線性系統(tǒng)的狀態(tài)綜合

1、線性系統(tǒng)的狀態(tài)綜合4.1.1 問題的提出q 系統(tǒng)綜合是系統(tǒng)分析的逆問題。系統(tǒng)分析問題即為對(duì)已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，以及確定好系統(tǒng)的外部輸入(系統(tǒng)激勵(lì))下，對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行定性分析如能控性、能觀性、穩(wěn)定性能控性、能觀性、穩(wěn)定性等而系統(tǒng)綜合問題為已知系統(tǒng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，以及所期望的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式或關(guān)于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)動(dòng)態(tài)過程和目標(biāo)的某些特征，所需要確定的是則需要施需要施加于系統(tǒng)的外部輸入的大小或規(guī)律加于系統(tǒng)的外部輸入的大小或規(guī)律。4.1 引言 必須考慮三個(gè)方面的因素：1)抗外部干擾問題；2)抗內(nèi)部結(jié)構(gòu)與參數(shù)的攝動(dòng)問題，即魯棒性(Robustness)問題；3)控制規(guī)律的工程實(shí)現(xiàn)問題。一般情況下，控制理論發(fā)展與控制

2、系統(tǒng)設(shè)計(jì)的追求目標(biāo)為解析的反饋控制作用規(guī)律反饋控制作用規(guī)律(反饋控制律)。 對(duì)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)被控系統(tǒng)，在解析反饋控制規(guī)律難于求解的情形下，需要求系統(tǒng)的數(shù)值反饋控制規(guī)律或外部輸入函數(shù)的數(shù)值解序列(開環(huán)控制輸入)。4.1.2 工程實(shí)現(xiàn)中的一些理論問題q狀態(tài)獲取問題狀態(tài)獲取問題對(duì)狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)，要實(shí)現(xiàn)已求解的狀態(tài)反饋規(guī)律，需要獲取被控系統(tǒng)的狀態(tài)信息，以構(gòu)成反饋。但對(duì)許多實(shí)際系統(tǒng)，所考慮的狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部信息的一組變量，可能并不完全能直接測量或以經(jīng)濟(jì)的方式測量。這就需要基于狀態(tài)觀測理論，根據(jù)系統(tǒng)模型，利用直接測量到的輸入輸出信息來構(gòu)造或重構(gòu)狀態(tài)變量信息。相應(yīng)的理論問題稱為狀態(tài)重構(gòu)問題狀態(tài)重構(gòu)問題

3、，即觀測器問觀測器問題題。q建模誤差和參數(shù)攝動(dòng)問題建模誤差和參數(shù)攝動(dòng)問題對(duì)系統(tǒng)綜合問題，首先需建立一個(gè)描述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型。并且，系統(tǒng)分析與綜合都是建立在模型基礎(chǔ)上的。系統(tǒng)模型是理想與現(xiàn)實(shí)，精確描述與簡化描述的折中，任何模型都會(huì)有建模誤差。此外，由于系統(tǒng)本身的復(fù)雜性及其所處環(huán)境的復(fù)雜性，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性會(huì)產(chǎn)生緩慢變化。這種變化在一定程度上可視為系統(tǒng)模型的參數(shù)攝動(dòng)。這樣，基于理想模型綜合得到的控制器，運(yùn)用于實(shí)際系統(tǒng)中所構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)，對(duì)這些建模誤差和參數(shù)攝動(dòng)是否具有良好的抗干擾性(不敏感性)，是否使系統(tǒng)保持穩(wěn)定，是否使系統(tǒng)達(dá)到或接近預(yù)期的性能指標(biāo)成為控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵問題。q下面，本

