現(xiàn)代控制理論 2-4 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣

1、第二章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法 1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的分析 3 線性定常離散系統(tǒng)的分析 4 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 一、定義及表達式 零初始條件下，輸出向量的拉氏變換式與輸入向量 的拉氏變換式之間的傳遞關(guān)系傳遞函數(shù)矩陣。 & x(t = Ax(t + Bu(t sX(s = AX(s + BU (s y (t = Cx(t + Du(t Y(s = CX(s + DU(s X(s = (sI A BU (s 1 Y(s = C(sI A BU (s + DU(s = G (s U(s 1 G (s = C(sI A B + D 1 q p 1 Y1 (s G11 (s

2、 G12 (s L G1 p (s U1 (s Y (s G (s G (s L G (s U (s 22 2p 2 = 21 2 M M M M M Yq (s Gq1 (s Gq 2 (s L Gqp (s U p (s Y1 (s = G11 (s U1 (s + G12 (s U 2 (s + L + G1 j (s U j (s + L + G1 p (s U p (s Yi (s = Gi1 (s U1 (s + Gi 2 (s U 2 (s + L + Gij (s U j (s + L + Gip (s U p (s Yq (s = Gq1 (s U1 (s + Gq 2 (s

3、 U 2 (s + L + Gqj (s U j (s + L + Gqp (s U p (s Gij (s = Yi (s , i = 1,2, L , q; j = 1,2 ,L ,p U j (s 第 j 個輸入與第i 個輸出之間的傳遞函數(shù)。 例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程，求傳遞函數(shù)矩陣。 & x1 0 1 x1 1 0 u1 x = 0 2 x + 0 1 u 2 2 &2 y1 1 0 x1 y = 0 1 x 2 2 1 1 1 s 1 (s A -1 = = s 0 s + 2 0 1 解: G (s = C(sI A B + D 1 1 0 s = 0 1 0 s (s + 2 1

4、s+2 1 1 s(s + 2 1 0 = s 1 0 1 0 s+2 1 s (s + 2 1 s+2 傳遞 函數(shù) 組成 的矩 陣！ 2 例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程，求系統(tǒng)的傳遞矩陣。 & x1 0 1 x1 1 0 u1 x = 0 2 x + 0 1 u 2 2 &2 y1 1 0 x1 y = 0 1 x 2 2 1 1 s s (s + 2 1 G (s = C(sI A B + D = 1 0 s+2 u1 y1 u2 y1 解: 1 Y1 s Y = 2 0 1 s (s + 2 U1 1 U 2 s+2 u1 y2 u2 y2 1 1 Y1 = U1 + U2 s s (s + 2

5、 1 Y2 = U2 s+2 MATLAB 相關(guān)函數(shù) MATLAB 相關(guān)函數(shù) & x1 0 1 x1 1 0 u1 x = 0 2 x + 0 1 u , 2 2 &2 1 G (s = s 0 1 s (s + 2 1 s+2 y1 1 0 x1 y = 0 1 x 2 2 求傳遞函數(shù)矩陣 的表達式 A = 0 1; 0 -2; B = 1 0; 0 1; C= 1 0; 0 1; D = 0; sys = ss(A,B,C,D tf (sys 返回 3 Transfer function from input 1 to output. 1 #1: s #2: 0 Transfer func

6、tion from input 2 to output. 1 #1: -s2 + 2 s 1 -s+2 #2: 前頁 波音777飛機俯仰 波音777飛機俯仰 通道動力學分析 通道動力學分析 ：攻角 q ：俯仰角速率 ：俯仰角 e ：升降舵偏轉(zhuǎn)角 & 56.7 0 0.232 0.313 q = 0.0139 0.426 0 q + 0.0203 , y = 0 0 1 q & e & 0 56.7 0 0 4 利用 MABLAB 繪制階躍響應(yīng)曲線 A=-0.313 56.7 0; -0.0139 -0.426 0; 0 56.7 0; B=0.232; 0.0203; 0; C=0 0 1;

7、D=0; sysSS = ss(A,B,C,D sysTF = tf (sysSS step(sysSS, r, sysTF, bx; grid on; 返回 利用 MABLAB 繪制階躍響應(yīng)曲線 Step Response 7 6 5 Amplitude 4 3 2 1 0 0 5 10 15 Time (sec 20 25 30 返回 前頁 5 二、開環(huán)與閉環(huán)傳遞矩陣 u、y、z、e 分別為輸入、 U(s 輸出、反饋、偏差向量， U(s、Y(s、Z(s、E(s分 Z(s 別為對應(yīng)的拉氏變換式。 E(s G(s H(s Y (s G(s 前向通道傳遞矩陣；H(s 反饋通道傳遞矩陣 Z(s =

