材料力學(xué)習(xí)題及答案

1、材料力學(xué)-學(xué)習(xí)指導(dǎo)及習(xí)題答案第 一 章 緒論1-1 圖示圓截面桿，兩端承受一對方向相反、力偶矩矢量沿軸線且大小均為M的力偶作用。試問在桿件的任一橫截面m-m上存在何種內(nèi)力分量，并確定其大小。 解：從橫截面m-m將桿切開，橫截面上存在沿軸線的內(nèi)力偶矩分量Mx，即扭矩，其大小等于M。 1-2 如圖所示，在桿件的斜截面m-m上，任一點A處的應(yīng)力p=120 MPa，其方位角=20，試求該點處的正應(yīng)力與切應(yīng)力。 解：應(yīng)力p與斜截面m-m的法線的夾角=10，故 pcos=120cos10=118.2MPa psin=120sin10=20.8MPa 1-3 圖示矩形截面桿，橫截面上的正應(yīng)力沿截面高度線性分

2、布，截面頂邊各點處的正應(yīng)力均為max=100 MPa，底邊各點處的正應(yīng)力均為零。試問桿件橫截面上存在何種內(nèi)力分量，并確定其大小。圖中之C點為截面形心。 解：將橫截面上的正應(yīng)力向截面形心C簡化，得一合力和一合力偶，其力即為軸力 FN=1001060.040.1/2=200103 N =200 kN 其力偶即為彎矩 Mz=200(50-33.33)10-3 =3.33 kNm 1-4 板件的變形如圖中虛線所示。試求棱邊AB與AD的平均正應(yīng)變及A點處直角BAD的切應(yīng)變。 解： 第 二 章 軸向拉壓應(yīng)力2-1試計算圖示各桿的軸力，并指出其最大值。解：(a) FNAB=F,FNBC=0,FN，max=F

3、(b) FNAB=F,FNBC=F,FN，max=F(c) FNAB=2 kN, FN2BC=1 kN,FNCD=3 kN,FN，max=3 kN(d) FNAB=1 kN,FNBC=1 kN,FN，max=1 kN 2-2 圖示階梯形截面桿AC，承受軸向載荷F1=200 kN與F2=100 kN，AB段的直徑d1=40 mm。如欲使BC與AB段的正應(yīng)力相同，試求BC段的直徑。解：因BC與AB段的正應(yīng)力相同，故 2-3 圖示軸向受拉等截面桿，橫截面面積A=500 mm2，載荷F=50 kN。試求圖示斜截面m-m上的正應(yīng)力與切應(yīng)力，以及桿內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。解： 24（2-11） 圖示桁

4、架，由圓截面桿1與桿2組成，并在節(jié)點A承受載荷F=80kN作用。桿1、桿2的直徑分別為d1=30mm和d2=20mm，兩桿的材料相同，屈服極限s=320MPa，安全因數(shù)ns=2.0。試校核桁架的強度。解：由A點的平衡方程 可求得1、2兩桿的軸力分別為由此可見，桁架滿足強度條件。25（2-14） 圖示桁架，承受載荷F作用。試計算該載荷的許用值F。設(shè)各桿的橫截面面積均為A，許用應(yīng)力均為。 解：由C點的平衡條件 由B點的平衡條件 1桿軸力為最大，由其強度條件 26（2-17） 圖示圓截面桿件,承受軸向拉力F作用。設(shè)拉桿的直徑為d，端部墩頭的直徑為D，高度為h，試從強度方面考慮，建立三者間的合理比值。

5、已知許用應(yīng)力=120MPa，許用切應(yīng)力=90MPa，許用擠壓應(yīng)力bs=240MPa。 解：由正應(yīng)力強度條件由切應(yīng)力強度條件 由擠壓強度條件式(1)：式(3)得 式(1)：式(2)得 故 D：h：d=1.225：0.333：1 27（2-18） 圖示搖臂，承受載荷F1與F2作用。試確定軸銷B的直徑d。已知載荷F1=50kN，F(xiàn)2=35.4kN，許用切應(yīng)力=100MPa，許用擠壓應(yīng)力bs=240MPa。 解：搖臂ABC受F1、F2及B點支座反力FB三力作用，根據(jù)三力平衡匯交定理知FB的方向如圖（b）所示。由平衡條件由切應(yīng)力強度條件 由擠壓強度條件 故軸銷B的直徑 第 三 章 軸向拉壓變形3-1 圖

6、示硬鋁試樣，厚度=2mm，試驗段板寬b=20mm，標距l(xiāng)=70mm。在軸向拉F=6kN的作用下，測得試驗段伸長l=0.15mm，板寬縮短b=0.014mm。試計算硬鋁的彈性模量E與泊松比。 解：由胡克定律 3-2(3-5) 圖示桁架，在節(jié)點A處承受載荷F作用。從試驗中測得桿1與桿2的縱向正應(yīng)變分別為1=4.010-4與2=2.010-4。試確定載荷F及其方位角之值。已知桿1與桿2的橫截面面積A1=A2=200mm2，彈性模量E1=E2=200GPa。 解：桿1與桿2的軸力（拉力）分別為 由A點的平衡條件 (1)2+(2)2并開根，便得式(1)：式(2)得 3-3(3-6) 圖示變寬度平板，承受