4、章將就這些系統(tǒng)綜合的主要問題，如極點(diǎn)配置鎮(zhèn)定解耦（介紹）觀測器問題基于狀態(tài)反饋理論作細(xì)致討論。q控制理論最基本的任務(wù)是，對(duì)給定的被控系統(tǒng)設(shè)計(jì)能滿足所期望的性能指標(biāo)的閉環(huán)控制系統(tǒng)，即尋找反饋控制律反饋控制律。狀態(tài)反饋和輸出反饋是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中兩種主要的反饋策略，其意義分別為將觀測到的狀態(tài)和輸出取作反饋量以構(gòu)成反饋律，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的閉環(huán)控制，以達(dá)到期望的對(duì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求。在經(jīng)典控制理論中，一般只考慮由系統(tǒng)的輸出變量來構(gòu)成反饋律，即輸出反饋輸出反饋。在現(xiàn)代控制理論的狀態(tài)空間分析方法中，多考慮采用狀態(tài)變量來構(gòu)成反饋律，即狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋。4.2 狀態(tài)反饋與輸出反饋q 本節(jié)討論的主要問題： 基本概念:

5、 狀態(tài)反饋、輸出反饋 基本性質(zhì): 反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性/能觀性q 本節(jié)的講授順序?yàn)? 狀態(tài)反饋的描述式狀態(tài)反饋的描述式 輸出反饋的描述式輸出反饋的描述式 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性q 由于線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型以及能控性判據(jù)的類同性，因此本節(jié)討論的概念和方法也可推廣到線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和輸出反饋系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)問題。 重點(diǎn)！4.2.1 狀態(tài)反饋的描述式q對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C)，若取系統(tǒng)的狀態(tài)變量來構(gòu)成反饋，則所得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱為狀態(tài)狀態(tài)反饋系統(tǒng)反饋系統(tǒng)。狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可如圖4-1所示 B A C K u y + v x +

6、- + x 開環(huán)系統(tǒng) 圖4-1 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖其中K為rn維的實(shí)矩陣，稱為狀態(tài)反饋矩陣狀態(tài)反饋矩陣；v為r維的輸入向量，亦稱為伺服輸入。 將狀態(tài)反饋律代入開環(huán)系統(tǒng)方程， D=0則可得如下狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型：q 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可描述如下: 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型和狀態(tài)反饋律分別記為ABCK xxuyxuxv()ABKBC xxvyx 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)可簡記為K(A-BK,B,C)，其傳遞函數(shù)陣為:GK(s)=C(sI-A+BK)-1B4.2.2 輸出反饋的描述式q對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C)，若取系統(tǒng)的輸出變量來構(gòu)成反饋，則所得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱為輸出輸

7、出反饋控制系統(tǒng)反饋控制系統(tǒng)。輸出反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-2所示。 B A C H y - x u v + + + x 開環(huán)系統(tǒng) 圖4-2 輸出反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與狀態(tài)反饋有何不同?q 輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可描述如下: 開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型和輸出反饋律分別為ABCH xxuyxuyv其中H為rm維的實(shí)矩陣，稱為輸出反饋矩陣輸出反饋矩陣。 將輸出反饋律代入開環(huán)系統(tǒng)方程，則可得如下輸出反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型：()ABHCBC xxvyx輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)可簡記為H(A-BHC,B,C)，其傳遞函數(shù)陣為:GH(s)=C(sI-A+BHC)-1Bq 由狀態(tài)反饋和輸出反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)狀

8、態(tài)空間模型可知，輸出反饋其實(shí)可以視為當(dāng)K=HC時(shí)的狀態(tài)反饋。因此，在進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，輸出反饋可看作狀態(tài)反饋的一種特例。反之，則不然。 由此也可知，狀態(tài)反饋可以達(dá)到比輸出反饋更好的控制品質(zhì)，更佳的性能。反饋控制對(duì)能控性與能觀測性的影響q 對(duì)于由狀態(tài)反饋和輸出反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)，其狀態(tài)能控/能觀性是進(jìn)行反饋律設(shè)計(jì)和閉環(huán)系統(tǒng)分析時(shí)所關(guān)注的問題。 下面分別討論兩種閉環(huán)系統(tǒng)的 狀態(tài)能控性 狀態(tài)能觀性1. 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性q 由狀態(tài)能控性PBH秩判據(jù)，被控系統(tǒng)(A,B,C)采用狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)K(A-BK,B,C)的能控性可由條件rankI-A+BK B=n 來判定，而0r- r -r-II A

9、BK BI A BI A BK I上式即表明狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能控性狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。q 由于輸出反饋可視為狀態(tài)反饋在K=HC時(shí)的特例，故輸出反饋亦不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能控性輸出反饋亦不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。2. 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性q 對(duì)被控系統(tǒng)(A,B,C)有如下結(jié)論: 采用輸出反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)H(A-BHC,B,C)后狀態(tài)能觀性不變，即 輸出反饋不改變狀態(tài)能觀性輸出反饋不改變狀態(tài)能觀性。q 對(duì)于采用狀態(tài)反饋構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)K(A-BK，B,C)，狀態(tài)能觀性可能發(fā)生變化，即： 狀態(tài)反饋可能改變狀態(tài)能觀性狀態(tài)反饋可能改變狀態(tài)能觀性。 該結(jié)論可先由下面的例子來說明，在后述的

10、極點(diǎn)配置部分再詳細(xì)討論。例例4-1 設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為12031112 xxuyx并設(shè)狀態(tài)反饋陣K=3 1和輸出反饋H=2。試分析該系統(tǒng)的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)和輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控/能觀性。解解 1. 因?yàn)殚_環(huán)系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣的秩分別為nCACnABB24721rankrank21120rankrank 所以開環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)能控又能觀的。2. 經(jīng)狀態(tài)反饋u=-Kx+v后的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為120()001ABKB xxvxv其能控性矩陣和能觀性矩陣的秩分別為12031112 xxuyx 所以狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)能控但不能觀的，即狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。3.

11、 經(jīng)輸出反饋u=-Hy+v后的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為02rank()rank21012rankrank1()12BABK BnCnC ABK 120()131ABHCB xxvxv其能控性矩陣和能觀性矩陣的秩分別為12031112 xxuyx所以輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)能控又能觀的。02rank() rank21-312rankrank2()3-4BABHC BnCnC ABHC4.3 極點(diǎn)配置q本節(jié)討論如何利用狀態(tài)反饋來進(jìn)行線性定常連續(xù)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置，即使反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)具有所指定的閉環(huán)極點(diǎn)。對(duì)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)問題，有完全平行的結(jié)論和方法。q對(duì)線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和各種性能的

12、品質(zhì)指標(biāo)，在很大程度上是由閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位置所決定的。因此在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，設(shè)法使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于s平面上的一組合理的、具有所期望的性能品質(zhì)指標(biāo)的極點(diǎn)，可以有效地改善系統(tǒng)的性能。這樣的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法稱為極點(diǎn)配置極點(diǎn)配置。在經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)綜合中，無論采用頻率域法還是根軌跡法，都是通過改變極點(diǎn)的位置來改善性能指標(biāo)，本質(zhì)上均屬于極點(diǎn)配置方法。本節(jié)所討論得極點(diǎn)配置問題，則是指如何通過狀態(tài)反饋陣K的選擇，使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好處于預(yù)先選擇的一組期望極點(diǎn)上。q 由于線性定常系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，因此考慮到問題的可解性，對(duì)期望的極點(diǎn)的選擇應(yīng)注意下列問題:1) 對(duì)于n階系統(tǒng)，可以而且

13、必須給出n個(gè)期望的極點(diǎn)；2) 期望的極點(diǎn)必須是實(shí)數(shù)或成對(duì)出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)；3) 期望的極點(diǎn)必須體現(xiàn)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標(biāo)等的要求。 p2 p1 p3 q基于指定的期望閉環(huán)極點(diǎn)，線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置問題可描述為:給定線性定常連續(xù)系統(tǒng) 確定反饋控制律uxxBA 使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在指定的n個(gè)期望的閉環(huán)極點(diǎn)也就是成立vxuKnisBKAii,.,2 , 1,)(* 本節(jié)主要討論兩方面的問題：其一，閉環(huán)極點(diǎn)可任意配置的條件；其二，如何設(shè)計(jì)反饋增益陣使閉環(huán)極點(diǎn)配置在期望極點(diǎn)處。為簡單起見，僅討論單輸入單輸出系統(tǒng)。 4.3.1 采用狀態(tài)反饋配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn) q在進(jìn)行極點(diǎn)配置時(shí)

