奧數第一講因式分解(一)

1、教學視頻-公開課，優(yōu)質課展示課，課堂實錄(第一講因式分解(一 )多項式的因式分解是代數式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應 用于初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具.因式分解方法 靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需 的，而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思維能力，都有著十分獨 特的作用.初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法.本講及下一講在中學數學教材基礎上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹.1 運用公式法在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即 為因式分解中常用的公式，例如：(1)

2、a 2-b2=(a+b)(a -b);(2) a 2土2ab+S=(a ± b)2;(3) a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);(4) a 3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2).下面再補充幾個常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6) a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7) a n-bn=(a-b)(a n-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中 n 為正整數；(8) a n-bn=(a+b)(a n-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn

3、-1)，其中 n 為偶數；(9) a n+bn=(a+b)(a n-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中 n 為奇數.運用公式法分解因式時，要根據多項式的特點，根據字母、系數、指 數、符號等正確恰當地選擇公式.例1分解因式：(1) -2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4;(2) x 3-8y3-z3-6xyz;(3) a 2+b2+c2-2bc+2ca-2ab;(4) a 7-a5b2+a2b5-b7.解(1)原式=-2xn-1yn(x 4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x 2n) 2-2x2ny2+(y2)=-2xn-1yn(x 2n-

4、y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2. 原式=x3+(-2y) 3+(-z) 3-3x(-2y)( -Z)=(x -2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz-2yz). 原式=(a2-2ab+6)+( -2bc+2ca)+c2=(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2.本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b) 2+c2+2(-b)c+2ca+2a( -b)=(a-b+c)2 原式=(a7-a5b2)+(a 2b5-b7)=a 5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a 2-b2)(a 5+b5)=(a+b)(a -b)(a+b)

5、(a 4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b) 2(a-b)(a 4-a3b+a2b2-ab3+b4)例 2 分解因式：a3+b3+c3-3abc.本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式 分析我們已經知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3aH+b3的正確性，現將此公式變形為a3+b3=(a+b) 3-3ab(a+b).這個一式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導.解原式=(a+b) 3-3ab(a+b)+c 3-3abc=(a+b)3+c 3 -3ab(a+b+c)=(a+b+c) (a+b) 2-c(a+b)+c 2 -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+

6、b2+c2-ab-bc-ca).說明 公式(6)是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結論，例如：我們將公式(6)變形為a3+b3+c3-3abc教師之家-免費中小學教學資源下載網(教學視頻-公開課，優(yōu)質課展示課，課堂實錄(教師之家-免費中小學教學資源下載網(教學視頻-公開課，優(yōu)質課展示課，課堂實錄(=2 G + b + C(a-b) 3 4- (b-c) 2 + (c-a) H顯然，當 a+b+c=0時，則 a3+b3+c3=3abc；當 a+b+c> 0 時，則 a3+b3+c3-3abc> 0，即a3+b3+c3> 3abc,而且，當且僅當a=b=c時，等號成立.

7、如果令 x=a3>0，y=b3>0，z=c3>0，則有等號成立的充要條件是x=y=z .這也是一個常用的結論.例 3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1.分析 這個多項式的特點是：有16項，從最高次項x15開始，x的次數 順次遞減至0,由此想到應用公式an-bn來分解.解因為x16-1=(x-1)(x 15+x14+x13+x2+x+1)，所以原式二石=冇_(E8 + l)(x2 + 1)(盟 + l)(x - 1)=(Xs +(囂 2 + )(盟 + 1).說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧， 這一技巧在等式變形中很常用.2.

