，正確；2D. x y25xy y y x2 5x 1 ，故本選項錯誤類型三、提公因式法分解因式的應用2 3 25、若 x 3x 20，求 2x 6