第01節(jié)微分方程的基本概念ppt課件

1、 一、問題的引入一、問題的引入 二、微分方程的定義與分類二、微分方程的定義與分類 三、微分方程的解與初值問題三、微分方程的解與初值問題 第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 華南理工大學數(shù)學科學學院華南理工大學數(shù)學科學學院 楊立洪楊立洪 博士博士一、問題的引入一、問題的引入 引例引例1 已知一條曲線通過原點，且在該曲線上已知一條曲線通過原點，且在該曲線上任一點處的切線的斜率等于該點橫坐標的平方，任一點處的切線的斜率等于該點橫坐標的平方，求該曲線方程。求該曲線方程。)(xf解解 該所求曲線為該所求曲線為 ，根據(jù)導數(shù)的幾何意義及，根據(jù)導數(shù)的幾何意義及本題所設，可知未知函數(shù)滿足本題所設

2、，可知未知函數(shù)滿足2,dyxdx0|0;xy （特點：方程中含有未知函數(shù)的一階導數(shù)）下面求未知函數(shù)：下面求未知函數(shù)：;3132Cxdxxy 將初始條件 代入上式，得：0|0 xy;03102C由此得由此得 ，0C故所求曲線方程為故所求曲線方程為 .331xy （特點：方程中含有未知函數(shù)的二階導數(shù)）（特點：方程中含有未知函數(shù)的二階導數(shù)）引例引例2 列車在一段筆直的鐵路上以列車在一段筆直的鐵路上以20米秒的速米秒的速度行駛，當制動時列車獲得加速度度行駛，當制動時列車獲得加速度0.4米秒米秒2，問開始制動后經(jīng)多少時間列車才能完全停??？并問開始制動后經(jīng)多少時間列車才能完全停住？并求列車在這段時間內(nèi)行駛

3、的路程？求列車在這段時間內(nèi)行駛的路程？ts解解 設列車開始制動設列車開始制動 秒后行駛秒后行駛 米，即米，即 ，根據(jù)題設，應有關系式：根據(jù)題設，應有關系式：)(tss 220.4;d sdt 時，0t, 0s;20dtdsV;4 . 04 . 0 1CtdtdtdsV;2 . 0)4 . 0(2121CtCtdtCts將初始條件代入，得將初始條件代入，得 ,201C; 02C204 . 0 tV,202 . 02ttS令令 ，得到列車從開始制動到完全停住，共，得到列車從開始制動到完全停住，共需需0V.504 . 020（秒）t將將 （秒代入（秒代入 中，求得列車在這段時間中，求得列車在這段時間

4、行駛的路程行駛的路程50t)(ts.5005020502 . 02（米）S二、微分方程的定義與分類二、微分方程的定義與分類 實質(zhì)：聯(lián)系自變量，未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導數(shù)或微分之間的關系式。 定義定義1 1：凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程：凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫做微分方程。叫做微分方程。 例 ，都是微分方程。，2xdxdy4 . 022dtsd 共性：兩個引例得出的式子均含有未知函數(shù)共性：兩個引例得出的式子均含有未知函數(shù)的導數(shù)。的導數(shù)。 也都是微分方程。也都是微分方程。 ，）（02xdxdtxtyxyzxz yxy ，xeyyy 32又例又例注：本章我們只討論常微分方程的求解。

5、注：本章我們只討論常微分方程的求解。 定義定義2 2：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程叫做：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程叫做常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程叫常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程叫做偏微分方程；做偏微分方程； 分類分類I I：常微分方程、偏微分方程：常微分方程、偏微分方程 例例 是常微分方程；是常微分方程；，2xdxdy4 . 022dtsd是偏微分方程。是偏微分方程。 yxyzxz分類分類：一階微分方程、高階：一階微分方程、高階n n階微分方程階微分方程 定義定義3 3：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)叫做微分方程的階。導數(shù)

6、的階數(shù)叫做微分方程的階。 一階微分方程：一階微分方程： ，）（0, yyxF；),(yxfy 高階高階n n階微分方程：階微分方程： ( )( , ,)0nF x y yy，( )(1)( , ,).nnyf x y yy例例 是一階微分方程；是一階微分方程； 2dyxdx是二階微分方程。是二階微分方程。 220.4d sdt 分類分類：線性與非線性微分方程：線性與非線性微分方程 是一階線性微分方程；是一階線性微分方程； )()(xQyxPy是二階線性微分方程；是二階線性微分方程； )()()(xfyxQyxPy （特點：除（特點：除 外，其他各項關于外，其他各項關于 均均 為為 一次。）一次

7、。）( )f x,y y y 是非線性微分方程。是非線性微分方程。 02)(2xyyyx三、微分方程的解與初值問題三、微分方程的解與初值問題 確切地說，對于給定的微分方程 定義定義4 4：代入微分方程能使方程成為恒等式的：代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之為微分方程的解。函數(shù)稱之為微分方程的解。 1微分方程的解微分方程的解 ，0,)(nyyyxF如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間I I上有上有n n階連續(xù)導數(shù)，且階連續(xù)導數(shù)，且滿足微分方程滿足微分方程 )(xy，0)(,),(),(,)(xxxxFn那么稱函數(shù)那么稱函數(shù) 是微分方程在區(qū)間是微分方程在區(qū)間I I上的解。上的解。 )(xy 特解的

8、圖象：微分方程的積分曲線。（2 2特解：確定了通解中任意常數(shù)以后的微分方特解：確定了通解中任意常數(shù)以后的微分方程的解。程的解。 （1 1通解：包含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)通解：包含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同的微分方程的解。與微分方程的階數(shù)相同的微分方程的解。 微分方程的解分為：微分方程的解分為： 例 微分方程 其通解為，yy ；xcey ，0 yy.cossin21xCxCy例例 微分方程微分方程 其通解為其通解為通解的圖象：微分方程的積分曲線族。通解的圖象：微分方程的積分曲線族。即：求過定點且在定點的切線斜率為定值的即：求過定點且在定點的切線斜率為定值的積分曲線。積

9、分曲線。 即：求過定點的積分曲線；即：求過定點的積分曲線； 初始條件：用來確定通解中任意常數(shù)的特定條件。初始條件：用來確定通解中任意常數(shù)的特定條件。2 2初值問題初值問題 一階：一階： 00( , )|x xyf x yyy 二階：二階： 0000( , ,)|,|x xx xyf x y yyyyy初值問題：求微分方程滿足初始條件的解的問題。初值問題：求微分方程滿足初始條件的解的問題。四、例題四、例題解解 的解，并求滿足初始條件的解，并求滿足初始條件 ，的特解。的特解。 例1 驗證函數(shù) 是微分方程12cossinxCktCkt2220d xk xdt0|txA0|0tdxdt12sincos

10、,dxkCktkCktdt 222122cossin,d xk Cktk Cktdt 將將 和和 的表達式代入原方程，有：的表達式代入原方程，有： 22dtxdx，0)sincos()sincos(212212ktCktCkktCktCk故故 是原方程的解。是原方程的解。 ktCktCxsincos21，AC 1 02C，0|0tdtdx，Axt0| 故所求特解為故所求特解為 。 ktAXcos補充補充: : 微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等積分法初等積分法. .求解微分方程求解微分方程求積分求積分證明證明 例例2 2 驗證驗證 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) 是是微分方程微分方程

11、的解。的解。 )ln(xyy )(xyy 02)(2 yyyyxyxxy),ln( xyy );(1 yxyxyy故yxyyxy 再對再對 求導，得求導，得 x，yxyyxyyxyy 22，即02)( 2 yyyyxyxxy因而，因而， 是所給微分方程的解。是所給微分方程的解。 )ln(xyy 故所求方程為故所求方程為 消去消去C C，得，得 解解 ： 例例3 3 求積分曲線族求積分曲線族 （C C是任意常數(shù)是任意常數(shù)所滿足的微分方程。所滿足的微分方程。 2yCxC積分曲線族兩邊求導數(shù)，得積分曲線族兩邊求導數(shù)，得Cy 2yxyy2.yxyy五、小結(jié)五、小結(jié) （1微分方程；微分方程的階；1 1、

12、本節(jié)學習內(nèi)容、本節(jié)學習內(nèi)容 （2 2微分方程的解：通解；特解；初始條件；微分方程的解：通解；特解；初始條件；初值問題；積分曲線。初值問題；積分曲線。本節(jié)重點在于理解常微分方程的解的概念。本節(jié)重點在于理解常微分方程的解的概念。 已知微分方程的通解，求通解所滿足的微分方程，解決此類問題的關鍵是消去任意常數(shù)，求得自變量、函數(shù)以及函數(shù)的各階導數(shù)之間的關系式。 求微分方程涉及到積分運算，所以通解中包括一組任意常數(shù)，這說明微分方程有無窮多解。在一般情況下，在附加一組初始條件之后，從微分方程的通解中可求得一個確定的解，即特解，也即初值問題的解。 2 2、重點、重點3 3、難點、難點六、練習題六、練習題 練習

13、題1、設曲線上點 處的法線與X軸交點為Q，且線段PQ被Y軸平分，試寫出該曲線所滿足的微分方程。 ）（yxP, 練習題2、已知函數(shù) ，其中， 為任意常數(shù)，試求函數(shù)所滿足的微分方程。 121xxyC eC ex12,C C 因Y軸平分PQ，故P、Q兩點的橫坐標為相反值。于是得 課堂練習題解答：課堂練習題解答： 1.解解 設所求曲線方程為設所求曲線方程為 ，則該曲線在點，則該曲線在點 處的法線方程為：處的法線方程為： )(xfy ),(yxP);()(1xXxfyY，令0Y，得)()(xfxfxX；即yyxX ，yyxx為所求方程。為所求方程。 02 xyy消去任意常數(shù)，可得所求微分方程為：消去任意常數(shù)，可得所求微分方程為：將函數(shù)分別求一階、二階導數(shù)，得將函數(shù)分別求一階、二階導數(shù)，得2.解：解： 121xxyC eC ex ，121xxyC eC e ，12xxyC eC e，. 1 xyy七、自測題七、自測題 一、填空題一、填空題是是_階微分方程階微分方程220d QdQQLRdttdt1 1、2 2、一個二階微分方程的通解應含有一個二階微分方程的通解應含有_ 個個任意常數(shù)。任意常數(shù)。 23xye3 3、函數(shù)、函數(shù) 是微分方程是微分方程 40yy解。解。 的的_ 二、驗證所給函數(shù)是所給微分方程的解：二、驗證所給函數(shù)是所給微分方程的解：