《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程練習計算題

1、三、解答題1.設(shè)對于事件A、B、C有P(A)P(B)P(C)1/4,P(AB)P(BC)0,P(AC)1/8,求A、B、C至少出現(xiàn)一個的概率。解：由于ABCAB，從而由性質(zhì)4知，P(ABC)P(AB)0,又由概率定義知P(ABC)0,所以P(ABC)0,從而由概率的加法公式得P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)2.設(shè)有10件產(chǎn)品，其中有3件次品，從中任意抽取5件，問其中恰有2件次品的概率是多少？解：設(shè)A表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品"。則n()015)05件產(chǎn)品中恰有2件次品的取法共有C；2C3種，即n(A)C：2C3。于是所求概率為P

2、(A)n(A)/n()C；2C3/C15)35/843.一批產(chǎn)品共有10個正品2個次品，從中任取兩次，每次取一個(有放回)。求:(1)第二次取出的是次品的概率；(2)兩次都取到正品的概率；(3)第一次取到正品，第二次取到次品的概率。解：設(shè)Ai表示：“第i次取出的是正品"(i=1,2),則(1)第二次取到次品的概率為P(A1A2 A1A2)1022212 12 12 12(2)兩次都取到正品的概率為P(A1A2) P(A)P(A2 |A1)10 102512 1236(3)第一次取到正品，第二次取到次品的概率為P(A1A2)10_5_12 12364. 一批產(chǎn)品共有10個正品2個次品，

3、從中任取兩次，每次取一個(不放回)o求:(1)至少取到一個正品的概率；(2)第二次取到次品的概率；(3)恰有一次取到次品的概率。解：設(shè)Ai表示：“第i次取出的是正品" (i=1, 2),則(1)至少取到一個正品的概率21651 P(AiA2)1 P(Ai)P(A2|A) 1 -12 1166(2)第二次取到次品的概率為P(A1a A1A2) P(A)P(A2l A1) P(A1)P(A2|A1)10 _2 _2_ 1 112 11 12 11 6(3)恰有一次取到次品的概率為RA1A2 A1A2) P(A1)P(A2| A1) P(A1)P(A2|A1)10 22 10 1012 1

4、1 12 11 335. 一批產(chǎn)品共有10件正品2件次品，從中任取兩件，求：(1)兩件都是正品的概率；(2)恰有一件次品的概率；(3)至少取到一件次品的概率。解：設(shè)A表示：“取出的兩件都是正品是正品”；B表示：“取出的兩件恰有件次品”C表示：“取出的兩件至少取到一件次品”；則(1)兩件都是正品的概率P(A)C2oC221522(2)恰有一件次品的概率P(B)C10C2C221033(3)至少取到一件次品的概率P(C) 1 P(A)1 C120115C122227220.6,乙機床和丙機床需6.一工人照看三臺機床，在一小時內(nèi)，甲機床需要照看的概率是要照看的概率分別是0.5和0.8。求在一小時中,

5、(1)沒有一臺機床需要照看的概率；(2)至少有一臺機床不需要照看的概率。解：設(shè)A表示：“沒有一臺機床需要照看”；B表示：“至少有一臺機床不需要照看“；Ci表示：“第i臺機床需要照看"(i=1,2,3)。則AC1c2c3;BC1C2C3oP(A)P(CiC2C3)P(Ci)P(C2)P(C3)(1P(Ci)(1P(C2)(1P(C3)0.04P(B)P(C1C2C3)P(C1C2C3)1P(CC2c3)1 P(C1)P(C2)P(C3)0.767.在某城市中發(fā)行三種報紙A、B、C,經(jīng)調(diào)查，訂閱A報的有50%,訂閱B報的有30%,訂閱C報的有20%,同時訂閱A及B報的有10%,同時訂閱A

