量子電子學(xué)第二講

1、第一章 量子力學(xué)的基本原理 波函數(shù)與薛波函數(shù)與薛定諤方程定諤方程 與時間無關(guān)的與時間無關(guān)的schrodinger 方程的某些解方程的某些解 柏松括號與量子化條件及海森伯方程柏松括號與量子化條件及海森伯方程 路徑積分方法與薛定諤方程路徑積分方法與薛定諤方程 波函數(shù) )(expEtrpiA 3 3個問題？個問題？ 描寫自由粒子的描寫自由粒子的平平 面面 波波),(tr 如果粒子處于如果粒子處于隨時間和位置變化的力場隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波

2、描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：復(fù)雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的波描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一函數(shù)，它通常是一個個復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù)。稱為稱為 dedeBroglie Broglie 波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。(1) (1) 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2) (2) 如何體現(xiàn)波粒二象性的？如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3) (3) 描寫的是什么樣的波呢？描寫的是什么樣的波呢？1.1.入入射電子流強度射電子流強度小時，電子轟擊底片上出現(xiàn)一個個亮點小時，電子轟擊底片上出現(xiàn)一個個亮點（粒子特征）（粒子特征）2.2.長時間轟擊積累顯示衍射圖

3、樣長時間轟擊積累顯示衍射圖樣. .（波動特征）（波動特征）驗證波粒二象性：單驗證波粒二象性：單電子衍射實驗電子衍射實驗單電子衍射實驗結(jié)果分析：單電子衍射實驗結(jié)果分析：“亮紋亮紋”處是到達(dá)該處的電子數(shù)多，處是到達(dá)該處的電子數(shù)多，或電子到達(dá)該處的幾率大或電子到達(dá)該處的幾率大?！鞍导y暗紋”處是到達(dá)該處的電子數(shù)處是到達(dá)該處的電子數(shù)少，或電子到達(dá)該處的幾率小。少，或電子到達(dá)該處的幾率小。衍衍射圖樣由電子波動性引起射圖樣由電子波動性引起 “亮紋亮紋”處表示該處波強度大，處表示該處波強度大， “暗紋暗紋”處表示該處波強度小。處表示該處波強度小。結(jié)論結(jié)論:電子到達(dá)屏上各處的幾率與波的強度成正比電子到達(dá)屏上各處

4、的幾率與波的強度成正比.2.2.玻恩統(tǒng)計解玻恩統(tǒng)計解釋釋： （拋棄物質(zhì)波的本體）（拋棄物質(zhì)波的本體） 波函數(shù)在空間某點的強度波函數(shù)在空間某點的強度( (波函數(shù)模的平方波函數(shù)模的平方) )和在這點找到和在這點找到粒子的幾率成比粒子的幾率成比例。例。物質(zhì)波是什么？物質(zhì)波是什么？1 1）物質(zhì)波包？不穩(wěn)定，會擴散。）物質(zhì)波包？不穩(wěn)定，會擴散。2 2）大量電子的疏密波？無法解釋單電子）大量電子的疏密波？無法解釋單電子3 3）載體是什么？鬼波？）載體是什么？鬼波？描寫粒子的波是幾率波，即德布洛意波是幾率波描寫粒子的波是幾率波，即德布洛意波是幾率波.波波粒二象性的圖象：粒二象性的圖象：（1）微粒是一粒一粒的

5、）微粒是一粒一粒的（2）波函數(shù)并不確定什么時刻粒子到達(dá)哪一地點，而只是）波函數(shù)并不確定什么時刻粒子到達(dá)哪一地點，而只是給出可能到達(dá)地點的一個統(tǒng)計分布給出可能到達(dá)地點的一個統(tǒng)計分布波的強度大的地方表明粒子可能到達(dá)該點的概率大波的強度大的地方表明粒子可能到達(dá)該點的概率大波的強度小的地方表明粒子可能到達(dá)該點的概率小波的強度小的地方表明粒子可能到達(dá)該點的概率小波函數(shù)描述粒子的狀態(tài)是量子力學(xué)的基本原理之一。波函數(shù)描述粒子的狀態(tài)是量子力學(xué)的基本原理之一。波函數(shù)的性質(zhì)1. 幾率和幾率密度幾率和幾率密度在在 t 時刻，時刻， r 點，點，d = dx dy dz 體積內(nèi)，體積內(nèi)，找到由波函數(shù)找到由波函數(shù) (r

