二次函數(shù)七大綜合專題

1、二次函數(shù)七大綜合專題二次函數(shù)與三角形的綜合題函數(shù)中因動點產生的相似三角形問題一般有三個解題途徑 求相似三角形的第三個頂點時，先要分析已知三角形的邊和角的特點，進而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應邊分類討論。 或利用已知三角形中對應角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉等知識來推導邊的大小。 若兩個三角形的各邊均未給出，則應先設所求點的坐標進而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。如圖，已知拋物線與交于A(1，0)、E(3，0)兩點，與軸交于點B(0，3)。（1） 求拋物線的解析式；（2） 設拋物線頂點為D，求四邊形AE

2、DB的面積；（3） AOB與DBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由。（2016益陽第21題）如圖，頂點為的拋物線經過坐標原點O，與軸交于點B（1）求拋物線對應的二次函數(shù)的表達式；（2）過B作OA的平行線交軸于點C，交拋物線于點，求證：OCDOAB；（3）在軸上找一點，使得PCD的周長最小，求出P點的坐標考點：考查二次函數(shù)，三角形的全等、三角形的相似。解析：（1）拋物線頂點為， 設拋物線對應的二次函數(shù)的表達式為， 將原點坐標（0，0）代入表達式，得 拋物線對應的二次函數(shù)的表達式為： （2）將 代入中，得B點坐標為：， 設直線OA對應的一次函數(shù)的表達式為， 將代入表達式中，得

3、， 直線OA對應的一次函數(shù)的表達式為BDAO，設直線BD對應的一次函數(shù)的表達式為，將B代入中，得 ，直線BD對應的一次函數(shù)的表達式為由得交點D的坐標為，將代入中，得C點的坐標為，由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD, 在OAB與OCD中， OABOCD（3）點關于軸的對稱點的坐標為，則與軸的交點即為點，它使得PCD的周長最小過點D作DQ，垂足為Q，則PODQ,即， 點的坐標為二次函數(shù)與平行四邊形的綜合題例1：如圖，對稱軸為直線x=的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4）（1）求拋物線解析式及頂點坐標；（2）設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角

4、線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由【考點】二次函數(shù)綜合題【專題】壓軸題【分析】（1）已知了拋物線的對稱軸解析式，可用頂點式二次函數(shù)通式來設拋物線，然后將A、B兩點坐標代入求解即可（2）平行四邊形的面積為三角形OEA面積的2倍，因此可根據E點的橫坐標，用拋物線的解析式求出E點的縱坐標，那么E點縱坐標的絕對值即為OAE的高，由此可根據三角形的面積公式得出AOE的面積與x的函數(shù)關系式進

5、而可得出S與x的函數(shù)關系式將S=24代入S，x的函數(shù)關系式中求出x的值，即可得出E點的坐標和OE，OA的長；如果平行四邊形OEAF是菱形，則需滿足平行四邊形相鄰兩邊的長相等，據此可判斷出四邊形OEAF是否為菱形如果四邊形OEAF是正方形，那么三角形OEA應該是等腰直角三角形，即E點的坐標為（3，3）將其代入拋物線的解析式中即可判斷出是否存在符合條件的E點【解答】解：（1）因為拋物線的對稱軸是x=，設解析式為y=a（x）2+k把A，B兩點坐標代入上式，得，解得a=，k=故拋物線解析式為y=（x）2，頂點為（，）（2）點E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，且坐標適合y=（x）2，y0，即y0，y

6、表示點E到OA的距離OA是OEAF的對角線，S=2SOAE=2××OA|y|=6y=4（x）2+25因為拋物線與x軸的兩個交點是（1，0）和（6，0），所以自變量x的取值范圍是1x6根據題意，當S=24時，即4（x）2+25=24化簡，得（x）2=解得x1=3，x2=4故所求的點E有兩個，分別為E1（3，4），E2（4，4），點E1（3，4）滿足OE=AE，所以平行四邊形OEAF是菱形；點E2（4，4）不滿足OE=AE，所以平行四邊形OEAF不是菱形；當OAEF，且OA=EF時，平行四邊形OEAF是正方形，此時點E的坐標只能是（3，3），而坐標為（3，3）的點不在拋物線上，

