現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢

1、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨向第四章 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨向一、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨向內(nèi)容歸納與古典數(shù)學(xué)對比，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展從思想方法的角度看擁有一些新的特色，本章內(nèi)容經(jīng)過數(shù)學(xué)的一致性、數(shù)學(xué)在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的寬泛應(yīng)用、數(shù)學(xué)機(jī)械化的產(chǎn)生與發(fā)展及其意義、計(jì)算機(jī)促進(jìn)計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展、計(jì)算機(jī)促進(jìn)數(shù)學(xué)中新學(xué)科的發(fā)展這些方面來認(rèn)識和理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨向。下邊從以下幾個(gè)方面來剖析： 數(shù)學(xué)的一致性 數(shù)學(xué)應(yīng)用的寬泛性 計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)發(fā)展1 數(shù)學(xué)的一致性所謂一致性，就是部分與部分、部分與整體之間的協(xié)調(diào)一致?？陀^世界擁有一致性，數(shù)學(xué)作為描述客觀世界的語言必定也擁有一致性。數(shù)學(xué)的一致性是客觀世界一致性的反應(yīng)，是數(shù)學(xué)中各個(gè)分支固有的內(nèi)

2、在聯(lián)系的表現(xiàn)。它表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的各個(gè)分支相互浸透和相互聯(lián)合的趨向。 數(shù)學(xué)的一致性發(fā)展的三個(gè)階段( 1 )數(shù)學(xué)從經(jīng)驗(yàn)累積到嚴(yán)格的演繹系統(tǒng)成立，其特色逐漸顯然，在中世紀(jì)時(shí)，從研究對象和方法來看，初等數(shù)學(xué)有了必定的一致性。特別是17 世紀(jì)分析幾何的出生，使數(shù)學(xué)中的代數(shù)與幾何一致同來，說明一致性是數(shù)學(xué)的特色。生了改革，結(jié)果是數(shù)學(xué)分支愈來愈多，數(shù)學(xué)表現(xiàn)的更為多樣化。所以，需要從頭認(rèn)識數(shù)學(xué)的一致性。為此，數(shù)學(xué)家們作了好多努力，到 20 世紀(jì) 30 年月，法國的布爾巴基( Bourbaki )學(xué)派提出，利用數(shù)學(xué)內(nèi)在聯(lián)系和公義化方法從數(shù)學(xué)各個(gè)分支中提煉出各樣數(shù)學(xué)構(gòu)造。他們以為數(shù)學(xué)的發(fā)展不過是各樣構(gòu)造的成立和發(fā)展，

3、“數(shù)學(xué)好似一座大城市。城市中心有些巨大的建筑物，就好似是一個(gè)個(gè)已經(jīng)建成的數(shù)學(xué)理論系統(tǒng)。城市的郊區(qū)正在不停地并且多罕有點(diǎn)凌亂無章地向外伸展，他們就仿佛是一些還沒有發(fā)育成型的正在成長著的數(shù)學(xué)新分支。與此同時(shí)，市中心又在不時(shí)重修，每次都是依據(jù)構(gòu)想更為清楚的計(jì)劃和更為合理的布局，在拆毀掉舊的迷宮似的斷街巷子的同時(shí)，將修建起新的更直、更寬、更為方便的林蔭大道通向四方， 。”(2) 布爾巴基學(xué)派在會(huì)合論的基礎(chǔ)上成立了三個(gè)基本構(gòu)造(即代數(shù)構(gòu)造、序構(gòu)造和拓?fù)錁?gòu)造)，而后依據(jù)不一樣的條件，由這三個(gè)基本構(gòu)造交錯(cuò)產(chǎn)生新的構(gòu)造，如剖析構(gòu)造、布爾代數(shù)構(gòu)造等等。他們以為整個(gè)數(shù)學(xué)或大多半數(shù)學(xué)都能夠依照構(gòu)造的不一樣而加以分類

4、，用數(shù)學(xué)構(gòu)造能一致整個(gè)數(shù)學(xué)，各個(gè)數(shù)學(xué)分支不過數(shù)學(xué)構(gòu)造由簡單到復(fù)雜，由一般向特別發(fā)展的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)的不一樣分支是由這些不一樣的構(gòu)造構(gòu)成的，而這些構(gòu)造之間的盤根錯(cuò)節(jié)的聯(lián)系又把所有的分支連成一個(gè)有機(jī)整體。所以能夠說，布爾巴基學(xué)派用數(shù)學(xué)構(gòu)造顯示了數(shù)學(xué)的 一致性。(3) 20世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展成一個(gè)宏大的理論系統(tǒng)，數(shù)學(xué)分工愈來愈細(xì)，分 支愈來愈多，分支之間的聯(lián)系愈來愈不顯然，可是，數(shù)學(xué)學(xué)科的一致化趨向也在不停增強(qiáng)，主要表此刻數(shù)學(xué)的不一樣分支領(lǐng)域的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法相互交融，致使了一系列重要發(fā)現(xiàn) 以及數(shù)學(xué)內(nèi)部新的綜合交錯(cuò)學(xué)科的不停盛行：比如微分拓?fù)鋵W(xué)的成立、發(fā)展；整體微分幾 何研究的打破；代數(shù)幾何領(lǐng)域

