（精選）數(shù)論知識(shí)點(diǎn)Word版

1、進(jìn)制1.十進(jìn)制：我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點(diǎn)是“逢十進(jìn)一”。在實(shí)際生活中，除了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制。比如二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制等。2.二進(jìn)制：在計(jì)算機(jī)中，所采用的計(jì)數(shù)法是二進(jìn)制，即“逢二進(jìn)一”。因此，二進(jìn)制中只用兩個(gè)數(shù)字0和1。二進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位分別是1、21、22、23、，二進(jìn)制數(shù)也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進(jìn)制中表示為：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。二進(jìn)制的運(yùn)算法則：“滿二進(jìn)一”、“借一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一

2、得一。注意：對(duì)于任意自然數(shù)n,我們有n0=1。3.進(jìn)制：一般地，對(duì)于k進(jìn)位制，每個(gè)數(shù)是由0，1，2，共k個(gè)數(shù)碼組成，且“逢k進(jìn)一”進(jìn)位制計(jì)數(shù)單位是，如二進(jìn)位制的計(jì)數(shù)單位是，八進(jìn)位制的計(jì)數(shù)單位是，4.進(jìn)位制數(shù)可以寫成不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)之和的形式十進(jìn)制表示形式：；二進(jìn)制表示形式：；為了區(qū)別各進(jìn)位制中的數(shù)，在給出數(shù)的右下方寫上，表示是進(jìn)位制的數(shù)如：，,分別表示八進(jìn)位制，二進(jìn)位制，十二進(jìn)位制中的數(shù)5.進(jìn)制的四則混合運(yùn)算和十進(jìn)制一樣先乘除，后加減；同級(jí)運(yùn)算，先左后右；有括號(hào)時(shí)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的。二、進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換：一般地，十進(jìn)制整數(shù)化為進(jìn)制數(shù)的方法是：除以取余數(shù)，一直除到被除數(shù)小于為止，余數(shù)由下到上按從左到右順

3、序排列即為進(jìn)制數(shù)反過來，進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的一般方法是：首先將進(jìn)制數(shù)按的次冪形式展開，然后按十進(jìn)制數(shù)相加即可得結(jié)果余數(shù)定理：1.余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+1639除以5的余數(shù)等于4，即兩個(gè)余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23+1942除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)為22.余數(shù)的加法定理a與b的差除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之差。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，

4、所以23167除以5的余數(shù)等于2，兩個(gè)余數(shù)差312.當(dāng)余數(shù)的差不夠減時(shí)時(shí)，補(bǔ)上除數(shù)再減。例如：23，14除以5的余數(shù)分別是3和4，23149除以5的余數(shù)等于4，兩個(gè)余數(shù)差為35443.余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23×16除以5的余數(shù)等于3×13。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23×19除以5的余數(shù)等于3×4除以5的余數(shù)，即2.乘方：如果a與b除以m的余數(shù)相同，那

5、么與除以m的余數(shù)也相同同余定理1、 定義整數(shù)a和b，除以一個(gè)大于1的自然數(shù)m所得余數(shù)相同，就稱a和b對(duì)于模m同余或稱a和b在模m下同余，即 ab（modm）2、 同余的重要性質(zhì)及舉例。1aa（modm）（a為任意自然）；2若ab（modm），則ba（modm）3若ab（modm），bc（modm）則ac（modm）；4若ab（modm），則acbc（modm）5若ab（modm），cd（modm），則ac=bd（modm）；6若ab（modm）則anbm（modm）其中性質(zhì)3常被稱為"同余的可傳遞性"，性質(zhì)4、5常被稱為"同余的可乘性，"性質(zhì)6常被稱為&

6、quot;同余的可開方性"注意：一般地同余沒有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1則ab（modm）3、 整數(shù)分類：1用2來將整數(shù)分類，分為兩類：1，3，5，7，9，（奇數(shù)）；0，2，4，6，8，（偶數(shù)）2用3來將整數(shù)分類，分為三類：0，3，6，9，12，（被3除余數(shù)是0）1，4，7，10，13，（被3除余數(shù)是1）2，5，8，11，14，（被3除余數(shù)是2）3在模6的情況下，可將整數(shù)分成六類，分別是：0（mod6）：0，6，12，18，24，1（mod6）：1，7，13，19，25，2（mod6）：2，8，14，20，26，3（mod6）：

7、3，9，15，21，27，4（mod6）：4，10，16，22，29，5（mod6）：5，11，17，23，29，完全平方數(shù)常用性質(zhì)1.主要性質(zhì)1.完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。3.完全平方數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。4.若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)，則p能被整除。2.性質(zhì)性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是0，1，4，5，6，9性質(zhì)2：完全平方數(shù)被3，4，5，8，16除的余數(shù)一定是完全平方數(shù)性質(zhì)3：自然數(shù)N為完全平方數(shù)自然數(shù)N約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)因?yàn)橥耆椒綌?shù)的質(zhì)因數(shù)分解中每個(gè)質(zhì)因數(shù)