7、故不存在這樣的點E，使平行四邊形OEAF為正方形【點評】本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、平行四邊形的性質、菱形和正方形的判定等知識綜合性強，難度適中（2016泰安第28題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（2，9），與y軸交于點A（0，5），與x軸交于點E、B（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達式；（2）過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C，點P為拋物線上的一點（點P在AC上方），作PD平行與y軸交AB于點D，問當點P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積；（3）若點M在拋物線上，點N在其對稱軸上，使得以A、E、N、M為

8、頂點的四邊形是平行四邊形，且AE為其一邊，求點M、N的坐標【考點】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關系式，函數(shù)極值額確定方法，平行四邊形的性質和判定，解本題的關鍵是建立函數(shù)關系式求極值【分析】（1）設出拋物線解析式，用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線AB解析式，設出點P坐標（x，x2+4x+5），建立函數(shù)關系式S四邊形APCD=2x2+10x，根據二次函數(shù)求出極值；（3）先判斷出HMNAOE，求出M點的橫坐標，從而求出點M，N的坐標【解答】解：（1）設拋物線解析式為y=a（x2）2+9，拋物線與y軸交于點A（0，5），4a+9=5，a=1，y=（x2）2+9=x2+4x+5

9、，（2）當y=0時，x2+4x+5=0，x1=1，x2=5，E（1，0），B（5，0），設直線AB的解析式為y=mx+n，A（0，5），B（5，0），m=1，n=5，直線AB的解析式為y=x+5；設P（x，x2+4x+5），D（x，x+5），PD=x2+4x+5+x5=x2+5x，AC=4，S四邊形APCD=×AC×PD=2（x2+5x）=2x2+10x，當x=時，S四邊形APCD最大=，（3）如圖，過M作MH垂直于對稱軸，垂足為H，MNAE，MN=AE，HMNAOE，HM=OE=1，M點的橫坐標為x=3或x=1，當x=1時，M點縱坐標為8，當x=3時，M點縱坐標為8，M點

10、的坐標為M1（1，8）或M2（3，8），A（0，5），E（1，0），直線AE解析式為y=5x+5，MNAE，MN的解析式為y=5x+b，點N在拋物線對稱軸x=2上，N（2，10+b），AE2=OA2+0E2=26 MN=AE MN2=AE2，MN2=（21）2+8（10+b）2=1+（b+2）2 M點的坐標為M1（1，8）或M2（3，8），點M1，M2關于拋物線對稱軸x=2對稱，點N在拋物線對稱軸上，M1N=M2N，1+（b+2）2=26，b=3，或b=7，10+b=13或10+b=3當M點的坐標為（1，8）時，N點坐標為（2，13），當M點的坐標為（3，8）時，N點坐標為（2，3），【點評】

11、此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關系式，函數(shù)極值額確定方法，平行四邊形的性質和判定，解本題的關鍵是建立函數(shù)關系式求極值與圖形的平移與旋轉變換性質有關的綜合題（2016重慶第26題）如圖1，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=kx+b(k0)的圖象交于A，B兩點，點A的坐標為（0,1），點B在第一象限內，點C是二次函數(shù)圖象的頂點，點M是一次函數(shù)y=kx+b(k0)的圖象與x軸的交點，過點B作x軸的垂線，垂足為N，且SAMOS四邊形AONB=148。（1）求直線AB和直線BC的解析式；（2）點P是線段AB上一點，點D是線段BC上一點，PD/x軸，射線PD與拋物線交于點G，過點P作PEx軸于