6、,t)描寫的粒子的幾率是：描寫的粒子的幾率是：d W( r, t) = C| (r,t)|2 d， 其中，其中，C是比例系數(shù)。是比例系數(shù)。根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：在在 t t 時刻時刻 r r 點，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是：點，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是：( r, t ) =dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 稱為概率密度。稱為概率密度。在體積在體積 V 內(nèi)，內(nèi)，t 時刻找到粒子的幾率為：時刻找到粒子的幾率為： W(t) = V dW = V( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d由于粒子在空間總要

7、出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即：所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即：C | (r , t)|2 d= 1, 從而得常數(shù)從而得常數(shù) C 之值為：之值為： C = 1/ | (r , t)|2 d這即是要求描寫粒子量子這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)狀態(tài)的波函數(shù) 必須是絕必須是絕對值平方可積的函數(shù)。對值平方可積的函數(shù)。若若 | (r , t)|2 d , 則則 C 0, 這是沒有意義的。這是沒有意義的。 )(exp),(EtrpiAtr注意：自由粒子波函數(shù)注意：自由粒子波函數(shù) 不滿足這一要求。關(guān)于自由粒

8、子波函數(shù)如何歸一化問題，不滿足這一要求。關(guān)于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問題，以后再予以討論。以后再予以討論。 波函數(shù)的性質(zhì) 這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的2 2倍），則相應(yīng)的波動倍），則相應(yīng)的波動能量將為原來的能量將為原來的 4 4 倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題?；瘑栴}。 由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強

9、度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即 (r, t) 和和 C (r, t) 描述同一狀態(tài)。描述同一狀態(tài)。因為在因為在 t 時刻，空間任意兩點時刻，空間任意兩點 r1 和和 r2 處找到粒子的相對幾率之比是：處找到粒子的相對幾率之比是：221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 可見可見， (r , t ) 和和 C (r , t ) 描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。有一常數(shù)因子不定性。波函數(shù)的性質(zhì)力學(xué)量平均值 在統(tǒng)

10、計物理中知道，在統(tǒng)計物理中知道， 當(dāng)可能值為離散值時當(dāng)可能值為離散值時: : 一個物理量的平均值等于物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相一個物理量的平均值等于物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的應(yīng)的幾率求和；幾率求和； 當(dāng)可能值為連續(xù)取值時：當(dāng)可能值為連續(xù)取值時：一個物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的一個物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的幾率密度求積分。幾率密度求積分。 基于波函數(shù)的幾率含義，基于波函數(shù)的幾率含義，我們馬上可以得到粒子坐標(biāo)和動我們馬上可以得到粒子坐標(biāo)和動量的平均值。先考慮一維情況，然后再推廣至三維。量的平均值。先考慮一維情況，然后再推廣至三維。坐標(biāo)平均值為簡單計，略去時間變量（或者說，先不考慮

11、隨時間的變化）為簡單計，略去時間變量（或者說，先不考慮隨時間的變化） 設(shè)設(shè)(x) 是歸一化波函數(shù)，是歸一化波函數(shù)，| (x)|2 是粒子出現(xiàn)在是粒子出現(xiàn)在x點的幾率密度，則點的幾率密度，則 dxxxxx2|)(|drrxx2|)(|對三維情況對三維情況，設(shè)，設(shè)(r) 是歸一化波函數(shù)，是歸一化波函數(shù)，|(r)|2是粒子出現(xiàn)在是粒子出現(xiàn)在 r 點點的幾率密度，則的幾率密度，則x的平均值為的平均值為2.2.動量平均值動量平均值一維情況一維情況：令：令(x)(x)是歸一化波函數(shù)，相應(yīng)是歸一化波函數(shù)，相應(yīng)動量表象波函數(shù)為動量表象波函數(shù)為xxxxxxxxdppcppppcdxxipxpc222/1|)(|

12、)(|,)/exp()()2(1)(粒子動量處于粒子動量處于PxPx的概率的概率Schrodinger方程（一）引（一）引 （二）引進方程的基本考慮（二）引進方程的基本考慮 （三）自由粒子滿足的方程（三）自由粒子滿足的方程 （四）勢場（四）勢場 V (r) 中運動的粒子中運動的粒子 一、引這些問題在這些問題在19261926年年Schrodinger Schrodinger 提出了波動方程之后得到了圓滿解決。提出了波動方程之后得到了圓滿解決。 微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個力學(xué)量的平均值及其測量的可能值之后，粒子的任