6、及C報的有8%,同時訂閱B及C報的有5%,同時訂閱A、B、C報的有3%,試求下列事件的概率：(1)只訂閱A及B報；(2)恰好訂閱兩種報紙。解：(1)P(ABC)P(ABC)P(ABABC)P(AB)P(ABC)0.10.030.07(2)P(ABCABCABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)0.070.020.050.148.一盒子中黑球、紅球、白球各占50%、30%、20%,從中任取一球，結(jié)果不是紅球，求：(1)取到的是白球的概率；(2)取到的是黑球的概率。解：設(shè)Ai分別表示：“取到的是黑球、紅球、白球”(i=1,2,3),則問題(1)化為求P(A3|A2)；問題(2)化為求P(A1|

7、A2)。由題意A、A2、A3兩兩互不相容，所以，(1) P(A3A2) P(A3 A2)P(A3)。因此由條件概率公式得P(A3 1A2)P(A3A2)P(A2)P(A3)0.22P(A2)1 0.3 7(2)P(A1A2)P(A1A2)P(A1)P(A1 IA2)P(A1A2)P(A2)P(A)0.55P(A2)1 0.3 79.已知工廠A、B生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為1%和2%,現(xiàn)從由A、B的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機抽取一件，求：(1)該產(chǎn)品是次品的概率；(2)若取到的是次品，那么該產(chǎn)品是B工廠的概率。解：設(shè)C表示“取到的產(chǎn)品是次品”；A“取到的產(chǎn)品是A工廠的”；B“取到的產(chǎn)品

8、是B工廠的”。則(1)取到的產(chǎn)品是次品的概率為P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)6014027100100100100500(2)若取到的是次品，那么該產(chǎn)品是B工廠的概率為P(B|C)P(BC)P(B)P(C|B)P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)40210010047750010 .有兩個口袋，甲袋中盛有4個白球，2個黑球；乙袋中盛有2個白球，4個黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再從乙袋中取出一球，求從乙袋中取出的是白球的概率。解：設(shè)A表示：“由甲袋取出的球是白球”；B表示：“由甲袋取出的球是黑球”；C表示：“從乙袋取出的球是白球”。則P(C)P(A)P(C|A)P

9、(B)P(C|B)42J22_86616612111 .設(shè)有一箱同類產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，其中1/2是第一家工廠生產(chǎn)的，其余兩家各生產(chǎn)1/4,又知第一、二、三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別有2%、4%、5%的次品，現(xiàn)從箱中任取一件產(chǎn)品，求：(1)取到的是次品的概率；(2)若已知取到的是次品，它是第一家工廠生產(chǎn)的概率。解：設(shè)事件A表示：“取到的產(chǎn)品是次品”；事件Ai表示：“取到的產(chǎn)品是第i家工廠生產(chǎn)的”(i 1, 2, 3)。則 A1 A2A3，且P(Ai) 0, A&、A3兩兩互不相容,(1)由全概率公式得312141513P網(wǎng)i1P(Ai)P(A萬麗4祕N標菽125 100 41313400

10、(2)由貝葉斯公式得P(A1)P(A|A)P(A1|A)=h1P(Aj)P(A|Aj)j140%、25%、35%,其產(chǎn)品12.三家工廠生產(chǎn)同一批產(chǎn)品，各工廠的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的的不合格率依次為0.05、0.04、和0.02?，F(xiàn)從出廠的產(chǎn)品中任取一件，求:(1)恰好取到不合格品的概率；(2)若已知取到的是不合格品，它是第二家工廠生產(chǎn)的概率。解：設(shè)事件A表示：“取到的產(chǎn)品是不合格品”；事件A表示：“取到的產(chǎn)品是第i家工廠生產(chǎn)的”(i1,2,3)。3則Ai，且P(A)0,A1、A2、A3兩兩互不相容，由全概率公式得1 13(1) P(A)P(Ai)P(A|Ai)1 1-25435 37/100010