8、拆項、添項法因式分解是多項式乘法的逆運算.在多項式乘法運算時，整理、化簡 常將幾個同類項合并為一項，或將兩個僅符號相反的同類項相互抵消為 零.在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項， 即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合 相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項.拆項、添項的目的是使多項式 能用分組分解法進行因式分解.例4分解因式：x3-9x+8.分析 本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法， 注意一下拆項、添項的目的與技巧.解法1將常數項8拆成-1+9.原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x 2+x+1)-

9、9(x-1)=(x-1)(x 2+x-8).解法2將一次項-9x拆成-x-8x.原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1)-8(x-1)=(x-1)(x 2+x-8).解法3將三次項x3拆成9x3-8x3.原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+( -8x3+8)=9x(x+1)(x -1)-8(x-1)(x 2+x+1)=(x-1)(x 2+x-8).解法4添加兩項-x2+x2.原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x -8)(x -1)=(x-1)(x 2+x-8).說明由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因

10、式時，要拆哪些 項，添什么項并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種.例5分解因式：(1) x 9+x6+x3-3 ;(2) (m2-1)(n 2-1)+4mn；(3) (x+1) 4+(x2-1)2+(x-1)4;a 3b-ab3+a2+b2+1.解(1)將-3拆成-1-1-1.原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x 6-1)+(x 3-1)=(x3-1)(x 6+x3+1)+(x 3-1)(x 3+1)+(x 3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x 2+x+1)(x 6+2x3+3).將4

11、mn拆成2mn+2mn原式=(m-1)(n 2-1)+2mn+2mn=n2n2-ni-n2+1+2 mn+2mn=(mn2+2 mn+1)(m2-2 mn+i2)=(mn+1)2-(m- n)2=(mn+mn+1)(mn-m+n+1). 將(x2-1)2拆成 2(x2-1)2-(x2-1)2.原式=(x+1) 4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1) 4+2(x+1) 2(x-1)2+(x-1)4 -(x2-1)2=(x+1) 2+(x-1)2 2-(x2-1)2 =(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x 2+3).添加兩項+ab-ab.原式=a3b-ab3

12、+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a 2-ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b2+1) =a(a-b) b(a+b)+1+(ab+b 2+1)=a(a -b)+1(ab+b 2+1)22=(a -ab+1)(b +ab+1).說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結構較復雜，所以不 易想到添加+ab-ab，而且添加項后分成的三項組又無公因式，而是先將前 兩組分解，再與第三組結合，找到公因式這道題目使我們體會到拆項、 添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經驗.3 換元法換元法指的是將一個較復雜的代數式中的某一部分看作

13、一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰.例 6 分解因式：(x2+x+1)(x 2+x+2)-12.分析 將原式展開，是關于x的四次多項式，分解因式較困難我們 不妨將x2+x看作一個整體，并用字母y來替代，于是原題轉化為關于y 的二次三項式的因式分解問題了.解設x2+x=y，則原式=(y+1)(y+2) -12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x 2+x-2)(x 2+x+5)=(x-1)(x+2)(x 2+x+5).說明 本題也可將x2+x+1看作一個整體，比如今x2+x+1=u, 一樣可以 得到同樣的結果，有興趣的同學不妨試一試.例7分解因式：(x

14、2+3x+2)(4x 2+8x+3)-90.分析 先將兩個括號內的多項式分解因式，然后再重新組合.解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2)-90.令 y=2x2+5x+2，則原式=y(y+1) -90=y2+y-90=(y+10)(y -9)=(2x2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x -1).說明 對多項式適當的恒等變形是我們找到新元(y)的基礎.例8分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x2.解設 x2+4x

15、+8=y,則原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x 2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x 2+5x+8).說明 由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新 元代換，根據題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一 起變形，換兀法的本質是簡化多項式.例 9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6.解法 1 原式=6(x4+1) + 7x(x 2-1) -36x2=6 (x4-2x2+1)+2x2 +7x(x2-1)-36x22 2 2 2=6(x -1)2+2x +7x(x -1)-36x=6(x2-1) 2+7x(x 2-1)

16、-24x2=2(x 2-1)-3x 3(x2-1)+8x=(2x2-3x-2)(3x 2+8x-3)=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3).說明 本解法實際上是將x1看作一個整體，但并沒有設立新元來代 替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設置新元來代替整體.解法2原式二/ (6x2 +7x-36- + -)r 2 11=X36| »r + p+ 7 x-p36賽J令s丄二七則J + 4 = F+乙于是 XX原式=x26(t 2+2)+7t-36=x2(6t 2+7t-24)=x2(2t -3)(3t+8)=x22(x -1/x) -33(x -1/x)+82 2=(2x

