計(jì)算方法 6 非線(xiàn)性方程迭代法

1、第六章 解非線(xiàn)性方程的迭代法非線(xiàn)性方程非線(xiàn)性方程（常見(jiàn)的有：代數(shù)方程（常見(jiàn)的有：代數(shù)方程 多項(xiàng)式多項(xiàng)式 ；超越方程；超越方程 三角、指數(shù)、對(duì)三角、指數(shù)、對(duì)數(shù)方程數(shù)方程 ）求根問(wèn)題：求根問(wèn)題：( )0, ( ), 其其中中，. .xRf xC af xb (0)( )( )*,( ) 0.從一初始向量出發(fā)，按照一定的計(jì)算格式，構(gòu)造一個(gè)向量序列當(dāng)時(shí)，使 是的近似解kkxxxxxf x 迭迭代代法法的的基基本本思思想想：關(guān)于方程求根，需考慮如下幾個(gè)問(wèn)題：關(guān)于方程求根，需考慮如下幾個(gè)問(wèn)題：1. 1. 如何選取初始點(diǎn)？如何選取初始點(diǎn)？2. 2. 如何構(gòu)造迭代序列（迭代格式）？如何構(gòu)造迭代序列（迭代格式）

2、？3. 3. 迭代序列是否收斂？在什么條件下收斂？迭代序列是否收斂？在什么條件下收斂？4. 4. 若收斂，收斂速度如何？并給出定量的刻畫(huà)若收斂，收斂速度如何？并給出定量的刻畫(huà). .5. 5. 討論近似解的誤差估計(jì)及算法的復(fù)雜性討論近似解的誤差估計(jì)及算法的復(fù)雜性. .概概述述. . 方方程程求求根根問(wèn)問(wèn)題題，無(wú)無(wú)論論從從理理論論上上，還還是是計(jì)計(jì)算算方方法法上上，都都比比解解線(xiàn)線(xiàn)性性問(wèn)問(wèn)題題要要復(fù)復(fù)雜雜得得多多. .代代數(shù)數(shù)方方程程求求根根問(wèn)問(wèn)題題是是個(gè)個(gè)古古老老的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)問(wèn)題題，1 16 6世世紀(jì)紀(jì)找找到到了了求求3 3, ,4 4次次方方程程的的根根的的公公式式；1 19 9世世紀(jì)紀(jì)證證

3、明明了了n n 5 5的的代代數(shù)數(shù)方方程程沒(méi)沒(méi)有有一一般般的的求求根根公公式式. .對(duì)對(duì)于于超超越越方方程程就就更更難難了了！一一般般的的非非線(xiàn)線(xiàn)性性方方程程是是很很難難求求解解的的，而而且且往往往往用用迭迭代代法法求求解解. .確定方程的有根區(qū)間確定方程的有根區(qū)間;計(jì)算根的近似值計(jì)算根的近似值.1. 1. 方程是否有根（存在性）？方程是否有根（存在性）？2. 2. 單根？單根？重根重根? ? 多根？多根？有多少個(gè)根？有多少個(gè)根？零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理構(gòu)造迭代法構(gòu)造迭代法1. 1. 二分法二分法 一種逐步搜索法一種逐步搜索法 *( )( )( ),()0. 1.mf xf xxxg xmg xmxm

4、xm若可分解為：其中，且時(shí)，稱(chēng) 為；1，稱(chēng) 為方程的若若根根若若單單重重根根Z*(1*)*()0( ). ()(0.0().mmxf xf xf xfxfxfmxx設(shè) 是方程的根，且充分光滑，稱(chēng) 為方程的如如何何判判斷斷根根的的代代數(shù)數(shù)重重?cái)?shù)數(shù)？若若 重重根根 , , , , a ba ba ba b若區(qū)間含有方程的根，則稱(chēng)為方程的；若區(qū)間僅含有方程的一個(gè)根，則稱(chēng)為方程的有有根根區(qū)區(qū)間間單單根根區(qū)區(qū)間間. .1. 繪圖法繪圖法. 2. 逐步搜索法逐步搜索法110,:,2abaa bbbxa令取點(diǎn).假假設(shè)設(shè)是是方方程程的的有有根根區(qū)區(qū)間間abx0:=x1(a+b)/2 x*abx0 x1x*00