5、的進(jìn)展；多復(fù)變函數(shù)理論以及其余數(shù)學(xué)分支的打破和發(fā)展都 有親密的聯(lián)系。2.數(shù)學(xué)應(yīng)用的寬泛性跟著科學(xué)發(fā)展， 學(xué)科之間的相互浸透已經(jīng)是一種廣泛現(xiàn)象，而此中數(shù)學(xué)的浸透又特別顯然。這種浸透不可以簡單地理解為把數(shù)學(xué)作為一種科學(xué)研究的工具和技術(shù)，而是新的研究領(lǐng)域和交錯(cuò)學(xué)科成立的動(dòng)力。數(shù)學(xué)已成為其余學(xué)科理論的一個(gè)重要構(gòu)成部分，這是數(shù)學(xué)應(yīng)用日趨寬泛的表現(xiàn)。這種表現(xiàn)詳細(xì)講就是數(shù)學(xué)化。現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的一個(gè)明顯特色是，自然科學(xué)、 技術(shù)科學(xué)以及社會(huì)科學(xué)都廣泛地處于數(shù)學(xué)化的過程之中，它們都在朝著愈來愈精準(zhǔn)的方向發(fā)展。電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用，為各門科學(xué)的數(shù)學(xué)化供應(yīng)了可能性，因此加快了各門科學(xué)數(shù)學(xué)化的趨向。我們能夠分紅幾個(gè)方面

6、來剖析：自然科學(xué)的數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)目關(guān)系的科學(xué)。它的理論深刻地反應(yīng)和刻畫了現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)目關(guān)系。跟著社會(huì)進(jìn)一步的發(fā)展，愈來愈需要對自然現(xiàn)象和客觀物質(zhì)作定量研究。“數(shù)”與“形”在現(xiàn)實(shí)世界中無處不在，客觀世界的任何一種物質(zhì)的幾何形態(tài)都擁有空間形式，其運(yùn)動(dòng)的路線是曲線， 而曲線是由一些數(shù)目的某種關(guān)系來刻畫。這就決定了數(shù)學(xué)及其方法能夠運(yùn)用于任何一門自然科學(xué)，數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)。(1)以物理學(xué)為例：物理學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的歷史較長，18世紀(jì)是數(shù)學(xué)與經(jīng)典力學(xué)相聯(lián)合的黃金期間。19世紀(jì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的要點(diǎn)轉(zhuǎn)移到電學(xué)與電磁學(xué)，弁且因?yàn)閯驅(qū)W派的努力而形成了數(shù)學(xué)物理分支。20世紀(jì)此后，跟著物理

7、科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)接踵在應(yīng)用于相對論、量子力學(xué)以及基本粒子等方面獲 得了一個(gè)又一個(gè)的打破，極大地豐富了數(shù)學(xué)物理的內(nèi)容，同時(shí)，也反過來刺激了數(shù)學(xué)自己的進(jìn)步。例1在20世紀(jì)初，狹義相對論和廣義相對論的創(chuàng)辦過程中，數(shù)學(xué)都起到了作用。1907年，德國數(shù)學(xué)家閔可夫斯基( H. Minkowski , 1864-1909 )提出了 “閔可夫斯基空間”(三維空間+時(shí)間的四維時(shí)空)，閔可夫斯基幾何為愛因斯坦的狹義相對論供應(yīng)了適合的數(shù)學(xué)模型。有了閔可夫斯基時(shí)空模型后，愛因斯坦又進(jìn)一步研究引力場理論以成立廣義相對論。1912年夏，他已經(jīng)歸納出新的引力理論的基本物理原理，但為了實(shí)現(xiàn)廣義相對論的目標(biāo)，還一定有理論的數(shù)學(xué)

8、構(gòu)造，愛因斯坦為此花銷了三年時(shí)間，最后在數(shù)學(xué)家格羅斯曼(M.Grossmann )幫助下掌握了發(fā)展相對論引力學(xué)說所一定的數(shù)學(xué)工具-以黎曼幾何為基礎(chǔ)的絕對微分學(xué)，即愛因斯坦此后所稱的張量剖析。在1915U31360? = _K(.可就是黎曼度規(guī)張量。愛因斯坦指出:功成功！ ”依據(jù)愛因斯坦的理論，時(shí)空整體是不平均的,年11月25日發(fā)布的一篇論文中，愛因斯坦導(dǎo)出了廣義協(xié)變的引力場方程：,“因?yàn)檫@組方程，廣義相對論作為一種邏輯構(gòu)造終于大不過在細(xì)小的地區(qū)內(nèi)能夠近似地看作平均。在數(shù)學(xué)上，廣義相對論的時(shí)空能夠解說為一種黎曼空間，非平均時(shí)空連續(xù)地區(qū)可借助于現(xiàn)成的黎曼胸懷:公一=工區(qū)露翼冰。來描述。 這樣，廣義