17、 -3x-2)(3x +8x-3)=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3).例 10 分解因式：(x 2+xy+y2) -4xy(x 2+y2).分析 本題含有兩個字母，且當互換這兩個字母的位置時，多項式保 持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式.對于較難分解的二元對稱式， 常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式.解原式=(x+y) 2-xy 2-4xy(x+y) 2-2xy.令 x+y=u，xy=v，貝U原式=(U-v) 2-4v(u 2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2 .練習一1 .分解因式：(1).1x

18、 n +xn -1 2 1r +4;(4) (x 5+x4+x3+x2+x+1)2-x5 .2. 分解因式：(1) x 3+3x2-4;(2) x 4-11x2y2+y2;(3) x 3+9x2+26x+24;(4) x 4-12x+323 .3. 分解因式：(1) (2x 2-3x+1)2-22x2+33x-1;(2) x 4+7x3+14x2+7x+1;(3) (x+y) 3+2xy(1-x-y)-1;x+3)(x 2-1)(x+5) -20 .第一講因式分解(一 )多項式的因式分解是代數式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應 用于初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具.因式分解方

19、法 靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需 的，而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思維能力，都有著十分獨 特的作用.初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法.本講及下一講在中學數學教材基礎上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹.1 運用公式法在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即 為因式分解中常用的公式，例如：(1) a 2-b2=(a+b)(a -b);(2) a 2土2ab+S=(a ± b)2;(3) a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);(4) a 3-b3=(a-b)(a

20、2+ab+b2).下面再補充幾個常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6) a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b+c-ab-bc-ca)；(7) a n-bn=(a-b)(a n-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中 n 為正整數；(8) a n-bn=(a+b)(a n-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中 n 為偶數；(9) a n+bn=(a+b)(a n-1-an-2b+an-3b2 -abn-2+bn-1)，其中 n 為奇數.運用公式法分解因式時，要根據多項式的特點，根據字母

21、、系數、指 數、符號等正確恰當地選擇公式.例1分解因式：5n-1 n3n-1n+2n-1n+4(1) -2x y+4x y -2x y ;(2) x 3-8y3-z3-6xyz;(3) a 2+b2+c2-2bc+2ca-2ab;(4) a 7-a5b2+a2b5-b7.解(1)原式=-2xn-1yn(x 4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x 2n) 2-2x2ny2+(y2)=-2xn-1yn(x 2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2. 原式=x3+(-2y) 3+(-z) 3-3x(-2y)( -Z)=(x -2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+x

22、z-2yz). 原式=(a2-2ab+6)+( -2bc+2ca)+c2=(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2.本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b) 2+c2+2(-b)c+2ca+2a( -b)=(a-b+c)2 原式=(a7-a5b2)+(a 2b5-b7)=a 5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a 2-b2)(a 5+b5)=(a+b)(a -b)(a+b)(a 4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b) 2(a-b)(a 4-a3b+a2b2-ab3+b4)例 2 分解因式：a3+b3+c3-3abc.本題實際上就是用因式分

23、解的方法證明前面給出的公式 分析我們已經知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3aH+b3的正確性，現將此公式變形為a3+b3=(a+b) 3-3ab(a+b).這個一式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導.解原式=(a+b) 3-3ab(a+b)+c 3-3abc=(a+b)3+c 3 -3ab(a+b+c)=(a+b+c) (a+b) 2-c(a+b)+c 2 -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca).說明 公式(6)是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結論，例如：我們將公式(6)變形為a3+b3+c3-3abc教師之家-免費中小學教學資

24、源下載網(教學視頻-公開課，優(yōu)質課展示課，課堂實錄(教師之家-免費中小學教學資源下載網(教學視頻-公開課，優(yōu)質課展示課，課堂實錄(=2 G + b + C(a-b) 3 4- (b-c) 2 + (c-a) H顯然，當 a+b+c=0時，則 a3+b3+c3=3abc；當 a+b+c> 0 時，則 a3+b3+c3-3abc> 0，即a3+b3+c3> 3abc,而且，當且僅當a=b=c時，等號成立.如果令 x=a3>0，y=b3>0，z=c3>0，則有等號成立的充要條件是x=y=z .這也是一個常用的結論.例 3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x