7、軸向載荷F作用。試計算板的軸向變形。已知板的厚度為，長為l，左、右端的寬度分別為b1與b2，彈性模量為E。 解： 3-4(3-11) 圖示剛性橫梁AB，由鋼絲繩并經(jīng)無摩擦滑輪所支持。設(shè)鋼絲繩的軸向剛度（即產(chǎn)生單位軸向變形所需之力）為k，試求當(dāng)載荷F作用時端點B的鉛垂位移。 解：設(shè)鋼絲繩的拉力為T，則由橫梁AB的平衡條件鋼絲繩伸長量由圖（b）可以看出，C點鉛垂位移為l/3，D點鉛垂位移為2l/3，則B點鉛垂位移為l，即 3-5(3-12) 試計算圖示桁架節(jié)點A的水平與鉛垂位移。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA。 解：(a) 各桿軸力及伸長（縮短量）分別為 因為3桿不變形，故A點水平位移為零，鉛垂位

8、移等于B點鉛垂位移加2桿的伸長量，即 (b) 各桿軸力及伸長分別為 A點的水平與鉛垂位移分別為(注意AC桿軸力雖然為零，但對A位移有約束) 3-6(3-14) 圖a所示桁架，材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可用方程n=B表示（圖b），其中n和B為由實驗測定的已知常數(shù)。試求節(jié)點C的鉛垂位移。設(shè)各桿的橫截面面積均為A。 (a) (b) 解：2根桿的軸力都為 2根桿的伸長量都為 則節(jié)點C的鉛垂位移 3-7(3-16) 圖示結(jié)構(gòu)，梁BD為剛體，桿1、桿2與桿3的橫截面面積與材料均相同。在梁的中點C承受集中載荷F作用。試計算該點的水平與鉛垂位移。已知載荷F=20kN，各桿的橫截面面積均為A=100mm2，彈性模量E

9、=200GPa，梁長l=1000mm。 解：各桿軸力及變形分別為 梁BD作剛體平動，其上B、C、D三點位移相等 3-8(3-17) 圖示桁架，在節(jié)點B和C作用一對大小相等、方向相反的載荷F。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試計算節(jié)點B和C間的相對位移B/C。 解： 根據(jù)能量守恒定律，有 3-9(3-21) 由鋁鎂合金桿與鋼質(zhì)套管組成一復(fù)合桿，桿、管各載面的剛度分別為E1A1與E2A2。復(fù)合桿承受軸向載荷F作用，試計算鋁鎂合金桿與鋼管橫載面上的正應(yīng)力以及桿的軸向變形。 解：設(shè)桿、管承受的壓力分別為FN1、FN2，則 FN1+FN2=F (1) 變形協(xié)調(diào)條件為桿、管伸長量相同，即聯(lián)立求解方程(1)

10、、(2)，得 桿、管橫截面上的正應(yīng)力分別為 桿的軸向變形 3-10(3-23) 圖示結(jié)構(gòu)，桿1與桿2的彈性模量均為E，橫截面面積均為A，梁BC為剛體，載荷F=20kN，許用拉應(yīng)力t=160MPa，許用壓應(yīng)力c=110MPa。試確定各桿的橫截面面積。 解：設(shè)桿1所受壓力為FN1，桿2所受拉力為FN2，則由梁BC的平衡條件得 變形協(xié)調(diào)條件為桿1縮短量等于桿2伸長量，即 聯(lián)立求解方程(1)、(2)得 因為桿1、桿2的軸力相等，而許用壓應(yīng)力小于許用拉應(yīng)力，故由桿1的壓應(yīng)力強度條件得 3-11(3-25) 圖示桁架，桿1、桿2與桿3分別用鑄鐵、銅和鋼制成，許用應(yīng)力分別為1=40MPa，2=60MPa，3

11、=120MPa，彈性模量分別為E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若載荷F=160kN，A1=A2=2A3，試確定各桿的橫截面面積。 解：設(shè)桿1、桿2、桿3的軸力分別為FN1(壓)、FN2(拉)、FN3(拉)，則由C點的平衡條件 桿1、桿2的變形圖如圖(b)所示，變形協(xié)調(diào)條件為C點的垂直位移等于桿3的伸長，即 聯(lián)立求解式(1)、(2)、(3)得 由三桿的強度條件 注意到條件 A1=A2=2A3，取A1=A2=2A3=2448mm2。 3-12(3-30) 圖示組合桿，由直徑為30mm的鋼桿套以外徑為50mm、內(nèi)徑為30mm的銅管組成，二者由兩個直徑為10mm的鉚釘連接在

12、一起。鉚接后，溫度升高40，試計算鉚釘剪切面上的切應(yīng)力。鋼與銅的彈性模量分別為Es=200GPa與Ec=100GPa，線膨脹系數(shù)分別為l s=12.510與l c=1610。 解：鋼桿受拉、銅管受壓，其軸力相等，設(shè)為FN，變形協(xié)調(diào)條件為鋼桿和銅管的伸長量相等，即鉚釘剪切面上的切應(yīng)力 3-13(3-32) 圖示桁架，三桿的橫截面面積、彈性模量與許用應(yīng)力均相同，并分別為A、E與，試確定該桁架的許用載荷F。為了提高許用載荷之值，現(xiàn)將桿3的設(shè)計長度l變?yōu)閘+。試問當(dāng)為何值時許用載荷最大，其值Fmax為何。 解：靜力平衡條件為 變形協(xié)調(diào)條件為 聯(lián)立求解式(1)、(2)、(3)得 桿3的軸力比桿1、桿2大