5、0011010111(),()=0( ) ()0?,:; :.:; :. , , .f xf xxf a f xaa bxaxbba ba b計(jì)算若，則 為方程的根，否則，檢查是：否：可知,a0b011111:2,abxab取點(diǎn).是是方方程程的的有有根根區(qū)區(qū)間間11111212121221112( ),( )=0( ) ( )0?,:,; : , .:; :. .f xf xxf a f xaabxaa bba bxb計(jì)算若，則 為方程的根，否則，檢查是,：否：可可知知上上述述過(guò)過(guò)程程繼繼續(xù)續(xù)下下去去2211, , , .kka ba ba ba b可可得得出出一一系系列列有有根根區(qū)區(qū)間間,k

6、ka b 的區(qū)區(qū)間間k kb b- -a a長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為. .2 22b b- -a a長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為. .2 2b b- -a a長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為. .2 2*11. , ( )0211 1-|()().2222,.2 ln( - )-kkkkkkkkkkkxaba bxf xb axxbab ab ab a(二分過(guò)程無(wú)限地進(jìn)行下去)，這些區(qū)間必收縮于方程的根若取有根區(qū)間的中點(diǎn)作為根的近似值，則有誤差估計(jì) |對(duì)于所給精度 只需取k使?jié)M足 對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)有當(dāng)當(dāng)k k 時(shí)時(shí)(1)ln2 lnln( - ) ln1.ln2kb ak即 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：算法簡(jiǎn)潔；方法可靠；算法簡(jiǎn)潔；方法可靠； 只要求只要求

7、f(x)連續(xù)連續(xù)缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：不能求偶數(shù)重根和復(fù)根，不能求偶數(shù)重根和復(fù)根， 且收斂較慢且收斂較慢.2. 2. 簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法 ( )0f x 顯然，顯然，( ),( ).其中為連續(xù)函數(shù)xxx 同解構(gòu)造同解構(gòu)造注意，注意，*()0若滿(mǎn)足，xf x *= ().則xx ( ) ( ) ( ), ( ) 0： x xf xx xork x f x k x 例例如如*( ).稱(chēng) 是函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)xx 反之亦然反之亦然. .(0)(1)( ), (), 0,1,( ).給定一個(gè)初始點(diǎn)可構(gòu)造迭代格式稱(chēng)為迭代函數(shù)kkxxxkx 不不動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)( )*lim, ().( ).如果有則有此時(shí)，稱(chēng)，且為的不動(dòng)

8、點(diǎn)當(dāng)然，也是方程的根.這種求根的方法稱(chēng)為kkxxxxxx 迭迭代代格格式式收收斂斂不不動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)迭迭代代法法. .( )0( )把方程求根問(wèn)題求兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題.f xyxyx 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化迭迭代代過(guò)過(guò)程程的的幾幾何何為為意意義義：等價(jià)等價(jià)轉(zhuǎn)化！轉(zhuǎn)化！是解線(xiàn)性方程迭代法的推廣！xyy = xx*y=(x)p0p1 xyy = xx*y= (x)p0p1迭代法的基本步驟如下：迭代法的基本步驟如下：1、給出方程、給出方程在有根區(qū)間上在有根區(qū)間上局部等價(jià)形式局部等價(jià)形式)(0)(xxxf2、選取適當(dāng)?shù)某跏键c(diǎn)、選取適當(dāng)?shù)某跏键c(diǎn) ，產(chǎn)生迭代序列，產(chǎn)生迭代序列(1)( )()kkxx3、求極限、求極限( )*