25、+1.分析 這個多項式的特點是：有16項，從最高次項x15開始，x的次數 順次遞減至0,由此想到應用公式an-bn來分解.解因為x16-1=(x-1)(x 15+x14+x13+x2+x+1)，所以原式二石=冇_(E8 + l)(x2 + 1)(盟 + l)(x - 1)=(Xs +(囂 2 + )(盟 + 1).說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧， 這一技巧在等式變形中很常用.2.拆項、添項法因式分解是多項式乘法的逆運算.在多項式乘法運算時，整理、化簡 常將幾個同類項合并為一項，或將兩個僅符號相反的同類項相互抵消為 零.在對某些多項式分解因式時，需要恢復那

26、些被合并或相互抵消的項， 即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合 相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項.拆項、添項的目的是使多項式 能用分組分解法進行因式分解.例4分解因式：x3-9x+8.分析 本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法， 注意一下拆項、添項的目的與技巧.解法1將常數項8拆成-1+9.原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x 2+x-8).解法2將一次項-9x拆成-x-8x.原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1)-8(x-1)=

27、(x-1)(x 2+x-8).解法3將三次項x3拆成9x3-8x3.原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+( -8x3+8)=9x(x+1)(x -1)-8(x-1)(x 2+x+1)=(x-1)(x 2+x-8).解法4添加兩項-x2+x2.原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x -8)(x -1)=(x-1)(x 2+x-8).說明由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些 項，添什么項并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種.例5分解因式：(1) x 9+x6+x3-

28、3 ;(2) (m2-1)(n 2-1)+4mn；(3) (x+1) 4+(x2-1)2+(x-1)4;a 3b-ab3+a2+b2+1.解(1)將-3拆成-1-1-1.原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x 6-1)+(x 3-1)=(x3-1)(x 6+x3+1)+(x 3-1)(x 3+1)+(x 3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x 2+x+1)(x 6+2x3+3).將4mn拆成2mn+2mn原式=(m-1)(n 2-1)+2mn+2mn=n2n2-ni-n2+1+2 mn+2mn=(mn2+2 mn+1)(m2-2 mn+i2)=(mn+1)2

29、-(m- n)2=(mn+mn+1)(mn-m+n+1). 將(x2-1)2拆成 2(x2-1)2-(x2-1)2.原式=(x+1) 4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1) 4+2(x+1) 2(x-1)2+(x-1)4 -(x2-1)2=(x+1) 2+(x-1)2 2-(x2-1)2 =(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x 2+3).添加兩項+ab-ab.原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a 2-ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b2+1) =a(a-b) b(a+

30、b)+1+(ab+b 2+1)=a(a -b)+1(ab+b 2+1)22=(a -ab+1)(b +ab+1).說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結構較復雜，所以不 易想到添加+ab-ab，而且添加項后分成的三項組又無公因式，而是先將前 兩組分解，再與第三組結合，找到公因式這道題目使我們體會到拆項、 添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經驗.3 換元法換元法指的是將一個較復雜的代數式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰.例 6 分解因式：(x2+x+1)(x 2+x+2)-12.分析 將原式展開，是關于x的四次多項式，分解因式

31、較困難我們 不妨將x2+x看作一個整體，并用字母y來替代，于是原題轉化為關于y 的二次三項式的因式分解問題了.解設x2+x=y，則原式=(y+1)(y+2) -12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x 2+x-2)(x 2+x+5)=(x-1)(x+2)(x 2+x+5).說明 本題也可將x2+x+1看作一個整體，比如今x2+x+1=u, 一樣可以 得到同樣的結果，有興趣的同學不妨試一試.例7分解因式：(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3)-90.分析 先將兩個括號內的多項式分解因式，然后再重新組合.解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+

32、3)(x+2)(2x+1)-90=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2)-90.令 y=2x2+5x+2，則原式=y(y+1) -90=y2+y-90=(y+10)(y -9)=(2x2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x -1).說明 對多項式適當的恒等變形是我們找到新元(y)的基礎.例8分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x2.解設 x2+4x+8=y,則原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x 2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x 2+5x+8).說明 由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新 元代換，根據