13、，由桿3的強度條件 若將桿3的設(shè)計長度l變?yōu)閘+，要使許用載荷最大，只有三桿的應(yīng)力都達到，此時 變形協(xié)調(diào)條件為 第 四 章 扭轉(zhuǎn)4-1(4-3) 圖示空心圓截面軸，外徑D=40mm，內(nèi)徑d=20mm，扭矩T=1kNm。試計算橫截面上的最大、最小扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，以及A點處（A=15mm）的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。 解：因為與成正比，所以4-2(4-10) 實心圓軸與空心圓軸通過牙嵌離合器連接。已知軸的轉(zhuǎn)速n=100 r/min，傳遞功率P=10 kW，許用切應(yīng)力=80MPa，d1/d2=0.6。試確定實心軸的直徑d，空心軸的內(nèi)、外徑d1和d2。 解：扭矩由實心軸的切應(yīng)力強度條件 由空心軸的切應(yīng)力強度條件 4-3

14、(4-12) 某傳動軸，轉(zhuǎn)速n=300 r/min，輪1為主動輪，輸入功率P1=50kW，輪2、輪3與輪4為從動輪，輸出功率分別為P2=10kW，P3=P4=20kW。 (1) 試求軸內(nèi)的最大扭矩； (2) 若將輪1與輪3的位置對調(diào)，試分析對軸的受力是否有利。 解：(1) 輪1、2、3、4作用在軸上扭力矩分別為軸內(nèi)的最大扭矩若將輪1與輪3的位置對調(diào)，則最大扭矩變?yōu)?最大扭矩變小，當(dāng)然對軸的受力有利。 4-4(4-21) 圖示兩端固定的圓截面軸，承受扭力矩作用。試求支反力偶矩。設(shè)扭轉(zhuǎn)剛度為已知常數(shù)。 解：(a) 由對稱性可看出，MA=MB，再由平衡可看出MA=MB=M (b)顯然MA=MB，變形

15、協(xié)調(diào)條件為解得(c) (d)由靜力平衡方程得 變形協(xié)調(diào)條件為聯(lián)立求解式(1)、(2)得 4-5(4-25) 圖示組合軸，由套管與芯軸并借兩端剛性平板牢固地連接在一起。設(shè)作用在剛性平板上的扭力矩為M=2kNm，套管與芯軸的切變模量分別為G1=40GPa與G2=80GPa。試求套管與芯軸的扭矩及最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。 解：設(shè)套管與芯軸的扭矩分別為T1、T2，則 T1+T2 =M=2kNm (1) 變形協(xié)調(diào)條件為套管與芯軸的扭轉(zhuǎn)角相等，即 聯(lián)立求解式(1)、(2)，得套管與芯軸的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分別為 4-6(4-28) 將截面尺寸分別為100mm90mm與90mm80mm的兩鋼管相套合，并在內(nèi)管兩端施加扭

16、力矩M0=2kNm后，將其兩端與外管相焊接。試問在去掉扭力矩M0后，內(nèi)、外管橫截面上的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。 解：去掉扭力矩M0后，兩鋼管相互扭，其扭矩相等，設(shè)為T， 設(shè)施加M0后內(nèi)管扭轉(zhuǎn)角為0。去掉M0后，內(nèi)管帶動外管回退扭轉(zhuǎn)角1（此即外管扭轉(zhuǎn)角），剩下的扭轉(zhuǎn)角(0-1)即為內(nèi)管扭轉(zhuǎn)角，變形協(xié)調(diào)條件為 內(nèi)、外管橫截面上的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分別為 4-7(4-29) 圖示二軸，用突緣與螺栓相連接，各螺栓的材料、直徑相同，并均勻地排列在直徑為D=100mm的圓周上，突緣的厚度為=10mm，軸所承受的扭力矩為M=5.0 kNm，螺栓的許用切應(yīng)力=100MPa，許用擠壓應(yīng)力 bs=300MPa。試確定螺栓的直

17、徑d。 解：設(shè)每個螺栓承受的剪力為FS，則 由切應(yīng)力強度條件 由擠壓強度條件 故螺栓的直徑 第 五 章 彎曲應(yīng)力1(51)、平衡微分方程中的正負號由哪些因素所確定?簡支梁受力及Ox坐標取向如圖所示。試分析下列平衡微分方程中哪一個是正確的。 解：B正確。 平衡微分方程中的正負號由該梁Ox坐標取向及分布載荷q(x)的方向決定。截面彎矩和剪力的方向是不隨坐標變化的，我們在處理這類問題時都按正方向畫出。但是剪力和彎矩的增量面和坐標軸的取向有關(guān)，這樣在對梁的微段列平衡方程式時就有所不同，參考下圖。當(dāng)Ox坐標取向相反，向右時，相應(yīng)(b)，A是正確的。但無論A、B彎矩的二階導(dǎo)數(shù)在q向上時，均為正，反之，為負

18、。 2(52)、對于承受均布載荷q的簡支梁，其彎矩圖凸凹性與哪些因素相關(guān)?試判斷下列四種答案中哪一種是錯誤的。 解：A是錯誤的。梁截面上的彎矩的正負號，與梁的坐標系無關(guān)，該梁上的彎矩為正，因此A是錯誤的。彎矩曲線和一般曲線的凸凹相同，和y軸的方向有關(guān)，彎矩二階導(dǎo)數(shù)為正時，曲線開口向著y軸的正向。q(x)向下時，無論x軸的方向如何，彎矩二階導(dǎo)數(shù)均為負，曲線開口向著y軸的負向，因此B、C、D都是正確的。 3(53)、應(yīng)用平衡微分方程畫出下列各梁的剪力圖和彎矩圖，并確定|FQ|max和|M|max。（本題和下題內(nèi)力圖中，內(nèi)力大小只標注相應(yīng)的系數(shù)。） 解： 4(54)、試作下列剛架的彎矩圖，并確定|M

