第三章力學(xué)量算符

1、1 1 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則 第三章第三章 力學(xué)量的算符力學(xué)量的算符贛南師范學(xué)院物理系贛南師范學(xué)院物理系 由于微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子狀態(tài)的描述方式與經(jīng)典粒子不同，它需要用波函數(shù)來描寫。 量子力學(xué)中微觀粒子力學(xué)量（如坐標(biāo)、動(dòng)量、角動(dòng)量、能量等）的性質(zhì)也不同與經(jīng)典粒子的力學(xué)量。 經(jīng)典粒子在任何狀態(tài)下它的力學(xué)量都有確定值，微觀粒子由于波粒二象性，坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)有確定值。 這種差別的存在使得我們不得不用和經(jīng)典力學(xué)不同的方式，即用算符的形式來表示粒子的力學(xué)量。代表對(duì)波函數(shù)進(jìn)行某種運(yùn)算或變換的符號(hào)代表對(duì)波函數(shù)進(jìn)行某種運(yùn)算或變換的符號(hào) u = v表示表示 把函數(shù)把函數(shù)u 變成變成 v，

2、 就是這種變換的算符。就是這種變換的算符。 1）du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用就是算符，其作用 是對(duì)函數(shù)是對(duì)函數(shù) u 微商，微商， 故稱為微商算符。故稱為微商算符。2）x u = v， x 也是算符。也是算符。 它對(duì)它對(duì) u 作用作用 是使是使 u 變成變成 v。 由于算符只是一種運(yùn)算符號(hào)，所以它單獨(dú)存在是沒有由于算符只是一種運(yùn)算符號(hào)，所以它單獨(dú)存在是沒有意義的，僅當(dāng)它作用于波函數(shù)上，對(duì)波函數(shù)做相應(yīng)的意義的，僅當(dāng)它作用于波函數(shù)上，對(duì)波函數(shù)做相應(yīng)的運(yùn)算才有意義，例如：運(yùn)算才有意義，例如： （一）算符定義（一）算符定義（7）逆算符 （8）算符函數(shù) （9）復(fù)共軛算符 （1

3、0）轉(zhuǎn)置算符 （11）厄密共軛算符 （12）厄密算符 （1）線性算符 （2）算符相等 （3）算符之和 （4）算符之積 （5）對(duì)易關(guān)系 （6）對(duì)易括號(hào) （二）算符的一般特性（二）算符的一般特性（1）線性算符）線性算符 (c11+c22)= c11+c22 其中其中c1, c2是任意復(fù)常數(shù)，是任意復(fù)常數(shù)， 1, 2是任意兩個(gè)波函數(shù)。是任意兩個(gè)波函數(shù)。 滿足如下運(yùn)算規(guī)律的滿足如下運(yùn)算規(guī)律的 算符算符 稱為線性算符稱為線性算符 是是線線性性算算符符。單單位位算算符符動(dòng)動(dòng)量量算算符符Iip 例如：例如：開方算符、取復(fù)共軛算符就不是線性算符。開方算符、取復(fù)共軛算符就不是線性算符。 注意：描寫可觀測(cè)量的力學(xué)

4、量算符都是線性算符，這注意：描寫可觀測(cè)量的力學(xué)量算符都是線性算符，這是態(tài)疊加原理的反映。是態(tài)疊加原理的反映。（2 2）算符相等）算符相等 若兩個(gè)算符若兩個(gè)算符、對(duì)體系的任何波函數(shù)對(duì)體系的任何波函數(shù) 的運(yùn)的運(yùn) 算結(jié)果都相同，即算結(jié)果都相同，即= ，則算符，則算符和算符和算符相等相等 記為記為 = 。（3 3）算符之和）算符之和 若兩個(gè)算符若兩個(gè)算符、對(duì)體系的任何波函數(shù)對(duì)體系的任何波函數(shù)有：有： ( + ) = + = 則則 + = 稱為算符之和。稱為算符之和。顯然，算符求和滿足交換率和結(jié)合率。顯然，算符求和滿足交換率和結(jié)合率。之之和和。勢(shì)勢(shì)能能算算符符和和體體系系動(dòng)動(dòng)能能算算符符等等于于算算符符

5、表表明明VTHHamiltonVTH 例如：體系例如：體系Hamilton Hamilton 算符算符 注意，算符運(yùn)算沒有相減，因?yàn)闇p可用加來代替。注意，算符運(yùn)算沒有相減，因?yàn)闇p可用加來代替。 = + （）。）。 很易證明線性算符之和仍為線性算符。很易證明線性算符之和仍為線性算符。（4 4）算符之積）算符之積 若若 ( ) = () = 則則 = ，其中，其中是任意波函數(shù)。是任意波函數(shù)。一般來說算符之積不滿足一般來說算符之積不滿足 交換律，即交換律，即 這是算符與通常數(shù)運(yùn)算這是算符與通常數(shù)運(yùn)算 規(guī)則的唯一不同之處。規(guī)則的唯一不同之處。（5 5）對(duì)易關(guān)系）對(duì)易關(guān)系若若 ，則稱，則稱 與與 不對(duì)易

6、。不對(duì)易。不不對(duì)對(duì)易易。例例如如：算算符符 xxipx xxxxiixpx )() 1 (證證：顯然二者結(jié)果顯然二者結(jié)果 不相等，所以不相等，所以: : ixppxixppxxppxxxxxxx 所所以以是是任任意意波波函函數(shù)數(shù)，因因?yàn)闉椋ǘ?xxxxiixixp )() 2 (對(duì)易關(guān)系對(duì)易關(guān)系 izppziyppyzzyy與與共共軛軛動(dòng)動(dòng)量量滿滿足足同同理理可可證證其其它它坐坐標(biāo)標(biāo)算算符符000000000 zxxzyzzyxyyxyyxxzzxxzzyyppppppppppppzppzzppzyppyyppyxppxxppx但是坐標(biāo)算符與其非共軛動(dòng)量對(duì)易，各動(dòng)量之間相互但是坐標(biāo)算符與其