9、相對論的數(shù)學(xué)表述第一次揭露了非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義，成為歷史上數(shù)學(xué)應(yīng)用最偉大的例子之一。自然科學(xué)研究存在著兩種方式：定性研究和定量研究。定性研究揭露研究對象能否擁有某種特色，定量研究揭露研究對象擁有某種特色的數(shù)目狀態(tài)。精準(zhǔn)的定量研究令人們能夠?qū)陀^事物的認(rèn)識從現(xiàn)象上漲到實(shí)質(zhì)，進(jìn)而可能有精準(zhǔn)的科學(xué)預(yù)示功能。數(shù)學(xué)是實(shí)現(xiàn)定量研究的必需條件。所以，一門科學(xué)只有當(dāng)它 與數(shù)學(xué)充足地交融，才可能精準(zhǔn)地揭露客觀事物的狀態(tài)和變化規(guī)律，才會(huì)顯示其真實(shí)的價(jià)值。所以，自然科學(xué)研究必定要經(jīng)過定量研究過程，所以科學(xué)研究的一般過程是從定性研究出發(fā)，而后再研究其量的規(guī)律性，進(jìn)行定量研究，弁進(jìn)一步把定性研究和定量研究相聯(lián)合?？茖W(xué)的

10、數(shù)學(xué)化是有一個(gè)發(fā)展過程，它是從初級運(yùn)動(dòng)形態(tài)發(fā)展到高級運(yùn)動(dòng)形態(tài)，以簡單運(yùn)動(dòng)形態(tài)到復(fù)雜運(yùn)動(dòng)形態(tài)。與此相應(yīng)的，是從物理學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)開始，發(fā)展到化學(xué)、生物學(xué)和工程技術(shù)科學(xué)。(2)以生物學(xué)為例與物理和天文等學(xué)科對比，生物學(xué)中應(yīng)用相當(dāng)緩慢 .將數(shù)學(xué)方法引進(jìn)生物學(xué)的研究大概始于20世紀(jì)初.英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜 (，1857-1936 )第一將統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用于遺傳學(xué)和進(jìn)化論，弁于1902年創(chuàng)辦了生物統(tǒng)計(jì)學(xué)(Biometrika )雜志， 統(tǒng)計(jì)方法在生物學(xué)中的應(yīng)用變的日趨寬泛。意大利生物學(xué)家達(dá)松納(D' Ancona)在研究地中海各樣魚群的變化及其相互影響時(shí)，發(fā)現(xiàn)鯊魚及其余兇狠大魚的捕捉量在所有漁獲量中的

11、比率成倍增添。他感覺疑惑的是作為魚餌的小魚也應(yīng)當(dāng)多起來，弁且鯊魚在魚群中的整體比率應(yīng)當(dāng)不變的。什么原由使得鯊魚的增添要比小魚的增添更快呢?達(dá)松納盡全部生物學(xué)上的解說都沒法解開這個(gè)謎,于是他討教意大利數(shù)學(xué)家伏爾泰拉(V. Volterra )。1926年，伏爾泰拉提出有名的伏爾泰拉方程:方程中x表示食餌，即被食小魚，y表示捕食者，即食肉大魚(鯊魚)用微分方程知識解說道：當(dāng)打魚量減小時(shí)，捕食者(鯊魚)增添，被食者(被食小魚)減少；當(dāng)捕魚量增添時(shí)， 捕食者減少，被食者增添。這給生物學(xué)一個(gè)滿意的回復(fù)。這一現(xiàn)象此刻稱為伏爾泰拉原理，已在很多生物學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用。如使用農(nóng)藥殺蟲劑，若把害蟲及其天敵一同毒殺，則

12、因?yàn)闅⑺篮οx數(shù)目猛增，依據(jù)伏爾泰拉原理，卻會(huì)使捕食害蟲的天敵降落更快，惹起不利結(jié)果。用微分方程成立生物模型在20世紀(jì)50年月曾獲取驚動(dòng)性成就，這就是描述神經(jīng)脈沖傳導(dǎo)過程的霍奇金-哈斯利(Hodgkin-Huxley )方程(1952年)和描述視覺系統(tǒng)側(cè)克制作用的哈特萊因-拉特里夫(Hartline-Ratliff )方程(1958年)，它們都是復(fù)雜的非線性方程組，惹起了數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家的濃重興 趣。這兩項(xiàng)工作分別獲取 1963年和1967年的諾貝爾醫(yī)學(xué)生理學(xué)獎(jiǎng)。(3)以醫(yī)學(xué)為例20世紀(jì)60年月，數(shù)學(xué)方法在醫(yī)學(xué)診療技術(shù)中的應(yīng)用供應(yīng)了這方面的又一重要實(shí)例。就是CT掃描儀的發(fā)明。1963-1964年