14、，存在如下問題:被控系統(tǒng)和所選擇的期望極點(diǎn)滿足哪些條件，則是可以進(jìn)行極點(diǎn)配置的。 下面的定理就回答了該問題。定理定理6-1 對(duì)線性定常系統(tǒng)(A,B,C)利用線性狀態(tài)反饋陣K，能使閉環(huán)系統(tǒng)K(A-BK,B,C)的極點(diǎn)任意配置的充分充分必要條件為被控系統(tǒng)必要條件為被控系統(tǒng) (A,B,C)狀態(tài)完全能控狀態(tài)完全能控。 4.3.2 系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的算法方法一 標(biāo)準(zhǔn)算法 該算法適用系統(tǒng)維數(shù)n等于或大于4，控制矩陣中非零元素比較多的情況，所有的矩陣計(jì)算都可由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。具體可按下面步驟完成。1.考察系統(tǒng)的能控性條件。如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可按下列步驟繼續(xù)。2.利用系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式111de

15、t()nnnnsIAsIAsa sasa12,na aa確定出3確定將系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣P。若給定的狀態(tài)方程已是能控標(biāo)準(zhǔn)形，那么P =I。此時(shí)無需再寫出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)方程。非奇異線性變換矩陣P 可給出，即其中Qc為能控性矩陣，即1212311101001000nnnnaaaaaWaQc=B AB An-1BP =QcW5此時(shí)的狀態(tài)反饋增益矩陣 為1112211nnnnKaaaaaaaaP 4利用給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)，可寫出期望的特征多項(xiàng)式為12,na aa確定出*11*1*2*1)()(nnnnnasasassss 方法二方法二 解聯(lián)立方程解聯(lián)立方程 如果是低階系統(tǒng)(n

16、3)，則將線性反饋增益矩陣K直接代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，可能更為簡便。例如，若n = 3，則可將狀態(tài)反饋增益矩陣K寫為123Kkkk進(jìn)而將此 代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 使其等于期望的閉環(huán)極點(diǎn) 即sIABK)()(*3*2*1sssBKAsI)()(*3*2*1sss由于該特征方程的兩端均為s的多項(xiàng)式，故可通過使其兩端的同次冪系數(shù)相等，來確定K1,K2,K3的值。如果n = 2或者n = 3，這種方法非常簡便（對(duì)于n =4,5,6,，這種方法可能非常繁瑣）。q 由于狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)和特性的，因此對(duì)實(shí)際控制系統(tǒng)，它可能不能直接測量，更甚者是抽象的數(shù)學(xué)變量，實(shí)際中不存在物理量與之直接

17、對(duì)應(yīng)。 若狀態(tài)變量不能直接測量，則在狀態(tài)反饋中需要引入所謂的狀態(tài)觀測器來估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量的值，再用此估計(jì)值來構(gòu)成狀態(tài)反饋律。這將在下節(jié)中詳述。例例4-2 考慮如下線性定常系統(tǒng)利用狀態(tài)反饋控制 ，希望該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為s = -2j4和s = -10，試確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。0100001,01561AB 解：(1)首先需檢驗(yàn)該系統(tǒng)的能控性矩陣。由于能控性矩陣為：rankQc = 3。因而該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，可任意配置極點(diǎn)。xAxBu20010161631QB AB A Bc方法1：(2)該系統(tǒng)的特征方程為：因此(3)期望的特征方程為323212310|011566510ssIAssss

18、ssa sa sa1236,5,1aaa323*2*123(24)(24)(10)14602000sjsjsssssa sa sa可得因此*12314,60,200aaa 200 1 605 146 199558K 方法2：(2)設(shè)期望的狀態(tài)反饋增益矩陣為123Kkkk并使 和期望的特征多項(xiàng)式相等，可得|sIABK1231233232132000100|000010 0015611001156(6)(5)11460200ssIABKskkkssskksksk sk sksss 1231233232132000100|0000100015611001156(6)(5)11460200ssIAB Kskkkssskksksksksksss321614,560,1200kkk123199,55,8kkk199558K (3)使其兩端的同次冪系數(shù)