19、|max。 解： 5(55)、靜定梁承受平面載荷，但無集中力偶作用，其剪力圖如圖所示。若已知A端彎矩M(0)=0，試確定梁上的載荷(包括支座反力)及梁的彎矩圖。 解： 6(56)、已知靜定梁的剪力圖和彎矩圖，試確定梁上的載荷(包括支座反力)。 解： 7(57)、靜定梁承受平面載荷，但無集中力偶作用，其剪力圖如圖所示。若已知E端彎矩為零。請： （1）在Ox坐標中寫出彎矩的表達式； （2）試確定梁上的載荷及梁的彎矩圖。 解： 8(5-10) 在圖示梁上，作用有集度為m=m(x)的分布力偶。試建立力偶矩集度、剪力及彎矩間的微分關(guān)系。 解：用坐標分別為x與x+dx的橫截面，從梁中切取一微段，如圖(b)

20、。平衡方程為 9(5-11) 對于圖示桿件，試建立載荷集度（軸向載荷集度q或扭力矩集度m）與相應(yīng)內(nèi)力（軸力或扭矩）間的微分關(guān)系。 解：(a) 用坐標分別為x與x+dx的橫截面，從桿中切取一微段，如圖(c)。平衡方程為 (b) 用坐標分別為x與x+dx的橫截面，從桿中切取一微段，如圖(d)。平衡方程為 10(5-18) 直徑為d的金屬絲，環(huán)繞在直徑為D的輪緣上。試求金屬絲內(nèi)的最大正應(yīng)變與最大正應(yīng)力。已知材料的彈性模量為E。 解： 11(5-23) 圖示直徑為d的圓木，現(xiàn)需從中切取一矩形截面梁。試問： (1) 如欲使所切矩形梁的彎曲強度最高，h和b應(yīng)分別為何值； (2) 如欲使所切矩形梁的彎曲剛度

21、最高，h和b應(yīng)分別為何值； 解：(1) 欲使梁的彎曲強度最高，只要抗彎截面系數(shù) 取極大值，為此令 (2) 欲使梁的彎曲剛度最高，只要慣性矩取極大值，為此令 12(5-24) 圖示簡支梁，由18工字鋼制成，在外載荷作用下，測得橫截面A底邊的縱向正應(yīng)變=3.010-4，試計算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。已知鋼的彈性模量E=200GPa，a=1m。 解：梁的剪力圖及彎矩圖如圖所示，從彎矩圖可見： 13(5-32) 圖示槽形截面鑄鐵梁，F(xiàn)=10kN，Me=70kNm，許用拉應(yīng)力 t=35MPa，許用壓應(yīng)力c=120MPa。試校核梁的強度。 解：先求形心坐標，將圖示截面看成一大矩形減去一小矩形慣性矩 彎矩圖如

22、圖所示，C截面的左、右截面為危險截面。 在C左截面，其最大拉、壓應(yīng)力分別為 在C右截面，其最大拉、壓應(yīng)力分別為 故 14(5-35) 圖示簡支梁，由四塊尺寸相同的木板膠接而成，試校核其強度。已知載荷F=4kN，梁跨度l=400mm，截面寬度b=50mm，高度h=80mm，木板的許用應(yīng)力=7MPa，膠縫的許用切應(yīng)力=5MPa。 解：從內(nèi)力圖可見木板的最大正應(yīng)力 由剪應(yīng)力互等定理知：膠縫的最大切應(yīng)力等于橫截面上的最大切應(yīng)力 可見，該梁滿足強度條件。 15(5-41) 圖示簡支梁，承受偏斜的集中載荷F作用，試計算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。已知F=10kN，l=1m，b=90mm，h=180mm。 解：

23、16(5-42) 圖示懸臂梁，承受載荷F1與F2作用，已知F1=800N，F(xiàn)2=1.6kN，l=1m，許用應(yīng)力=160MPa。試分別按下列要求確定截面尺寸： (1) 截面為矩形，h=2b； (2) 截面為圓形。 解：(1) 危險截面位于固定端 (2) 17(5-45) 一鑄鐵梁，其截面如圖所示，已知許用壓應(yīng)力為許用拉應(yīng)力的4倍，即c=4 t。試從強度方面考慮，寬度b為何值最佳。 解：又因y1+y2=400 mm，故y1=80 mm，y2=320 mm。將截面對形心軸z取靜矩，得 18(5-54) 圖示直徑為d的圓截面鑄鐵桿，承受偏心距為e的載荷F作用。試證明：當(dāng)ed/8時，橫截面上不存在拉應(yīng)力

24、，即截面核心為R=d/8的圓形區(qū)域。 解： 19(5-55) 圖示桿件，同時承受橫向力與偏心壓力作用，試確定F的許用值。已知許用拉應(yīng)力t=30MPa，許用壓應(yīng)力c=90MPa。 解：故F的許用值為4.85kN。 第 七 章應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)分析 7-1(7-1b) 已知應(yīng)力狀態(tài)如圖所示（應(yīng)力單位為 ），試用解析法計算圖中指定截面的正應(yīng)力與切應(yīng)力。解： 與 截面的應(yīng)力分別為： ； ； ； MPa 7-2(7-2b)已知應(yīng)力狀態(tài)如圖所示（應(yīng)力單位為 ），試用解析法計算圖中指定截面的正應(yīng)力與切應(yīng)力。解： 與 截面的應(yīng)力分別為： ； ； ； 7-3(7-2d)已知應(yīng)力狀態(tài)如圖所示（應(yīng)力單位為 ），試用圖解