13、間，美籍南非理論物理學(xué)家科馬克(A.M.Cormack )發(fā)布了計(jì)算人體不一樣組織對X射線汲取量的數(shù)學(xué)公式，解決了計(jì)算機(jī)斷層掃描的理論問題。科馬克的工作促進(jìn)英國工程師亨斯 菲爾德(G.N.Hounsfield )發(fā)了然第一臺計(jì)算機(jī)X射線斷層掃描儀即CT掃描儀。科馬克和亨斯菲爾德共同榮獲了 1979年諾貝爾醫(yī)學(xué)生理學(xué)獎(jiǎng)。數(shù)學(xué)家馮 ？諾依曼說過：“在現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)科學(xué)中，可否接受數(shù)學(xué)方法或與數(shù)學(xué)鄰近的物理學(xué)方法，已愈來愈成為該科學(xué)成功與否的重要標(biāo)記”跟著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用，人們已經(jīng)能辦理愈來愈復(fù)雜的現(xiàn)象，比方，復(fù)雜程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出物理現(xiàn)象、化學(xué)現(xiàn)象、生物現(xiàn)象。數(shù)學(xué)已成為自然科學(xué)的強(qiáng)有力的工具?，F(xiàn)代科學(xué)技

14、術(shù)發(fā)展的一個(gè)重要趨向之一，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨向是各門科學(xué)的數(shù)學(xué)化。這種數(shù)學(xué)化已獲取了豐富的成就。 社會(huì)科學(xué)的數(shù)學(xué)化20 世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的另一個(gè)特色就是數(shù)學(xué)寬泛應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)之中， 即社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)化的趨向增添。所謂社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)化， 就是指數(shù)學(xué)向社會(huì)科學(xué)的浸透， 也就是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來揭露社會(huì)現(xiàn)象的一般規(guī)律。因?yàn)樯鐣?huì)現(xiàn)象的隨機(jī)要素許多， 狀況較復(fù)雜， 所以在數(shù)學(xué)化過程中所需的變量參數(shù)也許多， 所以造成社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)化的難度比較大， 社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)化的進(jìn)度也就較晚。 可是，跟著各門科學(xué)和數(shù)學(xué)自己的進(jìn)步，影響各樣社會(huì)現(xiàn)象的要素將漸漸被數(shù)學(xué)所說明， 所以運(yùn)用數(shù)學(xué)的可能性就愈來愈大。 從整個(gè)科學(xué)發(fā)展趨向來看，社會(huì)科

15、學(xué)的數(shù)學(xué)化也是必定的趨向，其主要原由能夠歸納為有下邊四個(gè)方面：第一，社會(huì)管理需要精準(zhǔn)化的定量依照，這是促進(jìn)社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)化的最根本的要素。第二，社會(huì)科學(xué)的各分支逐漸走向成熟，社會(huì)科學(xué)理論系統(tǒng)的發(fā)展也需要精準(zhǔn)化。第三，跟著數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它出現(xiàn)了一些適合研究社會(huì)歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學(xué)分支。如概率論、失散數(shù)學(xué)、模糊數(shù)學(xué)、數(shù)理邏輯、系統(tǒng)論、信息論、控制論、突變論等，都為社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)化供應(yīng)了有力的武器。這些新的數(shù)學(xué)分支使社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)化成為可能。第四，電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展與應(yīng)用，使特別復(fù)雜社會(huì)現(xiàn)象經(jīng)過度化后能夠進(jìn)行數(shù)值辦理。例 1 社會(huì)科學(xué)的數(shù)學(xué)化， 最早是經(jīng)濟(jì)學(xué)。 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中開始引用數(shù)學(xué)方法， 假如從古爾諾(

16、 Cournot )在 1883 年發(fā)布財(cái)產(chǎn)理論的數(shù)學(xué)原理之研究一書算起，已有 100 多年的歷史了?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)揭露了經(jīng)濟(jì)學(xué)中新的經(jīng)濟(jì)規(guī)律， 促進(jìn)了經(jīng)濟(jì)知識的完美化。 比如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)中的博弈論、決議論、線性規(guī)劃等數(shù)學(xué)方法，來研究花費(fèi)理論、生產(chǎn)理論、投資理論、收入理論等。數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)相聯(lián)合產(chǎn)生了數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)。 20 世紀(jì) 50 年月此后， 數(shù)學(xué)方法在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中占有了重要地位，致使大多半諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)都授與了與數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)相關(guān)的工作。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家康托洛維奇(A. B . Khhtop OBq, 1912-1986 )和美籍荷蘭經(jīng)濟(jì)學(xué)家?guī)炱章? T.C.Koopmans )同獲1975年度

