導(dǎo)數(shù)含參數(shù)取值范圍分類討論題型總結(jié)與方法歸納

1、共享知識分享快樂導(dǎo)數(shù)習(xí)題題型十七： 含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的 分類討論問題含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的分類討論問題1求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)的解析式含有參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為零有實根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式） , 導(dǎo)函數(shù)為零的實根中有參數(shù)也落在定義域內(nèi)，但不知這些實根的大小關(guān)系，從而引起討論。 已知函數(shù) f (x)1x31(a2)x22ax （a0） , 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間32f (x)x(a2) x2a( xa)( x2) 例 1 已知函數(shù)f ( x)x2a(a2)ln x （ a0）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間xf (x)x2(a2)x2a( x2)( x a)x2x2 例 3 已知函數(shù)2axa21，其中 a R 。f x1x Rx2（）

2、當(dāng) a1時，求曲線 yfx 在點 2, f 2處的切線方程；（）當(dāng) a0 時，求函數(shù)fx 的單調(diào)區(qū)間與極值。解：（）當(dāng) a1 時，曲線 yfx在點 2, f2處的切線方程為6x25 y 32 0。（）由于 a0 ，所以 fx2a(x 21)2, 由 f x0 ，得 x11 , x2 a 。這兩個實根都在定x 21a2a x212x2axa212axax1f ax義域 R 內(nèi)，但不知它們之間x22x2121的大小。因此，需對參數(shù)a 的取值分 a0 和 a0 兩種情況進行討論。(1)當(dāng) a0 時，則 x1x2 。易得 fx在區(qū)間,1， a,內(nèi)為減函數(shù)，a在區(qū)間1,a為增函數(shù)。故函數(shù)fx 在 x11

3、處取得極小值f1a2 ；aaa函數(shù) fx 在 x2a 處取得極大值fa1 。（ 1）當(dāng) a0 時，則 x1x2 。易得 fx 在區(qū)間 (, a) ， (1 ,) 內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間a( a, 1) 為減函數(shù)。故函數(shù)fx 在 x11處取得極小值f1a2 ；函數(shù)f x 在aaax2 a 處取得極大值fa1。以上三點即為含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的三個基本討論點，在求解有關(guān)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題時，可按上述三點卑微如螻蟻、堅強似大象共享知識分享快樂的順序?qū)?shù)進行討論。因此，對含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題的討論，還是有一定的規(guī)律可循的。當(dāng)然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點或三點，這時的討論就更復(fù)雜一些了，需要靈活把握。 (

4、區(qū)間確定零點不確定的典例)例 4某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3 元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a 元（ 3 a 5）的管理費，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x 元（ 9x 11）時，一年的銷售量為（ 12- x）2 萬件 .（ 1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x 的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L 最大，并求出L 的最大值 Q（ a） .解（ 1）分公司一年的利潤L（萬元）與售價 x 的函數(shù)關(guān)系式為： L=(x-3-a)(12-x)2 9,11 .,x(2)L (x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-

5、3x).L (x)令 L=0 得 x=6+ 2 a 或 x=12（不合題意，舍去）x 182a.33X=12 3 a 5, 86+2a28.yL (x)3 3在 x=6+ 2 a 兩側(cè) L的值由正變負(fù) .3912x8 6+ 2 a 9 即 3 a 90所以當(dāng)時，32L max=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).當(dāng) 9 6+ 2 a 28 即 9 a 5 時，3329(6a),3a92221,L=L(6+a)=(6+a-3-a) 12-(6+232a) =4(3-a) . 所以 Q(a)=max33331 a)3 ,94(3a5.32答若 3 a 9 ，則當(dāng)每件售價為9 元時

6、，分公司一年的利潤L 最大，最大值Q（ a） =9(6-a) （萬元）；2若 9 a 5，則當(dāng)每件售價為(6+2 a) 元時，分公司一年的利潤L 最大，最大值 Q(a)=4（ 3- 1 a）3( 萬元 ).233（導(dǎo)函數(shù)零點確定，但區(qū)間端點不確定引起討論的典例）例 2、已知 f xx ln x, g xx 3ax 2x2( ). 求函數(shù) fx的單調(diào)區(qū)間 ;( ). 求函數(shù) fx在 t ,t2t0上的最小值 ;( ) 對一切的 x0, 2fxg x2恒成立 , 求實數(shù) a 的取值范圍 .解： ( ) f ( x)ln x1, 令 f x0,解得 0x1 ,f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是0, 1;ee令

7、 f x0, 解得 x1, f ( x)的單調(diào)遞增是（e，），e( )( )0tt+21 ，t 無解； ( )0t 1t+2 ，即 0t0） , 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2f (x)ax2x(1a)( x1)(ax1 a)xx 例 3已知 a 是實數(shù)，函數(shù)fxx xa（）求函數(shù)fx 的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè) g a 為 fx 在區(qū)間0,2 上的最小值。（ i ）寫出 g a 的表達式；（ ii ）求 a 的取值范圍，使得6g a2 。3axa3xx解：（）函數(shù)的定義域為 0,， fxa30(x) 0xx2xx，由 f22 x卑微如螻蟻、堅強似大象共享知識分享快樂得 xa 。考慮a 是否落在導(dǎo)函數(shù)f (x)

8、的定義域0,內(nèi)，需對參數(shù) a 的取值分 a0及 a0 兩33種情況進行討論。（ 1）當(dāng) a0時，則 f ( x)0在 0,上恒成立，所以f x的單調(diào)遞增區(qū)間為0,。（ 2）當(dāng) a0時，由 f ( x)0，得 xa ；由 f ( x)0，得 0xa 。33因此，當(dāng) a 0 時， fx的單調(diào)遞減區(qū)間為0, a， fx 的單調(diào)遞增區(qū)間為a ,。33（）（ i ）由第（）問的結(jié)論可知：（ 1）當(dāng)a0時， fx在 0,上單調(diào)遞增，從而 fx 在0,2上單調(diào)遞增，所以gaf 00 。（ 2）當(dāng) a0時， fx在 0, a上單調(diào)遞減，在a ,上單調(diào)遞增，所以：33 當(dāng) a0, 2，即 0a6 時， fx 在

9、 0, a上單調(diào)遞減，在a ,2上單調(diào)遞增，333所以 g aa2aa2a3af33。39 當(dāng) a2,，即 a6 時， fx 在0,2 上單調(diào)遞減，所以gaf 22 2 a 。30,a0ga2aa ,0a6綜上所述，332 2a , a 6（ ii ）令6 g a2 。若 a0 ，無解；若 0 a 6 ，由2aa6 ；62 解得 3 a33 若 a6，由 62 2a2 解得 6 a 2 3 2 。綜上所述， a 的取值范圍為 3a23 2 。三 . 求導(dǎo)后，因?qū)Ш瘮?shù)為零是否有實根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能否分解因式）不確定，而引起的討論。卑微如螻蟻、堅強似大象共享知識分享快樂 例 1 已知函數(shù) f (

10、x)1 ax2x 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2f ( x) ax 1 例 2 已知函數(shù) f ( x)ln xax 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1af (x)ax1f ( x)xx設(shè) k1, x 1例3R ，函數(shù) f (x) 1 x, F ( x) f ( x) kx, x R ，x1, x 1試討論函數(shù)F ( x) 的單調(diào)性。1解： f (x)1, x 1, F (x)f ( x)kx, xRxx1, x11k 121x, x1kx, x 1,1x2F (x)f ( x) kx1 x, F ( x)。x1kx, x 112kx112x1, x考慮導(dǎo)函數(shù) F ( x)0 是否有實根，從而需要對參數(shù)k 的取值進行討論。