11、0 100 100 100405100100P(A2)P(A|A2)(2)由貝葉斯公式得PA|A)=P(Aj)P(A|Aj)j10.25 0.0437 /100010/3713.有朋友遠方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機的概率分別為3/10、1/5、1/10、2/5,而乘火車、輪船、汽車、飛機遲到的概率分別為1/4、1/3、1/12、1/8。求：(1)此人來遲的概率；(2)若已知來遲了，此人乘火車來的概率。解：設(shè)事件A表示：“此人來遲了”；事件A分別表示：“此人乘火車、輪船、汽車、飛機，且P(A)0, A、隈 A、A4兩兩互不相容來”(i1,2,3,4)。則Aii1(1)由全概率公式得4P(A

12、)P(A)P(A|Ai)i1J3111SS211104531012585P(A)P(A|A1)P(A/A) =3 110 4 31/58(2)由貝葉斯公式得4P(Aj)P(A|Aj)j114 .有兩箱同類零件，第一箱50只，其中一等品10只，第二箱30只，其中一等品18只，今從兩箱中任選一箱，然后從該箱中任取零件兩次，每次取一只(有放回)，試求：(1)第一次取到的是一等品的概率；(2)兩次都取到一等品的概率。解：設(shè)A表示：“取到第i箱零件”(i1,2)；Bi表示：“第i次取到的是一等品”(i1,2)；(1) P(B1) P(B1A1B1A2) P(B1A1) P(B1A2)(2) P( B1B

13、2)P(B1B2A1 B1B2 A2)P(B1B2A1) P(B1B A2)(10)1 250(30)215 .設(shè)一電路由三個相互獨立且串聯(lián)的電子元件構(gòu)成，它們分別以0.03、0.04、0.06的概率被損壞而發(fā)生斷路，求電路發(fā)生斷路的概率。解：設(shè)A表示：“第i個電子元件被損壞”(i=1,2,3),則有P(A1)0.03；P(A2)0.04；P(A3)0.06。依題意所求概率為P(A1AA3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1A2)P(AAs)RA24)P(A1A2A3)0.030.040.060.030.040.040.060.070.020.050.140.8,乙擊中敵機的概率16 .甲

14、、乙兩人各自同時向敵機射擊，已知甲擊中敵機的概率為為0.5,求下列事件的概率：(1)敵機被擊中；(2)甲擊中乙擊不中；(3)乙擊中甲擊不中。解：設(shè)事件A表示：“甲擊中敵機”；事件B表示：“乙擊中敵機”；事件C表示：“敵機被擊中”。則(1) P(C)P(AB)1P(AB)1P(AB)10.10.9(2) P(AB)P(A)P(B)0.8(10.5)0.4(3) P(AB)P(A)P(B)(10.8)0.50.117.已知 P(A)1/4,P(B|A)1/3,P(A|B)1/2,求P(AB)。解：由于P(AB)P(A)P(B)P(AB)111P(AB)P(A)P(B|A)43121P(B)3Z1P

15、(A|B)126所以1121P(AB)418.設(shè) P(A) 0.3, P(B)0.4,P(AB)0.5,求P(B|(AB)。解：由于 P(B|(A B)P(B(A 9)P(A B)B(AB)BABBBA,AABAB,ABAB,而P(BA)P(A)P(AB)1P(A)P(AB)0.7050.2,P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.710.40508,故P(B|(AB)P(B(A)絲1。P(AB)0.8419 .設(shè)事件A、B相互獨立，已知P(A)0.4,P(AB)0.7。求:(1) P(AB)；(2)P(AB)。解：由P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.7即0.4P(B)0.4P(B)0.