17、諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng). 康托洛維奇和美國數(shù)學(xué)家丹齊格( G.B.Dantzig )各自獨(dú)立創(chuàng)立的線性規(guī)劃論，在20 世紀(jì)50 年月被庫普曼斯應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)而獲取成功。20 世紀(jì) 50 年月以來， 數(shù)目經(jīng)濟(jì)學(xué)因?yàn)楣x化方法的引入而獲得了重要進(jìn)展。 1959 年美籍法國數(shù)學(xué) 家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家德布洛( )發(fā)布了 價(jià)錢理論 ，對一般經(jīng)濟(jì)平衡理論給出了嚴(yán)格的公義化表述。此后，公里化方法成為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的基本方法。一般經(jīng)濟(jì)平衡價(jià)錢的存在問題是經(jīng)濟(jì)界長久關(guān)注但懸而未決的問題。 大略地講， 這問題是問： 能否存在一個(gè)價(jià)錢系統(tǒng)， 使得花費(fèi)需求與生產(chǎn)供應(yīng)相等。 這樣的價(jià)錢系統(tǒng)就叫平衡價(jià)錢系統(tǒng)。 早在 1874 年，法國經(jīng)濟(jì)

18、學(xué)家( L.Walras )就已經(jīng)將這個(gè)問題歸納為由供應(yīng)等于需求所決定的方程組的求解。這樣導(dǎo)出的一般是一組復(fù)雜的非線性方程，年，德布洛和美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿羅(雖經(jīng)過很多半學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家的努力， 問題一直沒有解決。 直到 1954K.Arrow )第一次利用凸集理論，不動(dòng)點(diǎn)定理等給出了一般經(jīng)濟(jì)平衡1974的嚴(yán)格表述和存在性證明。德布洛的 價(jià)錢理論 又使這一理論系統(tǒng)公義化。阿羅和德布洛先后于年和 1983 年獲取諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。例 2 數(shù)學(xué)與語言相互浸透，產(chǎn)生了數(shù)理語言學(xué)這門新的交錯(cuò)學(xué)科。它用數(shù)學(xué)方法來研究語言構(gòu)造和語法形式屬性。 跟著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的推行應(yīng)用， 令人腦與電腦通力協(xié)作，

19、 使數(shù)學(xué)與語言融為一體，產(chǎn)生計(jì)算機(jī)語言。例 3 數(shù)學(xué)向文學(xué)研究領(lǐng)域的浸透，令人們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與文學(xué)之間存在聯(lián)系，像英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特Sylvester )撰寫的詩的格律一文，就應(yīng)用了數(shù)學(xué)方法對莎士比亞的十四行詩進(jìn)行了剖析。1980 年，美藉華人陳炳藻先生運(yùn)用了數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)相聯(lián)合的手段發(fā)布了從詞匯上統(tǒng)計(jì)，論紅樓夢的作者問題。還有復(fù)旦大學(xué)教授李賢平先生對此亦作出了貢獻(xiàn)。例 4 數(shù)學(xué)向社會(huì)學(xué)領(lǐng)域的浸透，產(chǎn)生了一門新興的定量社會(huì)學(xué)，它應(yīng)用共同學(xué)的理論和數(shù)學(xué)方法 研究社會(huì)學(xué)識題，使社會(huì)學(xué)開始走上定量化的道路。20 世紀(jì) 60 年月前蘇聯(lián)科學(xué)家用定量方法來研究歷史問題，進(jìn)而產(chǎn)生了計(jì)量歷史學(xué)。運(yùn)用計(jì)量方法能夠

20、把抽象的東西變得詳細(xì)化， 使微觀和宏觀研究更好地聯(lián)合起來， 使微觀研究更好地成為宏觀研究的基礎(chǔ)。社會(huì)科學(xué)的數(shù)學(xué)化已為人們所寬泛接受，的進(jìn)度。一方面，它把數(shù)學(xué)運(yùn)用于各門社會(huì)科學(xué)，科學(xué)更為完美和更擁有說服力。 另一方面，促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。社會(huì)科學(xué)的數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)與社會(huì)科學(xué)相互作用、進(jìn)而極大地提高社會(huì)科學(xué)研究的質(zhì)量和效率，它使社會(huì)科學(xué)與數(shù)學(xué)相聯(lián)合產(chǎn)生新的交錯(cuò)學(xué)科，相互浸透使社會(huì)進(jìn)而進(jìn)一步3 計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)發(fā)展電子計(jì)算機(jī)是20 世紀(jì)最偉大的技術(shù)成就之一。這個(gè)最先為了取代人類計(jì)算的機(jī)器使得人類面對著一場新的科學(xué)技術(shù)革命。在數(shù)學(xué)方面，計(jì)算機(jī)起碼有三種新的用途，第一，用來證明一些數(shù)學(xué)命題，而往常證明這種命題，需要