13、何一個力學(xué)量的平均值及其測量的可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定-波函數(shù)完全描寫微波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問題就是要解決以觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問題就是要解決以下兩個問題：下兩個問題：(1)(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)；在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)； (2)(2)波函數(shù)如何隨時間演化。波函數(shù)如何隨時間演化。二、引進方程的基本考慮 從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻 t 粒子的狀粒子的狀態(tài)態(tài) r 和和 p 。因為初條件知道的是坐標(biāo)及其對時間的。因為初條

14、件知道的是坐標(biāo)及其對時間的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時間的二階常微分方程。一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時間的二階常微分方程。讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發(fā)。讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發(fā)。經(jīng)典情況經(jīng)典情況0000,ttdtrdmprtt 時時刻刻，已已知知初初態(tài)態(tài)是是：22dtrdmF方程：粒子滿足的方程是牛頓量子情況1因為，因為，t = t0 時刻，已知的初態(tài)是時刻，已知的初態(tài)是( r, t0) 且只知道這樣一個初條件，且只知道這樣一個初條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程只能含只能含對時間對時間 的一階導(dǎo)的一階

15、導(dǎo)數(shù)數(shù)。2另一方面，另一方面，要滿足態(tài)疊加原理要滿足態(tài)疊加原理，即，若，即，若1( r, t ) 和和2( r, t )是方是方程的解，那末。程的解，那末。 ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的，也就是說方程中只能也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的，也就是說方程中只能包含包含, 對時間的一階導(dǎo)數(shù)對時間的一階導(dǎo)數(shù)和和對坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的一次項對坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的一次項，不能含它們，不能含它們的平方或開方項。的平方或開方項。3第三方面，方程第三方面，方程不能包含狀態(tài)參量不能包含狀態(tài)參量，如，如 p, E等，否則方程只能被粒子等

16、，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。三、自由粒子滿足的方程）（1 EtiEit )(expEtrpiA描寫自由粒子波函數(shù)描寫自由粒子波函數(shù): :應(yīng)是所要建立的方程的解。將上式對應(yīng)是所要建立的方程的解。將上式對 t 微商，得：微商，得：，px,piAexx22x22xEt)zpypx(pizyx 12222222222zyxpppzyxpz,py22z2222y22:同理有)2(221222222 pp或或這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量 E 。將。將對坐標(biāo)二次微商，得

17、對坐標(biāo)二次微商，得 )2()2(222 pEti滿足上述構(gòu)造方程滿足上述構(gòu)造方程的三個條件的三個條件討論：討論：通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關(guān)通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式系式 E = pE = p2 2/2/2 寫成如下方程形式：寫成如下方程形式： 22224ppipptiE）（做做算符替換（算符替換（4 4）即得自由即得自由粒子滿足的方程（粒子滿足的方程（3 3）。）。）（所所以以3222 ti 22pE 對對自自由由粒粒子子，0)2(2 pE(1)(1)(2)(2)式式四、勢場 V(r) 中運動的粒子該方程稱為該方程稱為 Schrodinger

18、 方程，也常稱為波動方程方程，也常稱為波動方程。量。算符，亦常稱為是體系的式中),(),()(2),(22HamiltonHamiltonHtrHtrrVtrti若粒子處于勢場若粒子處于勢場 V(r)V(r) 中運動，則能動量關(guān)系變?yōu)椋褐羞\動，則能動量關(guān)系變?yōu)椋篐rVpE )(22 )(22rVpE 將其作用于波函數(shù)得：將其作用于波函數(shù)得：做（做（4 4）式的算符替換得：）式的算符替換得：第一章 量子力學(xué)的基本原理 薛定諤方程薛定諤方程 與時間無關(guān)的與時間無關(guān)的schrodinger 方程的某些解方程的某些解 柏松括號與量子化條件及海森伯方程柏松括號與量子化條件及海森伯方程 路徑積分方法與薛定