25、法計算圖中指定截面的正應(yīng)力與切應(yīng)力。解：如圖，得：指定截面的正應(yīng)力 切應(yīng)力 7-4(7-7) 已知某點A處截面AB與AC的應(yīng)力如圖所示（應(yīng)力單位為 ），試用圖解法求主應(yīng)力的大小及所在截面的方位。 解：由圖，根據(jù)比例尺，可以得到：， ， 7-5(7-10c)已知應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，試畫三向應(yīng)力圓，并求主應(yīng)力、最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。 解：對于圖示應(yīng)力狀態(tài)， 是主應(yīng)力狀態(tài)，其它兩個主應(yīng)力由 、 、 確定。在 平面內(nèi)，由坐標( , )與( , )分別確定 和 點，以 為直徑畫圓與 軸相交于 和 。再以 及 為直徑作圓，即得三向應(yīng)力圓。由上面的作圖可知，主應(yīng)力為， ， ， 7-6(7-12)已知應(yīng)力狀態(tài)

26、如圖所示（應(yīng)力單位為 ），試求主應(yīng)力的大小。解： 與 截面的應(yīng)力分別為： ； ； ；在 截面上沒有切應(yīng)力，所以 是主應(yīng)力之一。 ； ； ； 7-7(7-13)已知構(gòu)件表面某點處的正應(yīng)變 ， ，切應(yīng)變 ，試求該表面處 方位的正應(yīng)變 與最大應(yīng)變 及其所在方位。解： 得： 7-8(7-20)圖示矩形截面桿，承受軸向載荷F作用，試計算線段AB的正應(yīng)變。設(shè)截面尺寸b和h與材料的彈性常數(shù)E和均為已知。解： ， ， ， AB的正應(yīng)變?yōu)?7-9(7-21)在構(gòu)件表面某點O處，沿 ， 與 方位，粘貼三個應(yīng)變片，測得該三方位的正應(yīng)變分別為 ， 與 ，該表面處于平面應(yīng)力狀態(tài)，試求該點處的應(yīng)力 ， 與 。已知材料的彈

27、性模量 ，泊松比 解：顯然， ， 并令 ，于是得切應(yīng)變： 7-10(7-6)圖示受力板件，試證明A點處各截面的正應(yīng)力與切應(yīng)力均為零。證明：若在尖點A處沿自由邊界取三角形單元體如圖所示，設(shè)單元體 、 面上的應(yīng)力分量為 、 和 、 ，自由邊界上的應(yīng)力分量為 ，則有 由于 、 ，因此，必有 、 、 。這時，代表A點應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓縮為 坐標的原點，所以A點為零應(yīng)力狀態(tài)。 7-11(7-15)構(gòu)件表面某點 處，沿 ， ， 與 方位粘貼四個應(yīng)變片，并測得相應(yīng)正應(yīng)變依次為 ， ， 與 ，試判斷上述測試結(jié)果是否可靠。解：很明顯， ， 得： 又 得： 根據(jù)實驗數(shù)據(jù)計算得到的兩個 結(jié)果不一致，所以，上述測量結(jié)果

28、不可靠。 第 八 章 應(yīng)力狀態(tài)與強度理論1、 (8-4)試比較圖示正方形棱柱體在下列兩中情況下的相當(dāng)應(yīng)力 ，彈性常數(shù)E和均為已知。（a） 棱柱體軸向受壓；（b） 棱柱體在剛性方模中軸向受壓。解：對于圖（a）中的情況，應(yīng)力狀態(tài)如圖（c）對于圖（b）中的情況，應(yīng)力狀態(tài)如圖（d）所以， ， 2、 (8-6)圖示鋼質(zhì)拐軸，承受集中載荷F作用。試根據(jù)第三強度理論確定軸AB的直徑。已知載荷F=1kN，許用應(yīng)力=160Mpa。解：扭矩 彎矩 由 得： 所以， 3、 (8-10)圖示齒輪傳動軸，用鋼制成。在齒輪上，作用有徑向力 、切向力 ；在齒輪上，作用有切向力 、徑向力 。若許用應(yīng)力=100Mpa，試根據(jù)第

29、四強度理論確定軸徑。解：計算簡圖如圖所示，作 、 、 圖。從圖中可以看出，危險截面為B截面。其內(nèi)力分量為： 由第四強度理論得： 4、8-4 圓截面軸的危險面上受有彎矩y、扭矩x和軸力Nx作用，關(guān)于危險點的應(yīng)力狀態(tài)有下列四種。試判斷哪一種是正確的。 請選擇正確答案。 （圖中微元上平行于紙平面的面對應(yīng)著軸的橫截面） 答：B 5、 （8-13)圖示圓截面鋼桿，承受載荷 ， 與扭力矩 作用。試根據(jù)第三強度理論校核桿的強度。已知載荷 N， ，扭力矩 ，許用應(yīng)力=160Mpa。解：彎矩 滿足強度條件。 6、 (8-25)圖示鑄鐵構(gòu)件，中段為一內(nèi)徑D=200mm、壁厚=10mm的圓筒，圓筒內(nèi)的壓力p=1Mp