21、進(jìn)行異樣巨大的計(jì)算與演繹工作。第二，用來展望某些數(shù)學(xué)識題的可能結(jié)果。第三，用來作為一種考證某些數(shù)學(xué)識題結(jié)果的正確性的方法。計(jì)算機(jī)的發(fā)展促進(jìn)了數(shù)學(xué)的改革與發(fā)展，而數(shù)學(xué)的打破提高了計(jì)算機(jī)的層次，有人說 “計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)的創(chuàng)立物，又是數(shù)學(xué)的創(chuàng)立者。 ”總之，計(jì)算機(jī)給數(shù)學(xué)家們供應(yīng)了一種有效的實(shí)驗(yàn)工具。計(jì)算機(jī)的發(fā)展為數(shù)學(xué)開辟了一個(gè)新的天地，關(guān)于數(shù)學(xué)的發(fā)展擁有決定性的影響。計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系能夠從以下幾個(gè)方面來理解。 數(shù)學(xué)機(jī)械化( 1 )數(shù)學(xué)機(jī)械化的產(chǎn)生與發(fā)展 數(shù)學(xué)的腦力勞動(dòng)有兩種主要形式： 定理證明和數(shù)值計(jì)算。 人們向來希望能為腦力勞動(dòng)找到一種代替方法，即腦力勞動(dòng)怎么機(jī)械化的問題。20 世紀(jì) 40 年月，

22、出現(xiàn)了計(jì)算機(jī)此后由此產(chǎn)生一門新的學(xué)門，叫做人工智能。人工智能考慮諸如，機(jī)器翻譯， 機(jī)器推理，機(jī)器下棋，機(jī)器看病等等， 它的目的就是利用計(jì)算機(jī)來取代或減少某種形式的腦力勞動(dòng)?！盁o論是機(jī)器取代體力勞動(dòng)，或是計(jì)算機(jī)取代某種腦力勞動(dòng)，其所以成為可能，要點(diǎn)在于所需取代的勞動(dòng)已經(jīng) 機(jī)械化 ，也就是說已實(shí)現(xiàn)了刻板化或規(guī)格化。 ”數(shù)學(xué)識題的機(jī)械化就是要求在運(yùn)算或證明過程中，每行進(jìn)一步以后，都有確立的、必定選擇的下一步，這樣沿著一條有規(guī)律的、刻板的道路，一直抵到結(jié)論。“貫串在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史過程中有兩此中心思想，一是公義化思想，另一是機(jī)械化思想。 ”所以腦力勞動(dòng)機(jī)械化的試試，能夠追述到幾千年從前。比方，中國的九

23、章算術(shù)中就有了對開平方和開立方機(jī)械化過程的詳盡說明?？墒菑?9 世紀(jì)開始發(fā)生的一些事件對今世數(shù)學(xué)機(jī)械化的形成與發(fā)展擁有決定性意義。1854年，英國數(shù)學(xué)家喬治 布爾(George Boole )把邏輯簡化成的一種代數(shù)，用一些符號把邏輯推理形式化，發(fā)布了邏輯的數(shù)學(xué)剖析和思想規(guī)律的研究 ，進(jìn)而創(chuàng)辦了布爾代數(shù)。這種代數(shù)把邏輯推理簡化成極其簡單操作，因此能夠減少腦力勞動(dòng)。這能夠看作數(shù)學(xué)機(jī)械化的起步。19 世紀(jì)末，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特創(chuàng)辦并且發(fā)展數(shù)理邏輯以來，腦力勞動(dòng)機(jī)械化的假想才有了明確的數(shù)學(xué)形式。盡人皆知， 在初等幾何中， 不一樣的定理， 經(jīng)常需要用不一樣的方法來證明。所以用計(jì)算機(jī)來證明幾何定理第一需要

24、解決 “一理一證 ”的問題。1950 年，波蘭數(shù)學(xué)家塔斯基( Tarski )證了然在初等幾何和初等代數(shù)這一范圍內(nèi)的定理證明能夠機(jī)械化， 并且提出了一個(gè)算法。這在理論上特別成功，它把一類初等代數(shù)和初等幾何的定理證明， 完整交給機(jī)器去做， 是真實(shí)意義上的腦力勞動(dòng)機(jī)械化。 可是這個(gè)算法特別繁瑣， 并且有很多定理的證明都不可功。1959 年，美籍華人王浩教授設(shè)計(jì)了一個(gè)機(jī)械化方法，只需英9 分鐘計(jì)算時(shí)間，用計(jì)算機(jī)證了然兩位國數(shù)學(xué)哲學(xué)家羅素和懷特海( Alfred North Whitehead )于1913 年第一版的數(shù)學(xué)原理中的幾百條定理。1976 年，美國伊利諾斯( Illinois )大學(xué)的阿佩

25、爾( K. Appel )和哈肯( W. Kaken )用計(jì)算機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)了任何一幅地圖著色，只需四種顏色就要實(shí)現(xiàn)幾何定理證明機(jī)械化的必定條1200 小時(shí)證了然數(shù)學(xué)家們 100 多年來所沒有解決的四色猜想能夠使所有相鄰地域的顏色不同樣。件是有一種方法能夠證明一類定理。從“一理一證”到“一類一現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨向證 ”，是數(shù)學(xué)的認(rèn)識和實(shí)踐的飛騰。1977 年，數(shù)學(xué)家吳文俊在定理證明機(jī)械化研究上獲得初步成就。他獨(dú)立證了然初等幾何（泛指不擁有微分運(yùn)算的幾何，如歐氏幾何、非歐幾何、仿射幾何、投影幾何、代數(shù)幾何等等）主要一類定理的證明能夠機(jī)械化，并且提出了確實(shí)可行的機(jī)械化方法，國際上稱 “吳方法 ”。吳先生提出