8、 H (s Y(s = H (s G (s E(s 開環(huán)傳遞矩陣：偏差向量至反饋向量之間的傳遞矩陣 H (s G (s 返回 相乘順序與信號傳遞順序相反！順序不能交換！ Y(s = G (s E(s = G (s U(s Z(s U (s Z (s E(s G(s H(s Y (s = G (s U(s H (s Y(s = G (s U(s G (s H (s Y(s I + G (s H(s Y(s = G (s U(s Y(s = I + G (s H (s G (s U(s 1 閉環(huán)傳遞矩陣：輸入向量至輸出向量之間的傳遞矩陣 (s = I + G (s H (s G (s 1 返回 6

9、 E ( s = U (s Z ( s = U(s H (s Y(s = U(s H (s G (s E(s U (s Z (s E(s G(s H(s Y (s I + H(s G (s E(s = U(s E(s = I + H (s G (s U(s 1 返回 偏差傳遞矩陣：輸入向量至偏差向量之間的傳遞矩陣 e (s = I + H (s G (s 1 U (s E(s 總結(jié) Z (s G(s H(s Y (s 開環(huán)傳遞矩陣：偏差向量至反饋向量 H (s G (s 閉環(huán)傳遞矩陣：輸入向量至輸出向量 (s = I + G (s H (s G (s 1 偏差傳遞矩陣：輸入向量至偏差向量 e

10、(s = I + H (s G (s 1 返回 7 例：已知雙輸入雙輸出 單位反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖： 求系統(tǒng)開環(huán)、閉環(huán)傳遞矩陣。 u1 z1 e 1 1 2s + 1 y1 1 解： Z1 (s = 1 E1 (s Y 2s + 1 u2 e2 z2 1 s +1 y2 Z 2 (s = E1 (s + Y2 1 E2 (s 2s + 1 反饋輸出! 開環(huán)傳遞矩陣：偏差向量至反饋向量的傳遞矩陣 Z1 (s Z (s = 2 1 2s + 1 1 0 E (s 1 1 E2 (s s + 1 Z(s = G p (s E(s 前頁 Z(s = G p (s E(s 1 開環(huán) 0 2s + 1 傳遞

11、G p (s = 1 1 矩陣 s + 1 u1 e 1 1 2s + 1 y1 1 u2 e2 1 s +1 y2 Y(s = G p (s E(s U (s Z(s E(s Gp(s Y (s 開環(huán)傳遞矩陣即 前向通路傳遞矩陣! 8 U (s Z(s E(s Gp(s Y (s u1 e 1 1 2s + 1 y1 1 u2 閉環(huán)傳遞矩陣：輸入向量 至輸出向量的傳遞矩陣 (s = I + G P (s G P (s 1 e2 1 s +1 y2 2s + 1 s 1 I + G P (s 1 = 2(2s+ 1 2(s + 2 0 s +1 s + 2 1 2(s + 1 (s = 2s

12、+ 1 2(s + 2 0 1 s + 2 閉環(huán)傳遞矩陣：輸入向量至 輸出向量之間的傳遞矩陣 u1 e 1 1 2s + 1 y1 1 1 2 s + 1 U (s = 1 U (s Y1 (s = 1 1 y2 u2 e2 1 1 2(s + 1 1+ 2s + 1 s +1 1 1 1 U1 (s Y2 (s = s + 1 U 2 (s + 1 1 1 1+ 1+ 1+ s +1 2s + 1 s +1 (s 1 2s + 1 = U 2 (s + U1 (s 2(s + 2 s+2 1 0 Y1 (s 2(s + 1 U1 (s Y (s = 2 s + 1 1 U 2 (s 2 2(

13、s + 2 s + 2 9 三、解耦系統(tǒng)的傳遞矩陣 Y1 (s G11 (s G12 (s L G1 p (s U1 (s Y (s G (s G (s L G (s U (s 22 2p 2 = 21 2 M M M M M Yq (s Gq1 (s Gq 2 (s L Gqp (s U p (s Y2 (s = G21 (s U1 (s + G22 (s U 2 (s + L + G2 p (s U p (s M Yq (s = Gq1 (s U1 (s + Gq 2 (s U 2 (s + L + Gqp (s U p (s Y1 (s = G11 (s U1 (s + G12 (s U 2 (s + L + G1 p (s U p (s 返回 每個輸入量影響所有輸出量；每個輸出量受所