9、limkkxx易知，該值即為方程的根易知，該值即為方程的根.一定收斂嗎？一定收斂嗎？注：注：迭代法的收斂與發(fā)散，依賴(lài)于迭代函數(shù)的構(gòu)造（構(gòu)造的方法很多?。┑ǖ氖諗颗c發(fā)散，依賴(lài)于迭代函數(shù)的構(gòu)造（構(gòu)造的方法很多?。?迭代函數(shù)須滿(mǎn)足什么條件，迭代法才能收斂？迭代函數(shù)須滿(mǎn)足什么條件，迭代法才能收斂？(0)x( (0 0) )x x( (2 2) )x x( (1 1) )x x( (0 0) )x x( (1 1) )x x(0)x , 1) , ,( ),( ) , .2)(0,1), , | ( )- ( )|-|設(shè),如果對(duì)有則在上在條件1)的基礎(chǔ)上，且存在常數(shù)，使對(duì)都有， 則 一一定定存存在在

10、不不動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不不動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)唯唯一一. .C a bxa baxbxa bLx ya bxyL x y 定定理理2 2. .1 1. .稱(chēng)為全局稱(chēng)為全局Lipschitz條件條件稱(chēng)為稱(chēng)為L(zhǎng)ipschitz常數(shù)常數(shù)*12*121212( )- ( ), ( )0, ( )0.( , )()2). , |= |()-()|-令注意到，若二式中至少有一個(gè)等號(hào)成立，假設(shè)不等式嚴(yán)格成立，則由零點(diǎn)定理，必有，使.反證法 設(shè)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn) ，則有證明g xxxg ag bxa bxxxxa bxxxxL xx . . 得得證證. .得得證證. .*12| |-|. xx 矛矛盾盾！得得證證. .不動(dòng)點(diǎn)存在的

11、條件？不動(dòng)點(diǎn)存在的條件？充分條件！充分條件！ , 1) , ,(0,1) |( )|1( ) , 設(shè)滿(mǎn)足上面的條件 ,且對(duì)存在常數(shù)，使， 則在上存存 唯唯一一的的不不動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)在在. .C a bxa bLxLxa b 推推論論充分性條件充分性條件0*1*10 , 2.1 , , |-|, 1,2,1 |-|, 1,2,1設(shè)滿(mǎn)足定理中的條件,則對(duì)由格式產(chǎn)生的序列收斂到的不動(dòng)點(diǎn)且有誤差估計(jì) kkkkkkC a bxa bxxLxxxxkLLxxxxkL 定定理理2 2. .2 2. .收斂速度？誤差估計(jì)？收斂速度？誤差估計(jì)？*110* , . , , |-| |()-()|-|-|.01lim.設(shè)

12、是 在上的唯一不動(dòng)點(diǎn)由格式產(chǎn)生的序列且有因，故有kkkkkkkxa bxa bxxxxL xxLxxLxx 證證明明. .稱(chēng)序列是適定的，它表明稱(chēng)序列是適定的，它表明迭代法算出的每個(gè)點(diǎn)是有迭代法算出的每個(gè)點(diǎn)是有意義的！意義的！它表明由迭代法產(chǎn)生的序列收斂！它表明由迭代法產(chǎn)生的序列收斂！事前誤差估計(jì)事前誤差估計(jì)事后誤差估計(jì)事后誤差估計(jì)迭代法的全局收斂性迭代法的全局收斂性*11 |-| |.kkkkxxxxxx 注注意意到到*11|-| | ()- ()|=|-|.kkkL xxxxxx 上上式式左左端端*111|-| |kkkkL xxxxxx *1111| |-|kkkkkkxxxxxxxx

13、上上式式右右端端*111|1kkkxxxxL *11|1kkkxxxxL *111| ()()|.11kkkkkLxxxxxxLL 得得證證. .*1|1由，有kkkLxxxxL 1212110| ()()|1|1|1kkkkkLxxLLL xxLLLxxL 類(lèi)類(lèi)似似地地繼繼續(xù)續(xù)下下去去*00 , , ,|( )| 1 , 設(shè)方程在內(nèi)有根 ,且對(duì)有，則對(duì)任一初始點(diǎn)，且，迭迭代代 發(fā)發(fā)散散. .格格式式a bxxa bxxa bxx 定定理理2 2. .3 30*100001*2111102* , , | | ()()| |()()| | 0. , | | ()()| |( )()| | | 0

14、. , , |對(duì)有若，.否則，繼續(xù)迭代，有若，.否則，繼續(xù)迭代 ，可知：或，或者 停停止止停停止止kxa bxxxxxxxxxa bxxxxxxxxxxxa bxa bx 證證明明. .*0| | 0，格格發(fā)發(fā)散散. .式式kxxx 例例2.1 2.1 在區(qū)間在區(qū)間1, 2內(nèi)討論迭代格式的斂散性?xún)?nèi)討論迭代格式的斂散性.313332231 (1( )1.111( )(1) ,1,2|( )|1.33 43)令迭代函數(shù)為：求導(dǎo)，有當(dāng)時(shí)，有kkxxxxxxxxx 迭迭代代格格式式: :1 1. . . .3132( )1.( )31 ,1,2|( )| 1.令迭代函數(shù)為：求導(dǎo)，有當(dāng)時(shí)，有故kkxxx

15、xxxxx 迭迭代代格格式式: :2 2. . . .迭迭代代格格式式發(fā)發(fā)散散例例2.2 2.2 在用迭代法求方程在用迭代法求方程 在區(qū)間在區(qū)間0, 1內(nèi)的一個(gè)根內(nèi)的一個(gè)根.1( ) (1), (0),1 .|(0)|0,112.4.故.但因此，需要縮小區(qū)間當(dāng)時(shí)，xx 存存在在不不動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)2( )(1)10 f xx x 22312( )( ).(1)(1()(11)0令，于.是有xxxxf xxx (0.2)0; (0.4)0; (0.6)0. 0.4,0.6.可知：是方程的有根區(qū)間fff |( )| |(0.4)| 1.( ) 0.4,0.6(0.6), (0.4)0.4,0.6.當(dāng)時(shí) 有

16、但，xxx 0.4,0.55.可驗(yàn)因此，還需要縮小區(qū)間為滿(mǎn)足推論的條件證0.4,0.55,.故，對(duì) x 不不動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)迭迭代代格格式式收收斂斂表明：表明：在大的有根區(qū)間上，條件不一定都成立！所以，使用迭代法時(shí)往往在大的有根區(qū)間上，條件不一定都成立！所以，使用迭代法時(shí)往往在根的附近進(jìn)行！在根的附近進(jìn)行！0迭代法的局部收斂性迭代法的局部收斂性*0( ) , :|,設(shè)在內(nèi)有不動(dòng)點(diǎn) ,如果存在 的鄰域?qū)Γ袷剿a(chǎn)生的序列，且收斂到 ，則稱(chēng).kxa bxxxxxxx 定定義義2 2. .1 1 局局代代格格式式 部部收收斂斂迭迭*1( )( )|()|( ) 01,()設(shè) 為的不動(dòng)點(diǎn)，在 的某個(gè)鄰域內(nèi)

17、連續(xù)，且則迭代格式局部收斂.kkxxxxxxxx 線(xiàn)線(xiàn) 另另外外，若若，則則格格式式收收斂斂. .性性定定理理2 2. .4 4. .*10( ):|, |( )|1. | ( )| | ( )()| |., ( ).2.1()由的連續(xù)性，存在的某個(gè)鄰域，使對(duì)有此外，對(duì)任一，有即，故根據(jù)定理可知：迭代格式對(duì)任意初值均收斂.kkxx xxxLxxxxxL x xx xxxxxx 證證明明. . *1-1| lim,|設(shè)序列 收斂到 ，并記迭代誤差 =.如果存在實(shí)數(shù)及非零常數(shù) ,使則，稱(chēng) 為漸進(jìn)稱(chēng)序列 是 階收誤差常數(shù).斂的kkkkpkkkxxe xxpcecexpc . . 定定義義2 2. .

18、2 2收斂階的概念收斂階的概念衡量迭代法收斂快慢的重要標(biāo)準(zhǔn)衡量迭代法收斂快慢的重要標(biāo)準(zhǔn).稱(chēng)序列 為線(xiàn)性收斂；kx. . 當(dāng)當(dāng)p p= =1 1，0 0 c c 1 1時(shí)時(shí). .稱(chēng)序列為平方收斂.kx當(dāng)當(dāng)p p= =2 2時(shí)時(shí). . p的大小反映了序列xk收斂速度的快慢.*( ) ()01) 如果存在并連續(xù)，要想得到，就有. 2) 在實(shí)際使用中p很難直接確定，常采用一些其他的方法來(lái)確定收斂階. .xx 注注. . 例例如如：超超使使線(xiàn)線(xiàn)性性收收斂斂的的迭迭代代用用T Ta ay yl lo or r格格式式必必然然要要展展開(kāi)開(kāi)式式求求*( )*( )*(0)+1( )*1( )( ) ( )=0