12、點E，PFBC于點F，當PF與PE的乘積最大時，在線段AB上找一點H（不與點A，點B重合），使GH+BH的值最小，求點H的坐標和GH+BH的最小值；（3）如圖2，直線AB上有一點K（3,4），將二次函數(shù)沿直線BC平移，平移的距離是t(t0)，平移后拋物線上點A，點C的對應點分別為點A/，點C/；當A/C/K是直角三角形時，求t的值。參考答案：（1）點A的坐標為(0,1)，AO=1。SAMOS四邊形AONB=148，SAMOSBMN=149。由AMOBMN可知，AOBN=17。BN=7。令y=7，則，解得x1=6，x2=-2。點B在第一象限，點B的坐標為(6,7)。 （1分）將點A(0,1)，B

13、(6,7)代入y=kx+b中得，解得直線AB的解析式為y=x+1。（2分）點C是二次函數(shù)圖象的頂點，點C的坐標為(2,-1)。 （3分）設直線BC的解析式為y=mx+n(m0)，將點B(6,7)，C(2,-1)代入得，解得。直線BC的解析式為y=2x-5。（4分）（2）設點P的坐標為(a,a+1)。則點D的坐標為(,a+1)。PE=a+1，PD=()-a=。設直線BC與x軸的交點為點Q，由PDFBQN可知，PF=。（5分）PE·PF=(a+1)·=。0<a<6，當x=時，PE·PF有最大值。此時點P的坐標為(,)。把y=代入二次函數(shù)中得，解得x1=-1

14、，x2=5。點G的坐標為(5, )。 （6分）過點B作BRx軸交y軸于R，點H是線段AB上一點，作HJBR于點J，連接GH。JBH=AMO=45°，JH=BH，GH+BH=GH+HJ。當點G，H，J三點在同一條直線上時，GH+BH的值最小。此時點H的坐標為(5,6)， （7分）GH+BH的值最小為。 （8分）（3）過點A作ATBC，平移過程中AC=A/C/=，CC/=AA/=t。設點C/的坐標為(,)則點A/的坐標為(,)點K的坐標為(3,4)A/K2=，C/K2=，(A/C/)2=8。當A/C/為斜邊時，8=()+()解得t1=或t2=。 （10分）當A/K為斜邊時，=8+()解得

15、t=。 （11分）當C/K為斜邊時，=8+()解得t=0。 （12分）綜上所述，當A/C/K是直角三角形時，t=或或或0。與直角三角形性質有關的綜合題 （2016棗莊第25題）如圖，已知拋物線yax2bxc(a0)的對稱軸為直線x1，且經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸的另一個交點為B.若直線ymxn經過B，C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；在拋物線的對稱軸x1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求點M的坐標；設點P為拋物線的對稱軸x1上的一個動點，求使BPC為直角三角形的點P的坐標第25題圖參考答案：解：（1）依題意，得解之，得拋物線解析式為 2分第25題圖 對稱

16、軸為x1，且拋物線經過A（1，0），B（3，0）把B（3，0）、C（0，3）分別直線ymxn，得 解之，得 直線BC的解析式為 3分（2）MA=MB，MA+MC=MB+MC.使MA+MC最小的點M應為直線BC與對稱軸x1的交點. 設直線BC與對稱軸x1的交點為M，把x1代入直線，得y2. M（1，2）6分 （3）設P（1，t），結合B（3，0），C（0， 3），得BC218， PB2(13)2t24t2， PC2(1)2(t3)2t26t10.若B為直角頂點，則BC2PB2PC2，即 184t2t26t10. 解之,得t2. 若C為直角頂點，則BC2PC2PB2，即 18t26t104t2解之

17、，得t4 若P為直角頂點，則PB2PC2BC2，即 4t2t26t1018解之，得t1，t2 綜上所述，滿足條件的點P共有四個,分別為 (1，2), (1，4), (1，) ,(1，)10分與相似三角形性質有關的綜合題（2016湖州）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經過點A（3，1），點C（0，4），頂點為點M，過點A作ABx軸，交y軸于點D，交該二次函數(shù)圖象于點B，連結BC（1）求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標；（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移m（m0）個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在ABC的內部（不包括ABC的邊界），求m的取值范圍；（3）點P是直線A