11、1k 1x2。由于當(dāng) k00 無實根，而當(dāng) k0 時，F(xiàn) ( x) 0（一）若 x 1，則 F (x)1x2時，F(xiàn) ( x)有實根，因此，對參數(shù) k 分 k0 和 k0 兩種情況討論。（ 1）當(dāng) k0時， F (x)0在 (,1) 上恒成立，所以函數(shù)F ( x) 在 (,1) 上為增函數(shù)；2kx11x111k 1kk（ 2）當(dāng) k0時， F (x)x。1x21x2由 F ( x)0 ，得 x111, x211，因為 k0，所以 x11x2 。kk由 F ( x)0，得 11x1 ；由 F ( x)0 ，得 x11k。k因此，當(dāng) k0 時，函數(shù) F ( x) 在 (,11) 上為減函數(shù)，在(11

12、,1) 上為增函數(shù)。kk（二）若 x1，則 F (x)12kx 1 。由于當(dāng) k 0 時， F ( x) 0無實根，而當(dāng) k 0 時，2x1卑微如螻蟻、堅強似大象共享知識分享快樂F ( x)0 有實根，因此，對參數(shù)k 分 k0 和 k0 兩種情況討論。（ 1） 當(dāng) k0 時， F (x)0在 1,上恒成立，所以函數(shù) F (x) 在 1,上為減函數(shù)；kx1112kx12k（ 2） 當(dāng) k0 時， F ( x)。2x1x1由 F ( x)0 ，得 x112 ；由 F ( x)0，得 1x112 。4k4k因此，當(dāng) k0 時，函數(shù) F (x) 在 1,112上為減函數(shù)，在112 ,上為增函數(shù)。4k4

13、k綜上所述：（ 1）當(dāng) k0時，函數(shù) F ( x) 在 (,11) 上為減函數(shù)，在 (11,1) 上為增函數(shù)，在1,上kk為減函數(shù)。（ 2）當(dāng) k0時，函數(shù) F ( x) 在 (,1) 上為增函數(shù)，在1,上為減函數(shù)。（ 3）當(dāng) k0時，函數(shù) F (x) 在 (,1) 上為增函數(shù)，在1,11上為減函數(shù)，在11,4k24k2上為增函數(shù)。19設(shè) a 0, 討論函數(shù) f （ x） =lnx+a （ 1-a ） x2-2 （ 1-a ）x 的單調(diào)性。解：函數(shù)f ( x) 的定義域為 (0,). f(x)2a(1a) x22(1a) x1,x當(dāng) a1時 , 方程 2a(1-a)x22(1a) x10 的判

14、別式12(a1)a1 .3當(dāng) 0a10, f(x) 有兩個零點，時 ,3x11(a1)(3a 1)0, x21(a1)(3a1)2a2a(1a)2a2a(1a)（ 1）且當(dāng) 0xx1或 xx2時, f ( x)0,f ( x)在 (0, x1 )與(x2 ,) 內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng) x1 x x2時, f (x) 0, f ( x)在 (x1, x2 ) 內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng) 1a 1時 ,0, f ( x)0, 所以 f ( x)在 (0,) 內(nèi)為增函數(shù)；3當(dāng) a1時 , f ( x)10), f (x)在 (0,) 內(nèi)為增函數(shù)；0( xx卑微如螻蟻、堅強似大象共享知識分享快樂當(dāng)a1時0 ，x11(3a

15、1)(a1)1(3a1)( a1)2a2a(1a)x12a2a(1 a)2213a11a 3a 12a(a1)(3a1)1(3a 1)( a1)由12a2a(1a)4a24a 2 (1a)24a24a 2 (1a)4a2 (1 a)4a20(1 a)x11(3a1)( a1)0x11(3a1)( a1)2a2a(1 a)2a2a(10 f x 是增函數(shù)， 在 a,3a 上 fx 0 f x 是增函數(shù)。所以函數(shù)在x=a 時， f x 極大f a ，所以函數(shù)在x=a 時， fx 極小 f 3a因?qū)0,3 有 f ( x)4 恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍 . 極值點指定區(qū)間端點位置關(guān)系不確定引起