19、諤方程路徑積分方法與薛定諤方程定態(tài)定態(tài)Schrodinger方程方程（一）定態(tài)（一）定態(tài)Schrodinger方程方程 （二）（二）Hamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程 （三）求解定態(tài)問題的步驟（三）求解定態(tài)問題的步驟 （四）定態(tài)的性質(zhì)（四）定態(tài)的性質(zhì)一、定態(tài)Schrodinger方程現(xiàn)在讓我們討論現(xiàn)在讓我們討論 有外場情況下的定態(tài)有外場情況下的定態(tài) Schrodinger 方程：方程：),()(2),(22trrVtrti )()(),(tfrtr )(2)()()(22rVtftfdtdri E )()(2)()(22rErVtEftfdtdi 令：令：/)(iEtet

20、f Etiertr )(),( 于是：于是：代代入入)(2)(1)()(122rVrtfdtdtfi )()(tfr 兩兩邊邊同同除除等式兩邊是相互等式兩邊是相互無關(guān)的物理量，無關(guān)的物理量，故故應(yīng)等于與應(yīng)等于與 t, t, r r 無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)V(r)V(r)與與t t無關(guān)時，可以無關(guān)時，可以分離變量分離變量該方程稱為該方程稱為定態(tài)定態(tài) Schrodinger Schrodinger 方程方程，(r)(r)也可稱為也可稱為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是定態(tài)波函數(shù)，或可看作是t=0t=0時刻時刻(r,0)(r,0)的定態(tài)波函數(shù)。的定態(tài)波函數(shù)。E E 就是體系處于波函數(shù)就是體系處于波函數(shù)(r,t)

21、(r,t)所描寫的狀態(tài)時的能量。所描寫的狀態(tài)時的能量。也就是說，此時也就是說，此時體系能量有確定的值體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱為所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù)定態(tài)，波函數(shù)(r,t)(r,t)稱為定態(tài)波函數(shù)。稱為定態(tài)波函數(shù)。)()(222rErV 空間波函數(shù)空間波函數(shù)(r)(r)可由方程可由方程和具體問題和具體問題(r)(r)應(yīng)滿足的邊界條件得出。應(yīng)滿足的邊界條件得出。二、Hamilton算符和能量本征值方程 1.Hamilton 1.Hamilton 算符算符),()(2),(22trrVtrti 算算符符。亦亦稱稱量量，稱稱為為與與經(jīng)經(jīng)典典力力學(xué)學(xué)相相同同，HamiltonHamilt

22、onH )()(2)()(22rErVtEftfdtdi EVEti22 二方程的特點：二方程的特點：都是以一個算符作用于都是以一個算符作用于(r, t)(r, t)等于等于E(r, t)E(r, t)。所以這兩個算符是完全相當(dāng)?shù)模ㄗ饔糜诓ê瘮?shù)上的效果一樣）。所以這兩個算符是完全相當(dāng)?shù)模ㄗ饔糜诓ê瘮?shù)上的效果一樣）。 HVti222 是相當(dāng)?shù)?。這是相當(dāng)?shù)?。這兩個算符都稱兩個算符都稱為能量算符。為能量算符。也可看出，作用于任一波函數(shù)也可看出，作用于任一波函數(shù)上的二算符上的二算符)(r ，得得：注注意意到到/expiEt /expiEt 再由再由 Schrodinger Schrodinger 方程

23、：方程：2.能量本征值方程 EH EV 22 將將改寫成改寫成一個算符作用于一個函數(shù)上得到一個常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù)學(xué)物一個算符作用于一個函數(shù)上得到一個常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù)學(xué)物理方法中的本征值方程相似。理方法中的本征值方程相似。 數(shù)學(xué)物理方法中：數(shù)學(xué)物理方法中：微分方程微分方程 + 邊界條件構(gòu)成本征值問題邊界條件構(gòu)成本征值問題；量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿足三個標(biāo)準(zhǔn)條件，對應(yīng)數(shù)學(xué)物理方法中量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿足三個標(biāo)準(zhǔn)條件，對應(yīng)數(shù)學(xué)物理方法中的邊界條件，稱為的邊界條件，稱為波函數(shù)的自然邊界條件波函數(shù)的自然邊界條件。 因此在量子力學(xué)中稱因此在量子力學(xué)中稱與上類似的方程為束縛的本征值方程。常量與上類似的