30、a，兩端的軸向壓力F=300kN，材料的泊松比=0.25，許用拉應(yīng)力t=30Mpa。試校核圓筒部分的強度。 解： ， ， 由第二強度理論：滿足強度條件。 7、 (8-27)圖薄壁圓筒，同時承受內(nèi)壓p與扭力矩M作用，由實驗測得筒壁沿軸向及與軸線成 方位的正應(yīng)變分別為 和 。試求內(nèi)壓p與扭力矩M之值。筒的內(nèi)徑為D、壁厚、材料的彈性模量E與泊松比均為已知。解： ， ， ， 很顯然， 8、 (8-22)圖示油管，內(nèi)徑D=11mm，壁厚=0.5mm，內(nèi)壓p=7.5MPa，許用應(yīng)力=100Mpa。試校核油管的強度。解： ， ， 由第三強度理論， 滿足強度條件。 9、 (8-11)圖示圓截面桿，直徑為d，承

31、受軸向力F與扭矩M作用，桿用塑性材料制成，許用應(yīng)力為。試畫出危險點處微體的應(yīng)力狀態(tài)圖，并根據(jù)第四強度理論建立桿的強度條件。 解：危險點的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。 ， 由第四強度理論， ，可以得到桿的強度條件： 10、(8-17)圖示圓截面圓環(huán)，缺口處承受一對相距極近的載荷 作用。已知圓環(huán)軸線的半徑為 ，截面的直徑為 ，材料的許用應(yīng)力為 ，試根據(jù)第三強度理論確定 的許用值。解：危險截面在A或B截面A： ， ， 截面B： ， 由第三強度理論可見，危險截面為A截面。， 得： 即 的許用值為： 11、 (8-16)圖示等截面剛架，承受載荷 與 作用，且 。試根據(jù)第三強度理論確定 的許用值 。已知許用應(yīng)力為

32、，截面為正方形，邊長為 ，且 。解：危險截面在A截面或C、D截面，C截面與D截面的應(yīng)力狀態(tài)一樣。C截面： 由第三強度理論， 得： A截面： 由第三強度理論， 得： 比較兩個結(jié)果，可得：的許用值： 12、(8-25)球形薄壁容器，其內(nèi)徑為 ，壁厚為 ，承受壓強為p之內(nèi)壓。試證明壁內(nèi)任一點處的主應(yīng)力為 ， 。證明：取球坐標 ，對于球閉各點，以球心為原點。， ， 由于結(jié)構(gòu)和受力均對稱于球心，故球壁各點的應(yīng)力狀態(tài)相同。且由于球壁很薄。 ， 對于球壁上的任一點，取通過該點的直徑平面（如圖），由平衡條件 對于球壁內(nèi)的任一點， 因此，球壁內(nèi)的任一點的應(yīng)力狀態(tài)為：， 證畢。 第 九 章 壓桿穩(wěn)定問題 9-1(

33、9-8) 圖示正方形桁架，各桿各截面的彎曲剛度均為EI，且均為細長桿。試問當(dāng)載荷F為何值時結(jié)構(gòu)中的個別桿件將失穩(wěn)？如果將載荷F的方向改為向內(nèi)，則使桿件失穩(wěn)的載荷F又為何值？解：(1) 此時，CD桿是壓桿。， 時，CD桿失穩(wěn)。(2) F的方向改為向內(nèi)時，AC、CB、BD、DB桿均為壓桿。 其受到的壓力均為 時，壓桿失穩(wěn)。 9-2(9-22) 圖示桁架，在節(jié)點C承受載荷F=100kN作用。二桿均為圓截面，材料為低碳鋼Q275，許用壓應(yīng)力=180Mpa，試確定二桿的桿徑。解： 取結(jié)點C分析。 AC桿是拉桿， 得： BC桿是壓桿， 得： 考慮到壓桿失穩(wěn)，由于 故： 得： 因此：AC桿的直徑為： BC桿

34、的直徑為： 9-3(9-12) 圖示活塞桿，用硅鋼制成，其直徑d=40mm，外伸部分的最大長度l=1m，彈性模量E=210Gpa， =100。試確定活塞桿的臨界載荷。解：看成是一端固定、一端自由。此時 ，而 ，所以， 。 用大柔度桿臨界應(yīng)力公式計算。 9-4(9-7) 試確定圖示細長壓桿的相當(dāng)長度與臨界載荷。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。解：由于右段可水平移動而不能轉(zhuǎn)動，所以右端有力偶 。取桿的左段為隔離體，得令 得： 它的通解為： 當(dāng) 時， 得： 得： 所以，當(dāng) 時， 即： (n=1,2,3) 取n=1， 得最小值 所以，該細長壓桿的相當(dāng)長度 ，臨界載荷為 9-5(9-2) 圖示剛桿彈簧系統(tǒng)，試求其

35、臨界載荷。圖中的k為彈簧常量。解：設(shè)彈簧伸長為 ,則 ，那么支反力為： 。各力對彈簧所在截面取矩，則： 即得： 9-6(9-13) 圖示結(jié)構(gòu)，由橫梁AC與立柱BD組成，試問當(dāng)載荷集度q=20N/mm與q=40N/mm時，截面B的撓度分別為何值。橫梁與立柱均用低碳鋼制成，彈性模量E=200GPa，比例極限 =200MPa。解：截面幾何性質(zhì)：No20b工字鋼， ，梁長 圓截面立柱： ， ， ，長 ， 結(jié)構(gòu)為一次靜不定，由變形協(xié)調(diào)條件 （1） 當(dāng) 時 （2） 當(dāng) 時 9-7(9-15) 圖示矩形截面壓桿，有三種支持方式。桿長l=300mm，截面寬度b=20mm，高度h=12mm，彈性模量E=200G