19、 (1,2, ,1)( ) 0.= ( )|( ) lim|!設(shè) 是的 不 動(dòng) 點(diǎn) ， 且在 附 近 的 某 個(gè) 鄰 域 內(nèi) 有階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) ， 且，則 對(duì) 任 一 靠 近 的 初 始 點(diǎn) ， 迭 代 格 式是 p階 收 斂 ， 且 有.kpkkpkpkkxxxxpxkpxxxxxexep 定定 理理 2 2. .5 5. . 迭代格式的收斂速度迭代格式的收斂速度與迭代函數(shù)有關(guān)！與迭代函數(shù)有關(guān)！*(0)*(0)*( )*( )=02.4( ) ()( )()!因 為， 故 由 定 理可 知 ， 迭 代 格 式 具 有 局 部 收 斂 性 .現(xiàn) 取 初 始 點(diǎn)充 分 接 近 ， 且.于 是

20、 由 Taylor展 開(kāi)證式明， 有ppkkxxxxxxxxxp . . ( )*1|( )lim|!.pkpkkexep 則 有( )*+1( )=()!ppkkxxxxp 因此*+10, .kxxk 3. Aitken3. Aitken（埃特金）加速迭代法（埃特金）加速迭代法 *1*1*21*+1*2*121() lim(). .() .2設(shè)迭代格式線(xiàn)性收斂到 ，于是有因此當(dāng) 充分大時(shí)，有由此解出 ，kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxkxxxxxxxxxxxxxxxx 12+12*()()=()() .()2 ()將及代入得kkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxx k k

21、= =( (x x ) ) 12Aitken (),0,1,( ) ( )=.( )2 ( )于是，得到了加速迭代格式其中，迭代函數(shù)為kkxxkxxxxxxx (1)(2)(1)0111()()(1)(2)011xxxxxxx 10()xx 1x(1)(2)01111(,)(,).過(guò)兩點(diǎn)和，做直線(xiàn)，它與x軸的交點(diǎn)，就是x xx xx*+1+1( ) p 1= ()() 1.= ()設(shè)在 附近有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一靠近 的初始值，有 如果迭代格式是，且，則迭代格式是 如果迭代格式是(p 2)，則迭代格式是.kkkkxxxxxxxx 2 2定定理理3 3. .1 1p p- -1 1階階收收 的的

22、. . 斂斂線(xiàn)線(xiàn)性性收收斂斂的的局局部部平平方方收收斂斂的的p p階階收收斂斂4. Newton4. Newton（牛頓）迭代法（牛頓）迭代法，又稱(chēng)為又稱(chēng)為牛頓牛頓-拉弗森方法拉弗森方法（Newton-Raphson method） 1. 牛頓法的基本思想牛頓法的基本思想將非線(xiàn)性方程將非線(xiàn)性方程逐步線(xiàn)性化逐步線(xiàn)性化，以線(xiàn)性方程的解，以線(xiàn)性方程的解逼近逼近非線(xiàn)性方程的解。非線(xiàn)性方程的解。將非線(xiàn)性方程將非線(xiàn)性方程逐步線(xiàn)性化，逐步線(xiàn)性化，如何實(shí)現(xiàn)？如何實(shí)現(xiàn)？取取 xk x*，將將 f (x) 在在 xk 處做一階處做一階Taylor展開(kāi)展開(kāi):2( )( )()()()()2!kkkkff xf xf

