數(shù)列求和常用的五種方法

1、數(shù)列求和常用的五種方法數(shù)列求和常用的五種方法、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式:n(a an) n 2na1n(n 1)d22、等比數(shù)列求和公式:na1a1(1 qn)(q 1)a anq1 q(q 1)3、4、nk2k 11 n(n 1)(2n61)5、Snk3k 11 2n(n 1)1.已知log3 x-L,求 xlog 2 3的前n項(xiàng)和.解：由log 3 Xlog2 3log3 Xlog 3 2由等比數(shù)列求和公式得Snx X2=X(1 X1 X12n)-=112nc n 1Snk n(n 1)k 12二、錯(cuò)位相減法求和這種方法

2、是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種 方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和，其中 an卜 bn 分別是 等差數(shù)列和等比數(shù)列.例 2.求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解：由題可知，(2n 1)xn1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n1的通項(xiàng)與等比數(shù)列xn1的通項(xiàng)之積當(dāng) x 1時(shí)，Sn1 3 5 7當(dāng)x 1時(shí)1 2n 1 n 22n 1 n設(shè) xSn 僅 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn（設(shè)制錯(cuò)位）(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x42xn 1 (2n 1)xn (錯(cuò)位相減)再利用等比數(shù)列的求和公式得：1 xn 1(1 x)Sn 1 2x (2n 1)x

3、n1 xSn(2n 1)xn 1 (2n 1)xn (1 x)(1 x)2a 0,a 1,數(shù)列an是首項(xiàng)為a,公比也為a的等比數(shù)列，令bn an lg an (n N),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn。解析：n .n an a ,bn n a lg aSn (a 2a2 3a3nan)lg a234n 1aSn (a2a3ana ) lg a-得：(1 a)Sn (a a2an nan1)lgaSna1g a2 1 (1 n na)an 。(1 a)2點(diǎn)評(píng)：設(shè)數(shù)列an的等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，則數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn求解，均可用錯(cuò)位相減法三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所

4、用的方法，就是將一個(gè)數(shù) 列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)3 an）.12。（1）求力）和f(1)n的值;f(U)n(2)數(shù)列1-h ir1an 滿足：anf (0) f (-)n2 f(-) nn 1f( )nf，數(shù)例4.函數(shù)f(x)對(duì)任意x R,都有f (x) f (1 x)歹！J an等差數(shù)列嗎請(qǐng)給與證明。（3 ）44an 132竺，nbn2試比較Tn與Sn的大小。解：（1）令x2,可得 f(；) 4f(1) f (n n n11-)f(-) nf(1-) n(2),1,2f(0)f(-)f(2)一 anf(l)f(- nn n1) f(n 2)nf(j f n21

5、f (-) f (1)f(0) 2anf(0)f(1)1 f(-) nnf (一f(1)n,1 ,f(0) (n21)(3)bnTn116(1 子16(11(n 1) n，3216Sn四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列 適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例5.求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1 1,1 4,解:a11設(shè) Sn (1 1)(4)(a a7)1 7， FaJ n 1 a3n3n2)2222將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得(1 43n 2)1Sn (1 a（分組）當(dāng)a= 1時(shí)，s(3n 1)n21)n（分組求和）例6.11 時(shí)，

6、Sn - 11 - a求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前(3n 1)n2n項(xiàng)和.(3n 1)n2n31) =(2kk 1-23k k)Sn = 2nnn32k 3 k kk 1k 1k 1（分組）=2(1323n3)3(1222n2) (1 2n)解：設(shè) akk(k 1)(2k 1)2k33k2knSn k(k 1)(2k k 1將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得_ n2(n 1)2 n(n 1)(2n 1) n(n 1) _ n(n 1)2(n 2)五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用 .裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì) 是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng), 最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：(1)an f (n1)f(n)(2)Sin1cosn cos(n 1)tan(n 1)tann(31n(n 1)(4)(2n)2(2n 1)(2n 1)(5)ann(n1)(n 2)1 (n 1)(n一2)(6)an例7.n 2n(n 1)解：設(shè)a12n2(n1) nn(n 1)12n1n 2n 11(n 1)2n，則 Sn 1(n 1)2n求數(shù)列12 , 2. 3 ' ' . n 、n=,的前n項(xiàng)和.1=(、. 2,1)（裂項(xiàng)）12.3例8. 在數(shù)