26、的機(jī)械證明方法與塔斯基的工作相互交而不包含，效率高， 能夠在一般計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)， 此刻已經(jīng)證出歐幾里得幾何中已吳文俊先生的創(chuàng)始吳先生還把他的方法知的所有定理。 同時(shí) “吳方法 ”還可用于幾何定理的自動(dòng)發(fā)現(xiàn)和未知關(guān)系的自動(dòng)推導(dǎo)。性成就， 打破了國際自動(dòng)推理界在幾何定理自動(dòng)證明研究中長久彷徨不前的場面。拓展到微分情況，成立了微分幾何定理機(jī)器證明和微分代數(shù)方程組求解的機(jī)械化理論和方法。（ 2 ）數(shù)學(xué)機(jī)械化的意義（ I ）數(shù)學(xué)機(jī)械化與公義化同樣，關(guān)于數(shù)學(xué)的發(fā)展擁有巨大的現(xiàn)實(shí)意義。數(shù)學(xué)機(jī)械化使得一些數(shù)學(xué)分支成為重要的研究方向，甚至成為數(shù)學(xué)的主流。這是因?yàn)椋?抽象的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和結(jié)論，常常難于掌握和運(yùn)用。 當(dāng)把

27、抽象的觀點(diǎn)變?yōu)樵敿?xì)可算的過程， 將易于接受和適合應(yīng)用。 運(yùn) 用機(jī)械化思想觀察數(shù)學(xué)，將指引數(shù)學(xué)家從頭認(rèn)識數(shù)學(xué)對象，成立新的模式，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論。吳文俊先生重申：數(shù)學(xué)機(jī)械化方法的應(yīng)用，是數(shù)學(xué)機(jī)械化研究的生命線。在他的指導(dǎo)和帶動(dòng)下， 數(shù)學(xué)機(jī)械化方法已在一些交錯(cuò)研究領(lǐng)域獲取初步應(yīng)用，如理論物理、計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息科學(xué)、自動(dòng)推理、工程幾何、機(jī)械機(jī)構(gòu)學(xué)等等。數(shù)學(xué)機(jī)械化研究不停開辟更多的應(yīng)用方面。此刻，計(jì)算機(jī)科學(xué)被以為是算法的科學(xué)。 以算法為核心的機(jī)械化思想， 既傳統(tǒng)又前瞻， 數(shù)學(xué)機(jī)械化的思想跟著計(jì)算機(jī)科學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展必定會(huì)浸透到數(shù)學(xué)的各個(gè)角落。（ II ）數(shù)學(xué)機(jī)械化關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展歷程的認(rèn)識擁有深淵的歷史意義

28、。吳文俊以為 “公義化的思想導(dǎo)源于古希臘， 機(jī)械化的思想則貫串于整此中國古代數(shù)學(xué)。 ”他剖析了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的光芒成就在數(shù)學(xué)科學(xué)進(jìn)步歷程中的地位和作用， 指出數(shù)學(xué)機(jī)械化思想是我國古代數(shù)學(xué)的精髓，它與源于古希臘的公義化思想，關(guān)于數(shù)學(xué)的發(fā)展都發(fā)揮了巨大作用。 計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展計(jì)算數(shù)學(xué)， 也叫做數(shù)值計(jì)算方法或數(shù)值剖析， 是一門研究計(jì)算問題的解決方法和相關(guān)數(shù)學(xué)理論問題的學(xué)科， 其主要研究相關(guān)的數(shù)學(xué)和邏輯問題如何由計(jì)算機(jī)加以有效解決， 詳細(xì)有代數(shù)方程、 線性代數(shù)方程組、微分方程的數(shù)值解法，函數(shù)的數(shù)值迫近問題，矩陣特色值的求法，最優(yōu)化計(jì)算問題，概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算問題等等，還包含解的存在性、獨(dú)一性、收斂性和偏差剖析等