36、pa， =50， =0，中柔度桿的臨界應(yīng)力公式為：試計算它們的臨界載荷，并進行比較。解： ， ， ，（a） （b） （c） 從計算結(jié)果看出，第三種支持方式的臨界載荷最大。 9-8(9-5) 圖示兩端球形鉸支細長壓桿，彈性模量E=200Gpa。試用歐拉公式計算其臨界荷載。（1） 圓形截面，d=30mm，l=1.2m；（2） 矩形截面，h=2b=50mm，l=1.2m；（3） No14工字鋼，l=1.9m。解：(1) (2) (3) 9-9(9-17) 圖示連桿，用硅鋼制成，試確定其臨界載荷。中柔度桿的臨界應(yīng)力公式為 在 平面內(nèi)，長度因數(shù) ；在 平面內(nèi)，長度因數(shù) 。解： 考慮 平面失穩(wěn)考慮 平面失

37、穩(wěn)采用中柔度桿的臨界應(yīng)力公式計算 9-10(9-19) 試檢查圖示千斤頂絲杠的穩(wěn)定性。若千斤頂?shù)淖畲笃鹬亓?，絲杠內(nèi)徑 ，絲杠總長 ，襯套高度 ，穩(wěn)定安全因數(shù) ，絲杠用 鋼制成，中柔度桿的臨界應(yīng)力公式為 解：看成是一端固定、一端自由。 ，最大伸長長度 ， 用中柔度桿的臨界應(yīng)力公式計算。 所以，千斤頂絲杠不會失穩(wěn)。 第 十二 章 非對稱彎曲 1( 121)在梁的圖示截面上，彎矩 M=10 kNm。試計算最大彎曲正應(yīng)力。已知截面的慣性矩Iy=Iz= 4.75106mm4，Iyz=2.78106mm4。 題10l圖解： 2(123)圖示懸臂梁，承受載荷F1與 F2作用，試校核梁的強度。已知 F1=

38、5 kN，F(xiàn)2=30kN，許用拉應(yīng)力st=30 MPa，許用壓應(yīng)力sc = 90 MPa。解：在固定端截面上 梁強度不滿足要求。 3(128)圖示用鋼板加固的木梁，承受載荷 F=10 kN作用，鋼與木的彈性模量分別為Es= 200 GPa與 Ew= 10 GPa。試求鋼板與木梁橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力以及截面 C的撓度。解： 由上冊附錄E知 第 十三 章 能量法131（111）圖示各梁，彎曲剛度EI均為常數(shù)。試計算梁的應(yīng)變能及所加載荷的相應(yīng)位移。 題13l (a) 圖解： 題13l (a) 利用對稱性梁的應(yīng)變能： 題13l (b) 圖 題13l (b) 解：梁的應(yīng)變能： 132（112）圖示變

39、寬度平板，承受軸向載荷F作用。試計算板件的總伸長。板件的厚度為d，長度為l，左、右端的截面寬度分別為b1與b2 ，材料的彈性模量為E。 題132圖 解： 注意：（1）該題為變截面，各截面橫截面上正應(yīng)力不同。（2）各截面上正應(yīng)力不同，故不能用 ，只能用 計算。 133（113）圖示等截面直桿，承受軸向載荷F作用。設(shè)桿的橫截面面積為A，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為 ，其中c為已知常數(shù)。試計算外力所作之功。解： 注意：該題為材料非線性（1） 對軸向拉壓， 仍適用；（2） 不適用；（3） 仍適用。解法二： 134（114）圖示圓柱形大螺距彈簧，承受軸向拉力F作用。試用能量法證明彈簧的軸向變形為式中：D為彈簧的

40、平均直徑，d為彈簧絲的直徑，n為彈簧的圈數(shù)，a為螺旋升角，E為彈性模量，G為切變模量。解 題134圖 135（115）圖示等截面直桿，承受一對方向相反、大小均為F的橫向力作用。設(shè)截面寬度為b、拉壓剛度為EA，材料的泊松比為m。試利用功的互等定理，證明桿的軸向變形為 狀態(tài)題135圖狀態(tài)解：用功（位移）互等定理關(guān)鍵: (1)找出狀態(tài)，使狀態(tài)的外力在（狀態(tài)）所求的位移上做功； (2)狀態(tài)的外力作用下，（狀態(tài)）外力作用點、(狀態(tài)）外力相應(yīng)位移容易求出。用功的互等定理, 136（116）圖示纖維增強復(fù)合材料，軸1沿纖維方向，軸2垂直于纖維方向。當(dāng)正應(yīng)力sl單獨作用時（圖a），材料沿1和2方向的正應(yīng)變分別

41、為 式中，E1與m12分別為復(fù)合材料的縱向彈性模量與縱向泊松比。當(dāng)s2單獨作用時（圖b），上述二方向的正應(yīng)變則分別為 式中，E1與m21分別為復(fù)合材料的橫向彈性模量與橫向泊松比。試證明： 即上述四個彈性常數(shù)中，只有三個是獨立的。狀態(tài) 題136圖狀態(tài)解：設(shè)垂直于纖維方向邊長為b，纖維方向邊長為a，厚度為t，用功互等定理 137（117）試用卡氏第二定理解題131。 題13l (a) 圖解： 由13l (a)知梁的應(yīng)變能： 題13l (b) 圖 解： 題13l (b)梁的應(yīng)變能： 138（118）圖示桁架，在節(jié)點B承受載荷F作用。試用卡氏第二定理計算該節(jié)點的鉛垂位移DB。各桿各截面的拉壓剛度均為E

