不等式專項訓(xùn)練(4)

1、第一章 不等式專項訓(xùn)練(4)不等式應(yīng)用【例題精選】：例1 求函數(shù)的定義域。分析：將使解析式有意義需滿足的條件一一列出，構(gòu)成不等式組，解此不等式組即可。解：由題意可得例2 求函數(shù) 的值域。分析：求值域也就是需求關(guān)于y一個不等式，所以先從不等關(guān)系找起。解： 例3 求下列各式的最值（1）當(dāng) （2）當(dāng)?shù)淖畲笾怠＃?）的最大值。解：（1） （2） （3）時上式等號成立，最大值為 說明：（3）中如果這樣去做，解答是錯誤的，因為當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值，容易看出，不存在這樣的實數(shù)x滿足等式成立，為了尋求等號成立的條件，注意到y(tǒng)0，我們考慮先求的最值，這種方法我們稱之為“平方法”。例4 若 的最大值和最小值。解：

2、由例5 的兩根都大于。解：設(shè)方程的兩根為依題意應(yīng)有 所以，方程兩根都大于的充要條件是解法二：考慮二次函數(shù) 它的圖象是開口向上的拋物線，依題意，它的圖象與x軸有兩個交點，且交點都在點的右側(cè)其充要條件是：（1）根的判別式D非負(fù)，以保證有實根；（2）拋物線對稱軸 ；（3）點處的函數(shù)值大于0。即例6 試討論實數(shù)a的取值，指出關(guān)于何時有兩個不同的實數(shù)解，有一個實數(shù)解；沒有實數(shù)解。分析：本題可作求解討論，也可以利用有關(guān)函數(shù)圖像，采用數(shù)形結(jié)合法，這里僅寫出前一種方法。解：原方程等價于 對于一元二次方程（4）當(dāng) ，方程（4）有兩個相異實根 當(dāng) 方程（4）有兩個相等的實根 當(dāng) ，方程（4）無實數(shù)根，當(dāng)然原方程也

3、無實數(shù)根。由于當(dāng)故此時原方程有一個實數(shù)解又總成立 時，原方程有兩個不同的實數(shù)解；當(dāng)時，原方程只有一個實數(shù)解。綜上可得，當(dāng)時，原方程有兩個不同的實數(shù)解；當(dāng)時，原方程只有一個實數(shù)解；當(dāng)時，原方程無實數(shù)解。例7 已知函數(shù)，若對于其定義域內(nèi)任意成立，求實數(shù)m的取值范圍。分析：應(yīng)注意，這里不是求不等式的解集，而是由的解集為R而求m的取值范圍。解： 當(dāng)，顯然對任意,成立，此時 當(dāng)成立當(dāng)為二次函數(shù)，于是對任意成立成立綜上可得m的取值范圍是例8 若函數(shù)對任意實數(shù)x恒取正值，求實數(shù)a的取值范圍。解：即求恒取正值時，實數(shù)a的取值范圍則有或恒取正值。注：由條件下恒取正值的充要條件是或例9 已知關(guān)于在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

4、求a的取值范圍。解： 可知，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件是：解得例10 已知如果對于任意的值都不小于5，求實數(shù)a的取值范圍。分析：由于，通過換元本題可歸結(jié)為二次函數(shù)問題，但要注意定義域。解：于是成立，即對于任意成立，即，對于任意成立，即函數(shù)于是所求的實數(shù)a的取值范圍由下式?jīng)Q定：例11 用一張邊長為a的正方形白鐵，在它的四個角各剪去一個小正方形，制成一個無蓋的盒子，要使制成的盒子的容積最大，剪去的小正方形的邊長是多少？解：設(shè)剪去的小正方形的邊長為x，則制成的盒子的底是邊長為的正方形，盒子的高為x，則盒子的容積是要使容積V最大，就要使這三個數(shù)的和為定值（常數(shù)），因為所以，當(dāng)故剪去的小正方形的邊長是原正

5、方形邊長的的時候，制成的盒子的容積最大。例12 一輪船的燃料費和其速度的立方成正比，已知速度為10km/h時燃料費為20元，其余費用（它和速度無關(guān)）為每小時320元，問當(dāng)輪船的速度為何值時，航行每千米的費用總和最小，這時每小時費用的總和為多少？分析：根據(jù)題給條件列出函數(shù)關(guān)系式，再利用均值不等式求解。解：設(shè)輪船的速度為，燃料費用y元，航行每千米費用總和為元依題意，上式成立，當(dāng)且僅當(dāng)每千米航行費用總和費最小，這時每小時的費用總和為小結(jié)：弄清各個量之間的關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵。例13 四面體兩兩互相垂直，若它的六條棱之和為定值，求四面體體積的最大值。解：，六條棱之和為k，四面體的體積為H。

6、故四面體體積的最大值為。例14 某種型號的載重汽車從開始剎車到停穩(wěn)車所滑行的距離s（米）與汽車行駛的速度v（千米/時）的平方，以及這汽車的總重量T（噸）的乘積成正比，經(jīng)測試，這種汽車若以60千米/時的速度空車行駛，那么從開始剎車到停穩(wěn)車要滑行20米，現(xiàn)有一輛載有自身重量4倍的貨物的這種汽車。要求在發(fā)現(xiàn)前方35米處有障礙物時，能在離障礙物5米以外處停穩(wěn)車，并要給司機(jī)從發(fā)現(xiàn)障礙物到開始剎車有0.6秒的反應(yīng)時間，試問這輛載重汽車允許的最大時速是多少千米？分析：讀懂題意，搞清涉及幾個量，相互關(guān)系是什么，是不能急躁的，根據(jù)在司機(jī)作出反應(yīng)的0.6秒內(nèi)汽車行駛的距離加上從剎車到停穩(wěn)滑行的距離之和應(yīng)不大于30

7、米而列不等式是這里的關(guān)鍵。解：設(shè)這輛載重汽車自身重量為T0噸由已知有又設(shè)所求的汽車最大時速為x千米，則【專項訓(xùn)練】：一、選擇題：1、函數(shù)的最小值是ABC1D不存在2、設(shè)的最大值是A40B10C4D23、如果的最小值是ABC1D4、若關(guān)于的兩根同號，則k的取值范圍是ABCD5、設(shè)關(guān)于x的不等式，那么實數(shù)k的取值集合是ABCD二、填空題：6、設(shè)不等式對任何實數(shù)x都成立，則k的取值范圍是。7、現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水200克，生產(chǎn)上需要含鹽在5%以上，6%以下的食鹽水，設(shè)需要加入含鹽4%的食鹽水為x，則x的范圍是。三、解答題：8、求函數(shù)的定義域。9、解關(guān)于10、建造一個容積為立方米的無蓋的圓柱形容器，如果用作底的材料每平方米3元，用作側(cè)面的材料每平方米2元，問怎樣設(shè)計容器尺寸，才能使制作的成本最低（不計拼接時的用料和其他損耗）。【答 案】：一、1、B2、D3