29、理論問題。計(jì)算是與生活聯(lián)系最直接、 最親密的一環(huán)。在數(shù)學(xué)發(fā)展史中， 計(jì)算占特別重要的地位， 它是古代數(shù)學(xué)的最重要的構(gòu)成部分。所以計(jì)算數(shù)學(xué)的歷史起碼可追述到我國魏晉時(shí)代的數(shù)學(xué)家劉徽的 “割圓術(shù) ”。跟著 15 世紀(jì)歐洲資本主義工商業(yè)盛行，科學(xué)技術(shù)有了新發(fā)展。以分析幾何與微積分為標(biāo)記的近代數(shù)學(xué)發(fā)展，計(jì)算數(shù)學(xué)也有相應(yīng)的發(fā)展。牛頓、瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（ Euler ）等發(fā)展了一般插值方法與差分方法，德國數(shù)學(xué)家高斯和俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫（ Chebyshev ）發(fā)展了最優(yōu)迫近的方法與理論。在高次代數(shù)方程方面發(fā)展了牛頓迭代解法。 在線性代數(shù)方面發(fā)展了高斯消元法以及各樣迭代法。 微積散發(fā)展的同時(shí)，也出現(xiàn)微分方程的

30、失散化與數(shù)值解法?？墒沁@些發(fā)展都遇到詳細(xì)計(jì)算速度的限制。跟著科學(xué)技術(shù)發(fā)展，人們面對需要辦理的數(shù)據(jù)量更大。計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)為大規(guī)模的數(shù)據(jù)辦理創(chuàng)立了條件， 人們也開始真實(shí)認(rèn)識到計(jì)算數(shù)學(xué)的重要性。 集中而系統(tǒng)地研究合用于計(jì)算機(jī)的計(jì)算數(shù)學(xué)馬上變得特別急迫和必需。 計(jì)算數(shù)學(xué)的方法正是在大批的數(shù)值計(jì)算實(shí)踐和理論剖析工作的基礎(chǔ)上真實(shí)發(fā)展起來， 它不不過是一些數(shù)值方法的簡單累積， 并且揭露包含在多種多樣的數(shù)值方法之間的同樣的構(gòu)造和一致的原理。計(jì)算機(jī)和計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展是相輔相成、 相互限制和相互促進(jìn)的。 計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展啟迪了新的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)構(gòu)造，而計(jì)算機(jī)的更新?lián)Q代出對計(jì)算數(shù)學(xué)提出了新的標(biāo)準(zhǔn)和要求。 自計(jì)算機(jī)出生以來經(jīng)典

31、的計(jì)算數(shù)學(xué)已經(jīng)歷了一個(gè)從頭評論、挑選、改造和創(chuàng)新的過程。與此同時(shí)，浮現(xiàn)了很多新觀點(diǎn)、新課題和很多能夠充散發(fā)揮計(jì)算機(jī)潛力、有更大解題能力的新方法。這就構(gòu)成了現(xiàn)代意義下的計(jì)算數(shù)學(xué)。假如沒有計(jì)算機(jī)的問世， 那么今日或許就不會(huì)有作為數(shù)學(xué)中獨(dú)立分支的計(jì)算數(shù)學(xué)。 所以現(xiàn)代意義下的計(jì)算數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用相聯(lián)合產(chǎn)生的交錯(cuò)學(xué)科， 其基本目標(biāo)是為科學(xué)與工程計(jì)算供應(yīng)高效的數(shù)值方法及其應(yīng)用軟件， 內(nèi)容更突出了數(shù)學(xué)的計(jì)算 （即要點(diǎn)研究適合于在計(jì)算機(jī)上運(yùn)轉(zhuǎn)的求解各樣數(shù)學(xué)模型的數(shù)值方法及其應(yīng)用軟件）和計(jì)算的數(shù)學(xué)（即要點(diǎn)研究剖析舍入偏差影響所必需的數(shù)值剖析理論） 。它的內(nèi)容從數(shù)值代數(shù)和數(shù)值迫近開始， 逐漸擴(kuò)展為包含最優(yōu)化

32、計(jì)算、 計(jì)算概率統(tǒng)計(jì)、 計(jì)算幾何和數(shù)學(xué)物理方程數(shù)值解法等內(nèi)容的學(xué)科，并且將進(jìn)一步擴(kuò)展。 新學(xué)科的發(fā)展數(shù)學(xué)的發(fā)展特別快速， 出現(xiàn)了很多新的學(xué)科。 這里我們不過介紹特別擁有代表性的學(xué)科 分形幾何。分形的思想最早出此刻 1875 至 1925 年數(shù)學(xué)家的著作。 分形是這樣一種對象， 將其細(xì)微部分放大后，其構(gòu)造與原來的同樣。比方雪花曲線 一條周長無窮而面積有限的關(guān)閉曲線，而圓周沒有這種現(xiàn)象，它經(jīng)過放大后便變得比較平直。分形是法國數(shù)學(xué)家曼德勃羅特（ B.B. Mandelbrot ）于 1975 年創(chuàng)立的，他在1975 、 1977 和 1982 年先后第一版了三本書，特別是分形 形、機(jī)會(huì)和維數(shù)以及自然界中的分形幾何學(xué) ，創(chuàng)始了分形幾何學(xué)這一新的數(shù)學(xué)分支。 其基本思想是： 客觀事物擁有自相像的層次構(gòu)造， 局部與整體在形態(tài)、 功能、信息、時(shí)間、空間等方面擁有統(tǒng)計(jì)意義上的相像