16、7解得P(B)0.5所以P(AB)P(A)P(B)0.4(10.5)0.2P(AB)0.60.50.60.50.820 .設(shè)A、B為隨機事件，且P(A)0.5,P(B)0.6,P(B|A)0.8,求:(1) P(AB)；P(AUB)。解：(2) P(AB)P(A)P(B|A)0.50.80.4(3) P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.50.60.40.721 .設(shè)事件A、B相互獨立，已知P(A)0.5,P(AB)0.8,求：(1) P(AB);(2)P(AUB)。解：由條件P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.8即0.5P(B)0.5P(B)0.8解得P

17、(B)0.6,所以(1) P(AB)P(A)P(B)0.50.40.2(2) P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.50.40.50.40.722.設(shè)事件A與事件B相互獨立，試證明：(1)事件A與事件B相互獨立；(2)事件A與事件B相互獨立；(3)事件A與事件B相互獨立。證明：(1)欲證明a、B相互獨立，只需證p(aB)p(a)p(B)即可。而P(AB)P(AAB)P(A)P(A)P(B)P(A)(1P(B)P(A)P(B)所以事件A與事件B相互獨立。同理(2)由于P(AB)P(BAB)P(B)P(A)P(B)P(B)(1P(A)P(A)P(B)所以事件A與事件B相互獨立。(3)由于P(AB

18、)P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)1P(A)P(B)P(A)P(B)1P(A)1P(B)P(A)P(B)所以事件A與事件B相互獨立。23.若P(A|B)P(A|B),證明事件A與事件B相互獨立。證明：由于AABAB,且ABAB,所以P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(B)P(A|B)P(A|B)從而有P(AB)P(A|B)P(B)P(A)P(B)故由獨立性定義知，事件A與事件B相互獨立。第二章隨機變量及其分布三、解答題1 .設(shè)X的概率分布為X 012求：（1）X的分布函數(shù);1 PX 2、P1、P13X-°

19、;解：（1） F（x）PXx1312PX2P13PXP13P1 X20,1,PX 13PX2.從學校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗,假定在各個交通崗遇到紅綠信號燈的事件是相互獨立的，且概率都相等。設(shè)X表示途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布律、分布函數(shù)。解：由題意知X服從二項分布B,一1、（3,一）,從而2PX0(1PX1c3(12)2PX2C321(2)(112)PX(2)3即x的概率分布列為X0123Pk1/83/83/81/8由分布函數(shù)定義0,x01/8,0x14/8,1x27/8,2x31,x3F(x)PXx3.從學校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗,假定在各個交通崗遇到紅綠信號燈的事件是

20、相互獨立的，且概率都是2/5。設(shè)X表示途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布律、分布函數(shù)。解：由題意知X服從二項分布B(3,2),從而5PX0(15)327125PX1c3(154125PX2C；2(5)(125)36125PX3(5)38125即X的概率分布列為X0123Pk27/12554/12536/1258/125由分布函數(shù)定義得0,x027/125,0x181/125,1x2117/125,2x3F(x)PXxx31,4.一臺設(shè)備有三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)過程中各部件需要調(diào)整的概率分別為0.10,0.20,0.30,假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨立，以X表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，試求X的概率分布。解

21、：設(shè)：Ai(i1,2,3)表示：“部件i需要調(diào)整”。PX0P(AA2 A3)0.9 0.8 0.7 0.504；PX1P(AA2 A3)P(AA2A3) P(AA2A3)0.398 PX2P(AA2A3)P(AA2A3) P(AA2A3)0.092PX3P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)0.006故X的概率分布列為X0123Pk0.5040.3980.0920.0065.已知某種型號的雷管在一定刺激下發(fā)火率為4/5,今獨立重復(fù)地作刺激試驗，直到發(fā)火為止，則消耗的雷管數(shù)X是一離散型隨機變量，求X的概率分布。解：X的可能取值為1,2,3,。記Ak表示“第k次試驗雷管發(fā)火”則Ak表示“