24、方程為束縛的本征值方程。常量 E 稱為稱為算符算符 H 的的本征本征值值；稱為稱為算符算符 H 的的本征函數(shù)本征函數(shù)。 由上面討論可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)由上面討論可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)（簡稱（簡稱能量本征態(tài)能量本征態(tài)）時，粒子能量有確定的數(shù)值，這個數(shù)值就是）時，粒子能量有確定的數(shù)值，這個數(shù)值就是與這個本征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值。與這個本征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值。 三、定態(tài)的性質(zhì)（1）粒子在空間幾率密度與時間無關(guān)）粒子在空間幾率密度與時間無關(guān)nnntr ),( 2),(nnnnnitrJ )/exp()/exp(tiEtiEnnnn )/exp

25、()/exp(tiEtiEnnnn )()(rrnn )/exp()/exp()/exp()/exp(2tiEtiEtiEtiEinnnnnnnn )()()()(2rrrrinnnn )( rJn （2）幾率流密度與時間無關(guān)）幾率流密度與時間無關(guān) 綜上所述，當(dāng)綜上所述，當(dāng)滿足下列三個等價條件中的滿足下列三個等價條件中的任何一個時，任何一個時，就是定態(tài)波函數(shù)：就是定態(tài)波函數(shù)： l1. 描述的狀態(tài)其能量有確定的值；描述的狀態(tài)其能量有確定的值； l2. 滿足定態(tài)滿足定態(tài)Schrodinger方程；方程； l3. |2 與與 t無關(guān)。無關(guān)。 dtrFtrFnn),(),( （3 3）任何不顯含）任何

26、不顯含t t得力學(xué)量平均值與得力學(xué)量平均值與t t 無關(guān)無關(guān) dtiErFtiErnnnn)/exp()()/exp()( drFrnn)()( 四、求解定態(tài)問題的步驟 討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)( r, t) 和在這些態(tài)中和在這些態(tài)中的能量的能量 E。其具體步驟如下：。其具體步驟如下：)()(222rErV,2121nnEEE ，本本征征函函數(shù)數(shù)本本征征值值：/exp)(),(tiErtrnnn （1 1）列出定態(tài)）列出定態(tài) SchrodingerSchrodinger方程方程（2 2）根據(jù)波函數(shù)三個標(biāo)準(zhǔn)）根據(jù)波函數(shù)三個標(biāo)準(zhǔn)條件求

27、解能量條件求解能量 E E 的的本征值問題，得：本征值問題，得：（3 3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對應(yīng)第到對應(yīng)第 n n 個本征值個本征值 E En n 的定態(tài)波函數(shù)的定態(tài)波函數(shù)（4 4）通過歸一化確定歸一化系數(shù)）通過歸一化確定歸一化系數(shù) C Cn n1| )(|2 drCnn1.一維勢箱中的粒子一維勢箱中的粒子一維平動粒子的薛定諤方程一維平動粒子的薛定諤方程0202),(22222222 hmExExmhzyxVmhtt1) 3(0)(,)2(0)(, 0) 1 (2exp2exp*dxlxxxxmEhiBxmEhiAtt件：方程應(yīng)滿足以下三個條方程的解為： xmEhCxmE

28、hAiiACyieexmEhixmEhiAttiyiytt21sin21sin2,2,sin22exp2exp令令 nlmEhlmEhClmEhClttt ，不不為為零零，則則式式中中代代入入，則則將將條條件件21 021sin021sin)()2(020222211)(, 3 , 2 , 1 2EnEnEnnmlhnEnt 時時稱稱激激發(fā)發(fā)態(tài)態(tài)，相相應(yīng)應(yīng)能能量量稱稱基基態(tài)態(tài)能能或或零零點點能能；時時稱稱基基態(tài)態(tài)，相相應(yīng)應(yīng)能能量量平平動動量量子子數(shù)數(shù) 在條件在條件(1)情況下情況下，可得，可得AB0，則，則代代入入將將lnmEhnlmEhtt 21 21 lxnCxmEhCt sin21sin

29、lClCdxlxnCddlii212sin1 20222* 按按歸歸一一化化條條件件則則一一維維勢勢箱箱中中的的波波函函數(shù)數(shù)3 , 2 , 1 sin2sin nlxnllxnC 按歸一化條件按歸一化條件(3)(3)宇稱宇稱),(),(trtrrr （1 1）空間反演：空間矢量反向的操作。）空間反演：空間矢量反向的操作。（2 2）此時如果有：）此時如果有： ),(),(trtr （3 3）如果在空間反射下，）如果在空間反射下，),(),(trtr 則波函數(shù)沒有確定的宇稱。則波函數(shù)沒有確定的宇稱。稱波函數(shù)具有稱波函數(shù)具有正宇稱正宇稱（或偶宇稱或偶宇稱）；),(),(trtr 稱波函數(shù)具有稱波函數(shù)

30、具有負(fù)宇稱負(fù)宇稱（或奇宇稱或奇宇稱）；),(),(trtr 討論討論 ,3,2, 1 .|2cos18 ;|2sin1 ;|0222naxxanamanEaxxanaaxnn奇數(shù)偶數(shù)其能量本征值為：偶宇稱當(dāng)奇宇稱當(dāng))()()()()()(oddnxxevennxxnnnn波波函數(shù)宇稱函數(shù)宇稱討論 在一個具有空間反演對稱性的勢場中，粒子的狀態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。從定態(tài)schrodinger的方程出發(fā) ：)()()()(222rEururVrum)()(rVrV)()()()(222rEururVrum)(ru)( ru都是具有相同本征值E的波動方程的解。)()()(rururue)()()(0

31、rururu構(gòu)造兩個新的波函數(shù)： 一般非常數(shù)一般非常數(shù)函數(shù)非奇即偶函數(shù)非奇即偶2.三維勢箱中平動粒子三維勢箱中平動粒子三維粒子的薛定諤方程三維粒子的薛定諤方程 假定粒子在邊長為假定粒子在邊長為a,b,ca,b,c的三維勢箱中的勢能為零的三維勢箱中的勢能為零, ,在邊界處及邊界外所有地方勢能無窮大。則粒子的在邊界處及邊界外所有地方勢能無窮大。則粒子的薛定諤方程為：薛定諤方程為：02222222 hmEzyxt , 321321：的的函函數(shù)數(shù)。代代入入上上式式，得得分分別別只只是是其其中中及及zyxEEEEzyx 02321232212223121232 hmEzyxt假設(shè)：假設(shè)： 0211123

32、2322222121 zyxEEEhmzyx 021021021232322222121 hmEzhmEyhmExzyx 則則三維勢箱中粒子的平動能級和平動波函數(shù)三維勢箱中粒子的平動能級和平動波函數(shù):以以上上方方程程求求解解可可得得 222222222cnbnanmhEEEEzyxzyxt 222321sinsinsinabc8 cznbynaxnxxx 222222222cnbnanmhEEEEzyxzyxt 由上式可看出：由上式可看出： 當(dāng)當(dāng)a,b,ca,b,c增大時，基態(tài)能量增大時，基態(tài)能量E E0 0下降；下降； 當(dāng)當(dāng)a,b,ca,b,c均趨于無窮時，粒子的能級間隔趨于零，此時粒均趨于

33、無窮時，粒子的能級間隔趨于零，此時粒子的能量變?yōu)榭蛇B續(xù)變化的量。子的能量變?yōu)榭蛇B續(xù)變化的量。 所以粒子能量的量子化是因為粒子受到束縛而引起的。在所以粒子能量的量子化是因為粒子受到束縛而引起的。在原子各分子中運動的電子受到原子核和其它電子所產(chǎn)生的力場原子各分子中運動的電子受到原子核和其它電子所產(chǎn)生的力場的束縛，所以這粒子或電子的能量都是量子化的。的束縛，所以這粒子或電子的能量都是量子化的。 2222222zyxtnnnmahE 2220231mahEnnntzyx 時對應(yīng)零點能：時對應(yīng)零點能：當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)比零點能稍高一點的一個能量應(yīng)怎樣？比零點能稍高一點的一個能量應(yīng)怎樣？2243)2 , 1 , 1

34、 () 1 , 2 , 1 () 1 , 1 , 2(),(mahEEEnnnEtttzyxt 當(dāng)體系的兩個以上波函數(shù)具有相同能級時，這樣的能級就當(dāng)體系的兩個以上波函數(shù)具有相同能級時，這樣的能級就稱為稱為簡并能級簡并能級，它所對應(yīng)的波函數(shù)（狀態(tài)）稱為簡并態(tài)；而相，它所對應(yīng)的波函數(shù)（狀態(tài)）稱為簡并態(tài)；而相應(yīng)于同一能量值的波函數(shù)的數(shù)目就稱為應(yīng)于同一能量值的波函數(shù)的數(shù)目就稱為簡并度簡并度。 在上例中簡并度為在上例中簡并度為32.線性諧振子（一）引言（一）引言 （1）何謂諧振子）何謂諧振子 （2）為什么研究線性諧振子）為什么研究線性諧振子 （二）線性諧振子（二）線性諧振子 （1）方程的建立）方程的建立

35、 （2）求解）求解 （3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件 （4）厄密多項式）厄密多項式 （5）求歸一化系數(shù)）求歸一化系數(shù) （6）討論）討論（一）引言（一）引言（1 1）何謂諧振子）何謂諧振子FdxdV因為量子力學(xué)中的線性諧振量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述子就是指在該式所描述的勢場中運動的粒子。的勢場中運動的粒子。 kxxkxdtxd 其其中中0222在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為 的粒子，受的粒子，受彈性力彈性力F = - kx作用，由牛頓第二定律可作用，由牛頓第二定律可以寫出運動方程為：以寫出運動方程為：其解為其解為 x = Asin( t + )。這種運動稱為簡諧振動，

36、作這種運動的粒。這種運動稱為簡諧振動，作這種運動的粒子叫諧振子。子叫諧振子。若取若取V0 = 0，即，即平衡位置處于勢平衡位置處于勢 V = 0 點，則點，則kxdxV所以0221Vkx 02221Vx 2221xV（2）為什么研究線性諧振子）為什么研究線性諧振子 222)(!21)(!11)()(axxVaxxVaVxVaxaxaxV(x)0V02220)(!21axxVVax 22021)(21kxaxkV自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可

37、以分解成若干動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復(fù)雜運動的初步近似，所以彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復(fù)雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。 例如雙原子分例如雙原子分子，兩原子間的勢子，兩原子間的勢V是二者相對距離是二者相對距離x的函數(shù)，如圖所示。在的函數(shù)，如圖所示。在 x = a 處，處，V 有有一極小值一極小值V0 。在。在 x = a 附近勢可以展開成泰勒級數(shù)：附近勢可以展開成泰勒級數(shù)：kxVxVaxax22;

38、0取新坐標(biāo)原點為取新坐標(biāo)原點為(a, V0)（二）線性諧振子（二）線性諧振子（1 1）方程的建立）方程的建立22222222212212xdxdxpH 線性諧振子的線性諧振子的 Hamilton量：量：則則 Schrodinger 方程可寫為方程可寫為 ：此式是一變系數(shù)此式是一變系數(shù) 二階常微分方程二階常微分方程0)(0)(20)(20)(212 222222222222222222xddxxEdxdxxEdxdxxEdxdxE ; ;2（2 2）求解）求解0222 dd2/22/122 ecec 所所以以其解為：其解為： = exp = exp2 2/2/2，0)(222 xdd 1. 1.

39、 漸近解漸近解: :為求解方程，我們先看一下它的漸近解，即當(dāng)為求解方程，我們先看一下它的漸近解，即當(dāng) 時波函時波函數(shù)數(shù)的行為。在此情況下，的行為。在此情況下， 1 1欲驗證解的正確性，可將其代回方程，欲驗證解的正確性，可將其代回方程，0)1(2 HHH 2/2)()( eH令：漸近形式，我們自然會在無窮遠(yuǎn)處有的波函數(shù)為了使方程2/22220)(exdd2. H()2. H()滿足的方程滿足的方程其中其中 H() 必須滿足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即：必須滿足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即： 當(dāng)當(dāng)有限時，有限時，H()有限；有限； 當(dāng)當(dāng)時，時，H()的行為要保證的行為要保證()