23、xxxxx， 在在 xk 和和 x 之間之間2. 牛頓迭代法的原理牛頓迭代法的原理0( *)()()(*)kkkfxfxfxxx 可將可將 (x* xk)2 看成看成高階小量高階小量，則有：，則有：取取忽略高階項(xiàng)忽略高階項(xiàng)0 1 2*(), ,()kkkfxxxkfx xyx*1kx 2kx kx(,()kkxf x10 1 2(), ,()kkkkfxxxkfx 令令牛頓法最初由牛頓法最初由艾薩克艾薩克牛頓牛頓，1671年年完成，在牛頓死后的完成，在牛頓死后的1736年年公開(kāi)發(fā)表。公開(kāi)發(fā)表。約瑟夫約瑟夫拉弗森拉弗森也曾于也曾于1690年年提出此方法提出此方法*,xx稱(chēng)上式稱(chēng)為稱(chēng)上式稱(chēng)為New

24、tonNewton迭代格式迭代格式. .用用NewtonNewton迭代格式求方程根的方法稱(chēng)為迭代格式求方程根的方法稱(chēng)為NewtonNewton法法. .2 2、牛頓迭代法的、牛頓迭代法的局部收斂性定理局部收斂性定理12122*(*)lim*=(*)(*)kkkxxfxxxxfx （） *0( )( )0()( )0,()kfxfxB xxxf xxxB xxxxx設(shè) 為方程的根，在包含 的某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且，則存在的鄰域，使得對(duì)一初值，由產(chǎn)生的序列以至少具有收斂速 度收斂于 ，且牛牛頓頓迭迭代代法法二二階階其中其中 ，則則()()()fxxxfx 201(*)(*)(*)(*)fxfxxf

25、x 收斂收斂證明：證明：牛頓迭代法牛頓迭代法事實(shí)上是事實(shí)上是一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代221 ( )( )( )( )( )fxf x fxxfx 由泰勒展開(kāi)：由泰勒展開(kāi)：2)*(!2)()*)()(*)(0kkkkkxxfxxxfxfxf 2)*()(!2)()()(*kkkkkkxxxffxfxfxx 1 kx122*()( *)()kkkkxxfxxfx 在在單根單根附近收斂快！附近收斂快！只要只要 ，則令，則令 可得結(jié)論可得結(jié)論. k0()fx 在 和 之間k *xkx牛頓迭代法的改進(jìn)牛頓迭代法的改進(jìn) 重根重根問(wèn)題問(wèn)題1: 若若 ，牛頓迭代法牛頓迭代法是否仍收斂？是否仍收

26、斂？0*)( xf設(shè)設(shè) x* 是是 f 的的 m 重根，則：重根，則： 且且 。()()()mfxxxgx ()0gx 從而有從而有111*()()()(*)limlim.()()()xxxxxxg xxxxm g xxxgxm 1()()()()()()()()()mmmfxxxg xxxxfxm xxg xxxgx 答答2: 若根的重?cái)?shù)未知若根的重?cái)?shù)未知，可可將將 f 的的重根重根轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為另一函數(shù)的為另一函數(shù)的單根單根。答答1: 有局部線(xiàn)性收斂性，但重?cái)?shù)有局部線(xiàn)性收斂性，但重?cái)?shù) m 越高越高，收斂，收斂越慢越慢。問(wèn)題問(wèn)題2: 如何如何加速加速重根的收斂速度重根的收斂速度令 ，則則 f 的

27、重根是的重根是 的單根，且的單根，且)()()(xfxfx *()( )( )( )()( )xxg xxmg xxxgx2( )( )( )( )( )( )( )( )xfx fxxxxxfxfx fx( )x對(duì)對(duì) 構(gòu)造出相應(yīng)的牛頓迭代格式，迭代函數(shù)為構(gòu)造出相應(yīng)的牛頓迭代格式，迭代函數(shù)為從而可構(gòu)造出相應(yīng)的迭代法格式為從而可構(gòu)造出相應(yīng)的迭代法格式為12()()()()()kkkkkkkfxfxxxfxfxfx若已知根的重?cái)?shù)為若已知根的重?cái)?shù)為 n，可將迭代格式改為，可將迭代格式改為，10 1 2(), , ,()kkkkfxxxnkfx *()0 x 所以格式是平所以格式是平方收斂的方收斂的 收斂速度快，穩(wěn)定性好；收斂速度快，穩(wěn)定性好； 精度高。精度高。 在重根附近收斂速度會(huì)降階在