42、A。題138圖解： 139（119）圖示剛架，承受載荷F作用。試用卡氏第二定理計算截面C的轉(zhuǎn)角。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。題139圖解：由于截面沒有轉(zhuǎn)角相應(yīng)的外力偶，故需虛加一個力偶m。注意（1）用卡氏第二定理時，在求某點位移（轉(zhuǎn)角）時，則在求位移點沿求位移方向（轉(zhuǎn)角）必須有一相應(yīng)的集中力（集中力偶）。若實際結(jié)構(gòu)不存在相應(yīng)的力（力偶），則需虛加相應(yīng)力（力偶）。在對相應(yīng)力（力偶）求偏導(dǎo)后，令虛加力（力偶）為零。（2）卡氏第二定理可有二種形式（以彎曲為例）、 （3）當(dāng)求下梁A點的位移 時，必須先把A點外力記為FA，再用 求A 點位移 ，最后，F(xiàn)A用F表示。若直接用 求出的 物理意義為A點F方向位移與C

43、點F方向位移代數(shù)和。 1310（1111）圖示等截面桿，承受軸向均布載荷q及集中載荷F作用。試用卡氏第二定理計算桿端截面A的軸向位移。設(shè)拉壓剛度EA為常數(shù)。題1311圖 解： 1（133）圖示圓截面鋼桿，直徑 d= 20 mm，桿長 l= 2 m，彈性模量 E=210GPa，一重量為P= 500 N的沖擊物，沿桿軸自高度 h=100 mm處自由下落。試在下列兩種情況下計算桿內(nèi)橫截面上的最大正應(yīng)力。桿與突緣的質(zhì)量以及突緣與沖擊物的變形均忽略不計。 （1）沖擊物直接落在桿的突緣上（圖a）； （2）突緣上放有彈簧，其彈簧常量k=200 Nmm（圖 b）。解： 2（135）圖示等截面剛架，一重量為P=

44、300 N的物體，自高度 h50 mm處自由下落。試計算截面A的最大鉛垂位移與剛架內(nèi)的最大正應(yīng)力。材料的彈性模量 E= 200 GPa，剛架的質(zhì)量與沖擊物的變形均忽略不計。題135圖M圖M0圖解： 3（136）圖示懸臂梁，一重量為P的物體，以速度v沿水平方向沖擊懸臂梁端部的截面A。試求該截面的最大水平位移與梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。材料的彈性模量為E，梁的質(zhì)量與沖擊物的變形均忽略不計。解： 4（137）圖示兩根正方形截面簡支架，一重量為P= 600 N的物體，自高度 h= 20 mm處自由下落。試在下列兩種情況下計算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力； （1）二梁間無間隙； （2）二梁間的間隙d=2mm。已知二

45、梁的跨度 l= 1m，根截面的邊寬 a= 30 mm，彈性模量 E= 200 GPa。梁的質(zhì)量與沖擊物的變形均忽略不計。解：（1） 一次靜不定問題。設(shè)兩梁相互作用為R，由變形協(xié)調(diào)條件： （2）設(shè)上梁沖擊點變形到最低點時動載荷為Pd ，兩梁相互作用為Rd，由變形協(xié)調(diào)條件： 沖擊物位能改變?yōu)?上梁的變形能為 下梁的變形能為 由能量守恒由（1）、（2）解得： 第 十四 章 靜不定問題1(141)試判斷圖示各結(jié)構(gòu)的靜不定次數(shù)。解：（a） 4次靜不定問題（3次內(nèi)力靜不定，1次外力靜不定）。（b） 3次靜不定問題（2次內(nèi)力靜不定，1次外力靜不定）。（c） 1次靜不定問題（1次內(nèi)力靜不定）。（d） 1次靜不

46、定問題（1次內(nèi)力靜不定）。 2(132)圖示各剛架，彎曲剛度EI均為常數(shù)。試求支反力，并畫彎矩圖。解：（a） 1次靜不定問題。相當(dāng)系統(tǒng)如上右圖。相當(dāng)系統(tǒng)M圖單位載荷結(jié)構(gòu) 3(143)圖示圓弧形小曲率桿，彎曲劇度EI為常數(shù)。試求支反力。對于題（b），并計算截面A的水平位移。解：（a） 1次靜不定問題。 相當(dāng)系統(tǒng)M圖單位載荷結(jié)構(gòu)解：（b） 1次靜不定問題。 相當(dāng)系統(tǒng) 單位載荷結(jié)構(gòu)計算截面A的水平位移略。 4(144)圖示桁架，各桿各截面的拉壓剛度均為EA。試求桿BC的軸力。解： 1次靜不定問題。相當(dāng)結(jié)構(gòu) 單位載荷結(jié)構(gòu) 5(145)圖示小曲率圓環(huán)，承受載荷F作用。試求截面A與C的彎矩以及截面A與B的相對線位移。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。題145圖相當(dāng)系統(tǒng)解：（1）求截面A與C的彎矩由對稱性取相當(dāng)系統(tǒng)如圖求qA單位載荷結(jié)構(gòu)求DAB單位載荷結(jié)構(gòu)（2）求截面A與B的相對線位移 6（146）圖示結(jié)構(gòu)，承受載荷F作用。試計算桿BC的軸力及節(jié)點B的鉛垂位移。(a) 題146圖解：（a）取相當(dāng)系統(tǒng)如圖相當(dāng)系統(tǒng)M圖N圖單位載荷結(jié)構(gòu)M0圖N0圖（b）解略 7(147)試畫圖示剛架的彎矩圖。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。(a)(b)題147圖（a） 提示：由對稱性取