18、C上的動點，若點P，點C，點M所構成的三角形與BCD相似，請直接寫出所有點P的坐標（直接寫出結果，不必寫解答過程）【考點】二次函數(shù)綜合題【專題】二次函數(shù)圖象及其性質【分析】（1）將點A、點C的坐標代入函數(shù)解析式，即可求出b、c的值，通過配方法得到點M的坐標；（2）點M是沿著對稱軸直線x=1向下平移的，可先求出直線AC的解析式，將x=1代入求出點M在向下平移時與AC、AB相交時y的值，即可得到m的取值范圍；（3）由題意分析可得MCP=90°，則若PCM與BCD相似，則要進行分類討論，分成PCMBDC或PCMCDB兩種，然后利用邊的對應比值求出點坐標【解答】解：（1）把點A（3，1），點

19、C（0，4）代入二次函數(shù)y=x2+bx+c得， 解得二次函數(shù)解析式為y=x2+2x+4，配方得y=（x1）2+5，點M的坐標為（1，5）；（2）設直線AC解析式為y=kx+b，把點A（3，1），C（0，4）代入得， 解得直線AC的解析式為y=x+4，如圖所示，對稱軸直線x=1與ABC兩邊分別交于點E、點F把x=1代入直線AC解析式y(tǒng)=x+4解得y=3，則點E坐標為（1，3），點F坐標為（1，1）15m3，解得2m4；（3）連接MC，作MGy軸并延長交AC于點N，則點G坐標為（0，5）MG=1，GC=54=1MC=，把y=5代入y=x+4解得x=1，則點N坐標為（1，5），NG=GC，GM=GC

20、，NCG=GCM=45°，NCM=90°，由此可知，若點P在AC上，則MCP=90°，則點D與點C必為相似三角形對應點若有PCMBDC，則有BD=1，CD=3，CP=，CD=DA=3，DCA=45°，若點P在y軸右側，作PHy軸，PCH=45°，CP=PH=把x=代入y=x+4，解得y=，P1（）；同理可得，若點P在y軸左側，則把x=代入y=x+4，解得y=P2（）；若有PCMCDB，則有CP=3PH=3÷=3，若點P在y軸右側，把x=3代入y=x+4，解得y=1；若點P在y軸左側，把x=3代入y=x+4，解得y=7P3（3，1）；P

21、4（3，7）所有符合題意得點P坐標有4個，分別為P1（），P2（），P3（3，1），P4（3，7）【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質、一次函數(shù)解析式及相似三角形性質，解題的關鍵是分類討論三角形相似的不同情況，結合特殊角的使用來求出點P的坐標二次函數(shù)與圓的性質有關的綜合題（2016巴中第31題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=mx2+4mx5m（m0）與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），該拋物線的對稱軸與直線y=x相交于點E，與x軸相交于點D，點P在直線y=x上（不與原點重合），連接PD，過點P作PFPD交y軸于點F，連接DF（1）如圖所示，若拋物線頂點的縱坐標為6，求拋物線的解析式；（2）求A、B兩點的坐標；（3）如圖所示，小紅在探究點P的位置發(fā)現(xiàn)：當點P與點E重合時，PDF的大小為定值，進而猜想：對于直線y=x上任意一點P（不與原點重合），PDF的大小為定值請你判斷該猜想是否正確，并說明理由【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）先提取公式因式將原式變形為y=m（x2+4x5），然后令y=0可求得函數(shù)圖象與x軸的交點坐標，從而可求得點A、B的坐標，然后依據拋物線的對稱性可得到拋物線的對稱軸為x=2，故此可知當x=2時，y=6，于是可求得m的值；（2）由（1）的可知點A、B的坐標；（3）先由一次函數(shù)的解析式得到PBF的度數(shù)，然后再