22、第k次試驗雷管不發(fā)火”從而得，、4PiPX1P(Ai)514P2PX2P(AA2)P(Ai)P(A2)55124P3PX3P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)(-)2-55_1k14PkPXkP(A1A2Ak1Ak)(-)k155依次類推，得消耗的雷管數(shù)X的概率分布為4 1k1,、PXk4(-)k1(k1,2,3,)5 5Acosx.x6 .設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)'2，求:0,其它(1)系數(shù)A； (2) X的分布函數(shù);(3) X落在區(qū)間(一，一)內(nèi)的概率。44解：連續(xù)型隨機變量X的概率密度必須滿足歸一性,因此由歸一性及定義可求出系數(shù)A及解得A 1/2。X的分布函數(shù)

23、，至于(3)可由X的分布函數(shù)求得。(1)由歸一性，f(x)dx2Acosxdx2A12(2)由連續(xù)型隨機變量的定義知X的分布函數(shù)為F(x)f(u)dux一時，F(xiàn)(x)2F(x)x一時,2F(x)故X的分布函數(shù)為F(x)(1(3)所求概率為f(u)du=0；f(u)duf(u)du0,sinx)/2,1,20dx20dxPzXRFq7.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)/2求：(1)系數(shù)a；(2)X落在區(qū)間(一xIcosxdx2251cosxdx52/2/212,、221a一Arctanx1,1)中的概率;(3)隨機變量X的概率密度。(提示:解：(1)由F()1(2)F(x)1Arctanx(2)

24、P1X1F(1)F(1)11-一一sinx22x0dx12Arctanx為反正切函數(shù))解得1,-o故得21 124 21(0 2(3)所求概率密度為一、L,、，11A、1f(x)F(x)(Arctanx)-(2(1x2)8.設(shè)隨機變量X的概率分布為f (x)Ax,0,0 -X 1 ,以Y表示對X的三次獨立重 其它12 23 3 9一，1、，一,、，一一復(fù)觀察中事件X出現(xiàn)的次數(shù)，試確定常數(shù)A,并求概率PY2。2解：由歸一性1所以A=2o即f (x)dx0Axdxf(x)2x, 0 x 10,其它11PX 2 %)12 f (x)dx1(2 2xdx1、所以YB(3,1),從而4PY3_94649

25、.在某公共汽車站甲、乙、丙三人分別獨立地等1, 2, 3路汽車，設(shè)每個人等車時間(單位：分鐘)均服從0,5上的均勻分布，求三人中至少有兩個人等車時間不超過2分鐘的概率解：設(shè)X表示每個人等車時間，且X服從0,5上的均勻分布，其概率分布為f(x)1/5, 0 x 50, 其它22PX2f(x)dxo1/5dx0.4又設(shè)Y表示等車時間不超過2分鐘的人數(shù)，則YB(3,0.4),所求概率為PY21PY11C00.63c30.40.620.35210.在電源電壓不超過200,200240和超過240伏的三種情況下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2假定電源電壓XN(220,252),試

26、求：(提示：(0.8)0.788)(1)該電子元件被損壞的概率(2)電子元件被損壞時，電源電壓在200240伏內(nèi)的概率解：設(shè)A1 : “電源電壓不超過200伏”；A2:“電源電壓在200240伏”；A3： “電源電壓超過240伏”;B : “電子元件被填壞”。P(A3)由題設(shè)P(B|A)由條件概率公式P(A2|B)P(A2)P(B|A2)P(B)0.00911. 一個盒子中有三只乒乓球，分別標有數(shù)字1, 2, 2?，F(xiàn)從袋中任意取球二次，每次取由于XN(220,252),所以.、200220P(Ai)PX200F(200)()25(08)1(08)10.7880.212240220200220P

27、(A2)P200X240()()2525(08)(08)2(08)10576240220PX2401()251(08)10.7880.21201,P(B|A2)0.001,P(B|A3)0.2,所以由全概率公式3P(B)(Ai)P(B|Ai)0.0642i1一只(有放回)，以X、Y分別表示第一次、第二次取得球上標有的數(shù)字。求:(1) X和Y的聯(lián)合概率分布;(2)關(guān)于X和Y邊緣分布；(3) X和Y是否相互獨立？為什么?解：(1) (X, Y)的所有可能取值為P11PX 1, Y 1P12 PX 1, Y 2(1, 1)、(1 , 2)、(2, 1)、(2, 2)。1113 3 9p21PX2,