40、 0。將將()表達(dá)式代入方程得關(guān)于表達(dá)式代入方程得關(guān)于 待求函數(shù)待求函數(shù) H() 所滿足的方程：所滿足的方程：E未知！未知！3.3.級數(shù)解級數(shù)解2220010)1()1(22 kkkkkkkkkkkkkkbkkbHkbHkbH0)1(2)2)(1(2kkkkkbkbkkbkkkbH0我們以級數(shù)形式來求解。為此令：我們以級數(shù)形式來求解。為此令：kkkkkbHkk )2)(1(220則：令kkkkkb)2)(1(20變成：則方程0)1(2 HHH該式對任意該式對任意都成立，故都成立，故同次冪前的系數(shù)均應(yīng)為零，同次冪前的系數(shù)均應(yīng)為零，即：即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(-

41、1) = 0從而導(dǎo)出系數(shù)從而導(dǎo)出系數(shù) bk 的遞推公式：的遞推公式：由上式可以看出：由上式可以看出： b b0 0 決定所有角標(biāo)決定所有角標(biāo)k k為偶數(shù)的系數(shù)；為偶數(shù)的系數(shù)； b b1 1 決定所有角標(biāo)決定所有角標(biāo)k k為奇數(shù)的系數(shù)。為奇數(shù)的系數(shù)。 因為方程是二階微分方程，應(yīng)有兩個因為方程是二階微分方程，應(yīng)有兩個 線性獨立解?？煞謩e令：線性獨立解。可分別令：b0 0, b1=0. Heven(); b1 0, b0=0. Hodd().kkbkkkb)2)(1(122 只含偶次冪項只含偶次冪項只含奇次冪項只含奇次冪項則通解可記為：則通解可記為： H = co Hodd + ce Heven =

42、 (co Hodd + ce Heven e) exp-2/20)2)(1(122 nnbnnnb 212 EE因因為為012,0 nbn所所以以有有：因因為為,2,1 ,0)(21nnE，為了滿足波函數(shù)有限性要求，冪級數(shù)為了滿足波函數(shù)有限性要求，冪級數(shù) H() 必須從某一項截斷變成一個多項必須從某一項截斷變成一個多項式。換言之，要求式。換言之，要求 H() 從某一項（比如第從某一項（比如第 n 項）起項）起 以后各項的系數(shù)均為零，以后各項的系數(shù)均為零，即即 bn 0, bn+2 = 0. 于是最后得：expexp)1()(22 nnnnddH1.1.上式表明，上式表明，H Hn n()()的

43、最高次項是的最高次項是(2)(2)n n。所以：。所以： 當(dāng)當(dāng) n=n=偶，則厄密多項式只含偶，則厄密多項式只含的偶次項；的偶次項； 當(dāng)當(dāng) n=n=奇，則厄密多項式只含奇，則厄密多項式只含的奇次項。的奇次項。2. 2. n n具有具有n n宇稱宇稱上式描寫的諧振子波函數(shù)所包含的上式描寫的諧振子波函數(shù)所包含的 exp-exp-2 2/2/2是是的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，所以所以n n的宇稱由厄密多項式的宇稱由厄密多項式 H Hn n() () 決定；稱為決定；稱為 n n 宇稱。宇稱。)(!2)(2/2nnnHen3. 對應(yīng)一個諧振子能級只有一個本征函數(shù)，即一個狀態(tài)，所以能級是非簡對應(yīng)一個諧振子能級只

44、有一個本征函數(shù)，即一個狀態(tài)，所以能級是非簡并的。值得注意的是，基態(tài)能量并的。值得注意的是，基態(tài)能量 E0=1/2 0，稱為零點能。這與稱為零點能。這與無窮深勢阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性無窮深勢阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的靜止的”波是沒有意義的，零點能是量子效應(yīng)。波是沒有意義的，零點能是量子效應(yīng)。022 nnnnHHH （5 5）求歸一化系數(shù)）求歸一化系數(shù))(!2)(2/2nnnHendxHHeNdxnnnnn)()(122 deHnnnddnddNn)() 1(21121;:!2nnnN 所以deHdeHnnnnnnddddnNnddnnN)() 1()() 1(211222deHnddNnnnnn22)() 1(!2!2) 1(2222ndennNnNnnndeHeHnnnnnddnddddnNn)()() 1(2112112該式第一項是一個多項式與該式第一項是一個多項式與 exp-exp-2 2 的乘積，當(dāng)代入上的乘積，當(dāng)代入上下限下限=后，該項為零。后，該項為零。繼續(xù)分步積分到底繼續(xù)分步積分到底因為因為Hn的