34基本不等式

1、北京第屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的。新課引入新課引入ab22ba 22ba 1、正方形、正方形ABCD的的面積面積S=、四個(gè)直角三角形的、四個(gè)直角三角形的面積和面積和S = =ab2、S與與S有什么有什么樣的不等關(guān)系？樣的不等關(guān)系？ 探究：探究：SS即即問(wèn)：那么它們有相等的情況嗎？問(wèn)：那么它們有相等的情況嗎？22ba ab2(ab)ADBCEFGHba22ab猜想：猜想： 一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有，我們有當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。時(shí)，等號(hào)成立。222ababABCDE(FGH)ab22ba ab222ba ab2(ab

2、)(ab)思考：思考：你能給出不等式你能給出不等式 的證明嗎？的證明嗎？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以222.abab所以時(shí)當(dāng)ba 時(shí)當(dāng)ba 222abab證明：（作差法）證明：（作差法） 2)(ba重要不等式：重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有，總有 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立222abab文字?jǐn)⑹鰹槲淖謹(jǐn)⑹鰹? : 兩數(shù)的平方和兩數(shù)的平方和不小于不小于它們積的它們積的2 2倍倍. . 適用范圍：適用范圍： a,bR0,0, ,ababa b如果我們用分別代替可得到什么結(jié)論？0,0, ,ababa b如果我們用分別代替

3、可得到什么結(jié)論？22()()2abab2abab替換后得到：替換后得到： 即：即：) 0, 0(ba2abab 即：即：你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎？你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎？2abab證明：要證證明：要證 只要證只要證_ab 要證要證，只要證，只要證_0ab要證要證，只要證，只要證2(_)0顯然顯然, 是成立的是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)時(shí), 中的等號(hào)成立中的等號(hào)成立. 分析法分析法22(0,0,() ,() )abaabb2abab)0, 0(ba證明不等式：證明不等式：2 ab2 abba特別地，若特別地，若a0，b0，則，則_2abab通常我們把上式寫(xiě)作：

4、通常我們把上式寫(xiě)作：(0,0)2ababab當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在數(shù)學(xué)中，我們把在數(shù)學(xué)中，我們把 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；的幾何平均數(shù)；2abab文字?jǐn)⑹鰹椋何淖謹(jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍：適用范圍： a0,b0你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?RtACDRtDCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab所以AB

5、CDEabO如圖如圖, AB是圓的直徑是圓的直徑, O為圓心，為圓心，點(diǎn)點(diǎn)C是是AB上一點(diǎn)上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,連接連接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2abab你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2ababOD與與CD的大小關(guān)系怎樣的大小關(guān)系怎樣? OD_CD如圖如圖, AB是圓的直徑是圓的直徑, O為圓心，為圓心，點(diǎn)點(diǎn)C是是AB上

6、一點(diǎn)上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,連接連接AD、BD、OD.2abab幾何意義：半徑不小于弦長(zhǎng)的一半幾何意義：半徑不小于弦長(zhǎng)的一半ADBEOCab 例例1（1）用籬笆圍成一個(gè)面積為用籬笆圍成一個(gè)面積為100m的矩形的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？籬笆最短。最短的籬笆是多少？解：（解：（1）設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為）設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為x m，寬為，寬為y m， 則則xy=100，籬笆的長(zhǎng)為，籬笆的長(zhǎng)為2（x+y）m. 2xyxy2 100,xy 2()40 xy等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)

7、當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，此時(shí)時(shí)成立，此時(shí)x=y=10. 因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最時(shí)，所用的籬笆最 短，最短的籬笆是短，最短的籬笆是40m. 結(jié)論結(jié)論1 1：兩個(gè)正數(shù)積為定值，則和有最小值兩個(gè)正數(shù)積為定值，則和有最小值例例1.1.（2 2）用一段長(zhǎng)為用一段長(zhǎng)為36m36m的籬笆圍成一的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？多少？結(jié)論結(jié)論2 2：兩個(gè)正數(shù)和為定值，則積有最大值兩個(gè)正數(shù)和為定值，則積有最大值例2: 某工廠擬建一座平面

8、圖為矩形且面積為某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2的三級(jí)污水處理池（平面圖如上圖）。如果池四的三級(jí)污水處理池（平面圖如上圖）。如果池四周?chē)鷫ㄔ靻蝺r(jià)為周?chē)鷫ㄔ靻蝺r(jià)為400元元/m，中間兩道隔墻建造，中間兩道隔墻建造單價(jià)為單價(jià)為248元元/m，池底建造單價(jià)為，池底建造單價(jià)為80元元/m2，水，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水處理池的池所有墻的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最底造價(jià)。長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最底造價(jià)。設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為 x m 、寬為 ym,總造價(jià)為z元，則解解：z=400 (2x+2y)+2482y+80200=800 x+129

9、6y+16000.當(dāng)且僅當(dāng)800 x=1296y, 即x=18時(shí)，取等號(hào)。304001600012968002yx答答：池長(zhǎng)18m，寬100/9 m時(shí)， 造價(jià)最低為30400元。xy=200 練習(xí)練習(xí)3.3.某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其 容積為容積為4800m4800m3 3, ,深為深為3m,3m,如果池底每如果池底每1m1m2 2的造的造 價(jià)為價(jià)為150150元，池壁每元，池壁每1m1m2 2的造價(jià)為的造價(jià)為120120元，元， 問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？ 最低總造價(jià)是多少元？最低總造價(jià)是多少元？221.2(ab

10、Rababab、，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）2.,(2ababRabab、當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）22(2ababRab、，同上）2,() (2ababRab、同上）,2(abRabab、同上）復(fù)習(xí)回顧例 1、已知PxySyxRyx,、， 求證： （1）如果P是定值，那么當(dāng) 且僅 當(dāng)yx時(shí)， S的值 最小，且最小值為P2； （2）如果S是定值，那么當(dāng) 且僅 當(dāng)yx時(shí)， P的值 最大，且最大值為42S。 10,xyxxx例1、若求函數(shù)的最小值，并求此時(shí) 的值。1變式2：已知x3,求函數(shù)y=x+的最小值，并求此時(shí)x的值。x-31變式3：已知x3,求函數(shù)y=x+ 的最小值，并求此時(shí)x的值。x1變式1：已知x0,求函數(shù)y=x+ 的最大值，并求此時(shí)x的值。x一、正二、定三、相等例2、已知0 x1,求函數(shù)y=x（1-x）的最大值。,yx1變式：已知0 x求函數(shù)（1-3x）的最大值313,4245111,yxxxyxyRxy5例 、（1）已知x0,y0,且5x+7y=20，求xy的最大值。 （3