28、Y 1，、22p22PX2,Y233于是(X,Y)的概率分布表為Y1211/92/922/94/9(2)關(guān)于X和Y的邊緣概率分布分別為X12Y12Pi1/32/3Pj1/32/3(3)X和Y相互獨立。因為i,j有pipjpjj12.一袋中裝有3個球，分別標有號碼1、2、3,從這袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用X、Y分別表示第一次、第二次取得的球上的號碼，試求:(1)隨機向量(X,Y)的概率分布;(2) (X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率分布;(3) X和Y是否相互獨立?為什么?解：(X,Y)的取值為(1,2),(1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)

29、,由(2)(X, Y)關(guān)于X的邊緣概率分布概率乘法公式可得Pl2PX1,2Pl3PX1,3同理可得p21p23P31p321/6此外事件X 1,1X 3, Y 3, X 2, Y 2都是不可能事件，所以Y、7123101/61/621/601/631/61/60Y)的概率分布表為日P11 P33 P220，于Pi1/31/31/3(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率分布Pj1/31/31/3(3) X和Y不相互獨立，由于 P PjPj 。13. 一口袋中裝有四只球，分別標有數(shù)字1, 1, 2, 3?，F(xiàn)從袋中任取一球后不放回，再121A (x x )dx 一06x2從袋中任取一球，以X、Y分別表示第一次、

30、第二次取得球上標有的數(shù)字。求:(1) X和Y的聯(lián)合概率分布及關(guān)于X和關(guān)于Y邊緣分布;(2) X與Y是否獨立？為什么?解：(1)(X,Y)的概率分布表為YX12311/61/61/621/601/1231/61/120X的邊緣概率分布為Pi1/21/41/4Y的邊緣概率分布為Pj1/21/41/4PX1,Y1PX1PY114.設(shè)G為由拋物線y x2和yx所圍成區(qū)域，(X,Y)在區(qū)域G上服從均勻分布，試求：(1)X、Y的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度;(2)判定隨機變量X與Y是否相互獨立。解：如圖所示，G的面積為因此均勻分布定義得X、Y的聯(lián)合概率密度為o1f(x,y)而6, (x,y) GQ 其他x9

31、fx(x)f(x,y)dy26dy6(xx),0x1xfY(y)f(x,y)dxyy6dx6(77y),0y1所以關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布密度分別為2fx(x)6(xx2),0x10,其他f6(.yy),0y1Y(y)0,其他X與Y不相互獨立。(2)由于fx(x)fy(y)f(x,y),故隨機變量15.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率分布為f (x,y)e y, 0 x y0, 其它求：(1)隨機變量X的密度函數(shù)fX(x);(2)概率PXY1。解：(1)x0時，fX(x)=0;x0時，fX(x)=f(x,y)dyxeydye故隨機變量 X的密度函數(shù)fX(x)0,一1x(2)PXY1f(x,y)d

32、xdy(2dxxeydyXY11e112e216.設(shè)隨機向量(X,Y)的概率密度為f(x, y)A, 0 x 1, 0 y x0, 其他試求：(1)常數(shù)A;(2)關(guān)于X、Y的邊緣概率密度。解：(1)由歸一性1xf(x,y)dxdy00Adydx所以A2。X、Y的聯(lián)合概率密度為f(x, y)2, 0 x 1, 0 y x0, 其他(2)關(guān)于X、Y的邊緣概率密度為xfx(x)f(x,y)dy02dy2x(0x1)即2x,0x1fx(x)0其它同理可求得關(guān)于Y的邊緣分布密度為,/、2(1y),0y1Yy0,其他17.設(shè)隨機變量(X,Y)具有概率密度f (x, y)Ce (x y), x 0, y 0

33、0, 其它求(1)常數(shù)C;(2)邊緣分布密度。解：(1)由于f(x,y)dxdy1,故1= Ce (x y) dxdy00C ° e xdx ° e ydy C所以C=1,即f(x,y)(xy)0,x0,y0其他(2)fX(x)f(x,y)dy0e(xy)dyexx0,即fx(x)0,其他fY(y)f(x,y)dx0e(xy)dxeyy0,即fY(y)e y, y 00, 其他18.設(shè)X和Y相互獨立，下表列出了二維隨機變量(X,Y)聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律的部分值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處。Yy1y2y3PXxipix11/8x21/12PYyjPj1/6

34、1解:'X'''''Yy1y2y3PXxiPixi1/121/87/241/2x21/121/87/241/2PYyjPj1/61/47/121第三章隨機變量的數(shù)字特征三、解答題1x,1x01.設(shè)隨機變量Xf(x)Ax,0x1,求：0,其它(1)常數(shù)A;(2)EX；(3)DX。解：(1)由歸一性 1 =.01f(x)dx1(1x)dx0(Ax)dxA(2)EX=xf(x)dx011x(1x)dx0x(1x)dx0(3)由于EX2DX2.設(shè)解：3.x2f(x)dx021x(1x)dxEX2(EX)2X的分布密度為EX=EX2DX試求：（1）EX解:

35、(1)EXEX2DXf(x)xf(x)dx2_xf(x)dx120x(1x)dx1/610x_2_2EX(EX)x,x,0,xdx1x2xdx0x其它求：數(shù)學期望EX和方差DX。(2x)dx22x(2x)dxX012R0.30.20.5已知隨機變量X的分布列如下,(2)DX;X的分布函數(shù)。E(X1)2；(3)xkPkk100.3120.30.210.220.51.2_2220.52.2EX2(EX)22.21.220.76（2）經(jīng)計算得（X1）2?Y的概率分布列(3)4.設(shè)求：E(XY10Pk0.80.210.800.20.82ykPkEYk10,F(x)03051,X、Y的概率分布為1(x)

36、了0,1x5,其它,Y)和E(2X3Y2)。解：由于X在有限區(qū)間1(y)4e4y0,5上服從均勻分布，所以0,0,EX51,一，3;又由于Y服從參數(shù)21為4的指數(shù)分布，所以EY=-4DY116因此由數(shù)學期望性質(zhì)2、性質(zhì)3及重要公式得E(XY)EXEY3:E(2X3Y2)2E(X)3E(Y2)一一一263(DY(EY)5 .已知r v X、Y分別服從正態(tài)分布N(0,32)和N(2,42),且X與Y的相關(guān)系數(shù)XY1/2,設(shè)ZX/3Y/2,求:(1)數(shù)學期望EZ，方差DZ；(2)X與Z的相關(guān)系數(shù)xz。解：(1)由數(shù)學期望、方差的性質(zhì)及相關(guān)系數(shù)的定義得EZX Ye(T 2)E(7) E(2)11-0-

37、2132DZXYXYDq)D(2)2Cov(-,-)1111DX-DY2XYDX.DY322232XY121211132422()3414233222322(2) Cov(X, Z)1 Cov(X, -X111-Y)-Cov(X,X)-Cov(X,Y)2321_1_DXXYDX.DY032從而有X與Z的相關(guān)系數(shù)Cov( X,Z) XZ DX . DZ6 .設(shè)隨機變量X、Y獨立同服從參數(shù)為 與V的相關(guān)系數(shù) uv 。泊松分布，U 2X Y, V 2X Y,求U解：由條件X、Y獨立同服從參數(shù)為泊松r因此_2_2_2EY EX DX (EX)EU2EXEY3EV2EXEYDUDV4DXDY422EUV