7、非共軛動(dòng)量對(duì)易，各動(dòng)量之間相互對(duì)易。對(duì)易。zyxppppixppx,0 量子力學(xué)中最基量子力學(xué)中最基 本的對(duì)易關(guān)系。本的對(duì)易關(guān)系。寫成通式寫成通式:10其中其中對(duì)對(duì)易易。與與對(duì)對(duì)易易，而而與與對(duì)對(duì)易易，與與不不對(duì)對(duì)易易；與與對(duì)對(duì)易易，但但是是與與對(duì)對(duì)易易，與與zpzpppIIxpxpppIxyyxxyyx)()(注意：注意： 當(dāng)當(dāng)與與對(duì)易，對(duì)易，與與對(duì)易，不能推知對(duì)易，不能推知與與 對(duì)易與否。例如：對(duì)易與否。例如：若算符滿足若算符滿足 = ， 則稱則稱和和 反對(duì)易。反對(duì)易。（6 6）對(duì)易括號(hào)）對(duì)易括號(hào) 為了表述簡(jiǎn)潔，運(yùn)算便利和研究量子為了表述簡(jiǎn)潔，運(yùn)算便利和研究量子 力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系，人們

8、定義了力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系，人們定義了 對(duì)易括號(hào)：對(duì)易括號(hào)： , 這樣一來，這樣一來， 坐標(biāo)和動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系坐標(biāo)和動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系 可改寫成如下形式：可改寫成如下形式： ipx , 不難證明對(duì)易括號(hào)滿足如下對(duì)易關(guān)系：不難證明對(duì)易括號(hào)滿足如下對(duì)易關(guān)系： 1) , = , 2) ,+ = , + , 3) , = ,+ , 4) , + , + , , = 0 同樣可以定義同樣可以定義 反對(duì)易括號(hào)反對(duì)易括號(hào)： , （7 7）逆算符）逆算符 1. 定義定義: 設(shè)設(shè)= , 能夠唯一的解出能夠唯一的解出, 則可定義則可定義 算符算符之逆之逆-1 為為:-1 = 并不是所有算符都存并不是所有算符都存 在逆算

9、符在逆算符, ,例如投影例如投影 算符就不存在逆算符就不存在逆. . 2.性質(zhì)性質(zhì) I: 若算符若算符之逆之逆-1存在存在,則則 -1 = -1 = I , , -1 = 0 證證: =-1=-1()=-1 因?yàn)橐驗(yàn)槭侨我夂瘮?shù)是任意函數(shù),所以所以-1=I成立成立. 同理同理,-1=I 亦成立亦成立.3.性質(zhì)性質(zhì) II: 若若 , 均存在逆算符均存在逆算符, 則則 ( )-1 = -1 -1 課堂練習(xí)： 證明性質(zhì)II: 若若 , 均存在逆算符均存在逆算符,則則 ( )-1 = -1 -1 -1 = -1 = I I -1 -1 I （ ）-1 -1 ( )-1 = -1 -1證明：nnFnxxF

10、n!)0(0)()( 設(shè)給定一函數(shù)設(shè)給定一函數(shù) F(xF(x), ), 其各階導(dǎo)數(shù)均存在其各階導(dǎo)數(shù)均存在, , 其冪級(jí)數(shù)展開收斂其冪級(jí)數(shù)展開收斂 則可定義算符則可定義算符 的函數(shù)的函數(shù) F()為為: nnFnUUFn)(!)0(0)( ninntHitHe!10 （8 8）算符函數(shù)）算符函數(shù)（9 9）復(fù)共軛算符）復(fù)共軛算符算符算符的復(fù)共軛算符的復(fù)共軛算符 *就是把就是把表達(dá)式中表達(dá)式中 的所有量換成復(fù)共軛的所有量換成復(fù)共軛.piip*)(* 例如例如: : 坐標(biāo)表象中坐標(biāo)表象中 是兩個(gè)任意函數(shù)。和式中定義為：的轉(zhuǎn)置算符算符*UdUdUU（1010）轉(zhuǎn)置算符）轉(zhuǎn)置算符ABBA)( 可可以以證證明

11、明：xx ：例例 xdx*證證：利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件: 當(dāng)當(dāng)|x| 時(shí)時(shí), 0。0)(* xxdxxxxx 0)(xxpp 由于由于、 是任意波是任意波 函數(shù)函數(shù), 所以所以 * xdx xdx*|* xdx*同理可證同理可證: :(11)厄密共軛算符厄密共軛算符 *)(*OdOd *)(*OdOd由此可得：由此可得：:轉(zhuǎn)置算符轉(zhuǎn)置算符 的定義的定義 *OO 厄密共軛厄密共軛 算符亦可算符亦可 寫成：寫成： 算符算符 之厄密共軛算符之厄密共軛算符 + 定義定義:可以證明可以證明: ( )+ = + + ( .)+ = . + + + *)(* Od * Od *OdOOOdOd*)(* 或或 (12) (12) 厄密算符厄密算符1. 1. 定義定義: :滿足下列關(guān)系的算符稱為厄密算符滿足下列關(guān)系的算符稱為厄密算符. .2. 2. 性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) I: