第十一節(jié)曲率ppt課件

1、第十一節(jié)第十一節(jié) 曲曲 率率 一、弧微分一、弧微分二、曲率及其計(jì)算公式二、曲率及其計(jì)算公式一、弧微分一、弧微分NRTA0 xMxxx .),()(內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxfxyo),(:00yxA基點(diǎn)基點(diǎn),),(為任意一點(diǎn)為任意一點(diǎn)yxM規(guī)定：規(guī)定：;)1(增增大大的的方方向向一一致致曲曲線線的的正正向向與與x,)2(sAM .,取取負(fù)負(fù)號號相相反反時時取取正正號號一一致致時時的的方方向向與與曲曲線線正正向向當(dāng)當(dāng)ssAM單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)).(xss .12dxyds 弧弧微微分分公公式式二、曲率及其計(jì)算公式二、曲率及其計(jì)算公式曲率是描述曲線局部性質(zhì)彎曲程度

2、的量。曲率是描述曲線局部性質(zhì)彎曲程度的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同弧段越轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大短彎曲程度越大1.曲率的定義曲率的定義1 ) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均曲率為的平均曲率為弧段弧段（定義定義sKs 0lim曲線曲線C在點(diǎn)在點(diǎn)M處的曲率處的曲率,lim0存存在在的的條條件件下下在在dsdss .dsdK 2.曲率的計(jì)算公式曲率的計(jì)算公式注意注意: (1) 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零;(2) 圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù)圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù),且且半

3、徑越小曲率越大半徑越小曲率越大.,)(二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè)xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds 三、曲率圓與曲率半徑定義定義D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(處的曲率圓處的曲率圓稱此圓為曲線在點(diǎn)稱此圓為曲線在點(diǎn)如圖如圖作圓作圓為半徑為半徑為圓心為圓心以以使使在凹的一側(cè)取一點(diǎn)在凹的一側(cè)取一點(diǎn)處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點(diǎn)在點(diǎn)處的曲率為處的曲率為在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)曲線設(shè)曲線MDkDMDMkkyxMxfy ,曲率中心曲率中心 D.曲率半徑曲率半徑 xyo1.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑

4、與曲線在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù)曲率互為倒數(shù).1,1 kk即即注意注意: :2.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大,曲線在該點(diǎn)曲線在該點(diǎn)處的曲率越小處的曲率越小(曲線越平坦曲線越平坦);曲率半徑越小曲率半徑越小,曲曲率越大率越大(曲線越彎曲曲線越彎曲).3.曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)附曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)附近曲線弧近曲線弧(稱為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似稱為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似).例例1：求拋物線：求拋物線 在點(diǎn)在點(diǎn)(1,0)處的曲處的曲率及曲率半徑率及曲率半徑.243yxx例例2 2?2上上哪哪一一點(diǎn)點(diǎn)的的曲曲率率最最大大拋拋物物線線cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 顯然顯然,2時時當(dāng)當(dāng)a