38、 E(4X Y ) 4EXCov(U, V) EUV EUEV于是U與V的相關(guān)系數(shù) UV COvA . DU DV 57.設(shè)一部機器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,工作日內(nèi)無故障可獲利 8萬元，發(fā)生一次故障仍獲利布，所以 EX EY , DX DY ,25_2_2EY33_2_2_333335配器發(fā)生故障時全天停止工作，若一周5個4萬元，發(fā)生兩次故障獲利 0元，發(fā)生三次或三次以上要虧損2萬元，求一周內(nèi)期望利潤是多少。解：設(shè)Y表示生產(chǎn)利潤，X表示每周發(fā)生故障的次數(shù)，則Y是X的函數(shù)，而X-B(5,0.2),其概率分布為PXkC；pkq5kY可能取值為一2,0,4,8。PY8PX00.8545/551

39、024/3125PY4PX1C50.20.84544/551280/3125解：(1)(X,Y)的概率分布為Y12311/92/92/9201/92/93001/9PY 0 PX 2 C； 0.22PY 2 PX 31 PX08 310 43 /55640/ 31253181/55 181/3125EYc 1024128084 -31253125c 6400 -3125(2)18131251295031254.1448 .設(shè)與 獨立同分布，已知的概率分布為Pi 1/3(i1,2,3),又設(shè)X max, , Y min,。求：(1) EX、EY； (2)隨機變量X, Y的協(xié)方差。關(guān)于X、Y的邊緣

40、概率分布分別為X123P1/93/95/9Y123P5/93/91/922914從而得EXEY(2)EXYCov(X, Y )= EXYEXEY9361 2 3922 142 2 39163：36819 .游客乘電梯從低層到電視塔頂層觀光，電梯每個整點的第5分鐘、25分鐘、55分鐘從低層起行。假設(shè)一游客在早八點的第X分鐘到達低層候梯處，且X在0 , 60上均勻分布，求該游客等候時間的數(shù)學期望。解：已知X在0,60上均勻分布，其概率分布為1,0x60其它f(x)600,設(shè)Y表示游客等候電梯時間(單位：分)5X,0X5Y g(X)25X,5X2555X,25X5560X5,55X60因此EY Eg

41、(Y)g(x) f (x)dx15256O0(5 X)dX 5(25160g(x)dx60 055x) dx+ 25(55 x)dx60(65 x)dx5535/3 11.67第四章隨機變量及其分布三、解答題1 .已知隨機變量X123Pk0.20.30.5X的概率分布為X E(X) 1向的概率。DX 0.61,故由切比雪夫不等式知,試利用切比雪夫不等式估計事件解：依題意，EX2.3所求事件的概率為P X EX1.5DX0.6112 120.72891.521.52第五章隨機變量及其分布三、解答題1.設(shè)Xi，X2，, Xn為X的一個樣本,其中X f (x,)1為未知參數(shù)，求(1)x ,0 x 1

42、0, 其它的極大似然法估計量。解：設(shè)x1,x2,xn為X1,X2,Xn觀測值，則構(gòu)造似然函數(shù)nL()(1)n(%)i1nlnLnln(1)Inxii1dlnLd解得的極大似然估計量為lnxilnXi2.設(shè)總體X的分布列為X10pkp1pX1,X2,，Xn為X的一個樣本，求p的極大似然估計。解：設(shè)x1,x2,xn為X1,X2,Xn觀測值，X的分布律為x.1x._p(x,p)p(1p)(x1,0)于是似然函數(shù)L(p)p(xi,p)i1nxpi1(1nlnLInpxii1ndlnLnxi1xp(1p)i1nnxp)i1n(nxjln(1p)i1ndpxinxi1i1p1pdp一xini13 .設(shè) X1, X2,Xn為總體X的一個樣本，且X的概率分布為k 1PX k (1 p) p, k 1,2,3,求p的極大似然估計值。x1,x2, xn為