16、討論。討論如下： a0當(dāng)兩個極值點都在指定區(qū)間0,3 內(nèi)時。即 03a3，也就是 0a0 時為什么分為 0a0 fx 是增函數(shù)，在a,3a 上 fx 0 f x 是增函數(shù)。所以函數(shù)在 x=a 時， fx 極大f a ，所以函數(shù)在x=a 時， f x 極小 f 3af x maxmaxfa , f3fx minminf0 , f 3ax 0,3 有 f (x)4恒成立，0a10a 1等價于a 36a39a 340fa402754a27a240f3400a1解得 a1即 0a 1123a12399當(dāng)兩個極值點有一個在指定區(qū)間0,3內(nèi)時。即 03 時，也就是 10 時為什么分為 0a0 fx 是增函

17、數(shù)， 在 a,3 上 fx 3 時， （當(dāng) a0 時為什么分為0a0 fx 是增函數(shù)，fx maxf 3 4a3410840與 f x40矛盾。綜上：對x0,3 有 f ( x)4 恒成立時，實數(shù)a 的取值范圍是 0a123 .9例 4 設(shè)函數(shù) fxx2b lnx 1 ，其中 b0 ，求函數(shù) fx 的極值點。解：由題意可得fx 的定義域為1,， f x2xxb2x22xb ， f x的分母 x1在1x1定義域1,上恒為正，方程 2x22xb0 是否有實根，需要對參數(shù)b 的取值進行討論。（ 1）當(dāng)48b0，即 b1時，方程 2x22xb0 無實根或只有唯一根x1，所以22gx2x22xb0 ,

18、在1,上恒成立，則 f x0 在1,上恒成立，所以函數(shù)fx 在1,上單調(diào)遞增，從而函數(shù)fx在1,上無極值點。（ 2）當(dāng)48b0，即 b1時，方程 2x22xb0 ，即 f x0 有兩個不相等的實根：2x111 2b , x21 1 2b 。22這兩個根是否都在定義域1,內(nèi)呢？又需要對參數(shù)b 的取值分情況作如下討論：（）當(dāng) b0 時， x1112b1, x2112b1，所以 x11, x21,。22此時， f x與 fx 隨 x 的變化情況如下表：x1, x2x2x2 ,f x0fx遞減極小值遞增卑微如螻蟻、堅強似大象共享知識分享快樂由此表可知：當(dāng)b0 時， f x有唯一極小值點 x2112b2

19、。（）當(dāng) 0b1時， x1112b1, x2112b2221 ，所以x1, x21,。此時， f x 與 fx 隨 x 的變化情況如下表：1x1,x1x1x1 , x2x2x2 ,f x00fx遞增極大值遞減極小值遞增由此表可知：當(dāng) 0b1 時， fx有一個極大值點x111 2b 和一個極小值點22x2112b。2綜上所述：（ 1）當(dāng) b0 時， fx有唯一極小值點112bx2；（ 2）當(dāng) 0b1x 有一個極大值點 x112bx112b時， f2和一個極小值點2；2（ 3）當(dāng) b1時， fx無極值點。2從以上諸例不難看出，在對含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題的討論時，只要把握以上三個基本討論點，那么討論就有了

20、方向和切入點，即使問題較為復(fù)雜，討論起來也會得心應(yīng)手、層次分明，從而使問題迎刃而解。(19)() 小問 5 分， ( ) 小問 7 分.)已知函數(shù)f ( x)ax3x2bx ( 其中常數(shù) a,b R), g(x)f (x)f ( x) 是奇函數(shù) .( ) 求 f (x) 的表達式 ;( ) 討論 g( x) 的單調(diào)性，并求g( x) 在區(qū)間 1,2 上的最大值和最小值.卑微如螻蟻、堅強似大象共享知識分享快樂（ 21）已知函數(shù)f ( x)1aR)ln x ax1(ax1（ I ）當(dāng) a1時，求曲線 yf (x) 在點 (2, f (2) 處的切線方程；（ II）當(dāng) a時，討論 f ( x) 的單