8、出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次，所以，如果p是質(zhì)數(shù)，n是自然數(shù)，N是完全平方數(shù)，且，則性質(zhì)4：完全平方數(shù)的個(gè)位是6它的十位是奇數(shù)性質(zhì)5：如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位是0，則它后面連續(xù)的0的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個(gè)性質(zhì)6：如果一個(gè)自然數(shù)介于兩個(gè)連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù)一些重要的推論1.任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。2.一個(gè)完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。3.自然數(shù)的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，

9、04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)（1，5，9）時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。5.完全平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)（0，4）時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。6.完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字為6時(shí)，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。7.凡個(gè)位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個(gè)“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個(gè)位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。奇數(shù)的平方除以四余1. 8.重點(diǎn)公式回顧：平方差公式： 質(zhì)數(shù)與合數(shù)常用的100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、3

10、7、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計(jì)25個(gè)；除了2其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；除了2和5，其余的質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)字只能是1，3，7或9.考點(diǎn)： 值得注意的是很多題都會(huì)以質(zhì)數(shù)2的特殊性為考點(diǎn). 除了2和5，其余質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)字只能是1，3，7或9.這也是很多題解題思路，需要大家注意.二、質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)1質(zhì)因數(shù)：如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就說這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù).互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個(gè)自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù).2 唯一分解定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即：其中為質(zhì)數(shù)，為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.該式稱為n的質(zhì)因子分解式.例如：三

11、個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求這三個(gè)數(shù).分析：210=2×3×5×7，可知這三個(gè)數(shù)是5、6和7.3. 部分特殊數(shù)的分解；.4. 判斷一個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法根據(jù)定義如果能夠找到一個(gè)小于p的質(zhì)數(shù)q(均為整數(shù))，使得q能夠整除p，那么p就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于p的質(zhì)數(shù)去除p就可以了；但是這樣的計(jì)算量很大，對(duì)于不太大的p，我們可以先找一個(gè)大于且接近p的平方數(shù)，再列出所有不大于K的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除p，如沒有能夠除盡的那么p就為質(zhì)數(shù).例如：149很接近，根據(jù)整除的性質(zhì)149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質(zhì)數(shù).約數(shù)的概念與最大公約數(shù)0被排除在約數(shù)與倍

12、數(shù)之外1求最大公約數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來例如：，所以；短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘例如：，所以；輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個(gè)數(shù)除大的一個(gè)數(shù)，得第一個(gè)余數(shù)；再用第一個(gè)余數(shù)除小的一個(gè)數(shù)，得第二個(gè)余數(shù)；又用第二個(gè)余數(shù)除第一個(gè)余數(shù)，得第三個(gè)余數(shù)；這樣逐次用后一個(gè)余數(shù)去除前一個(gè)余數(shù)，直到余數(shù)是0為止那么，最后一個(gè)除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)(如果最后的除數(shù)是1，那么原來的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的)例如，求600和1515的最大公約數(shù)：；所以1515和600的最大公約

13、數(shù)是152 最大公約數(shù)的性質(zhì)幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)；幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以3 求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b；即為所求倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)1. 求最小公倍數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：，所以；短除法求最小公倍數(shù)；例如： ，所以；2. 最小公倍數(shù)的性質(zhì)兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積兩個(gè)數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中

14、較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)3. 求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)；即為所求例如： 注意：兩個(gè)最簡分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù).例如：三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1 兩個(gè)自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。如果為、的最大公約數(shù)，且，那么互質(zhì)，所以、的最小公倍數(shù)為，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：，即兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的積；最大公約數(shù)是、及最小公倍數(shù)的約數(shù)2 兩個(gè)數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。即，此性質(zhì)比較簡單，學(xué)生比

15、較容易掌握。3 對(duì)于任意3個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，如果三個(gè)連續(xù)數(shù)的奇偶性為a)奇偶奇，那么這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)例如：，210就是567的最小公倍數(shù)b)偶奇偶，那么這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的2倍例如：，而6,7,8的最小公倍數(shù)為性質(zhì)（3）不是一個(gè)常見考點(diǎn)，但是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系，即“幾個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)一定不會(huì)比他們的乘積大”。求約數(shù)個(gè)數(shù)與所有約數(shù)的和1 求任一整數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)一個(gè)整數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在對(duì)其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積。如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后為，所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24個(gè)。(包括1和1400本身)約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式是本講的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，授課時(shí)應(yīng)重點(diǎn)講解，公式的推導(dǎo)過程是建立在開篇講過的數(shù)字“唯一分解定理”形式基礎(chǔ)之上，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出來的，不是很復(fù)雜，建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌握。難點(diǎn)在于公式的逆推，有相當(dāng)一部分?？嫉钠y題型考察的就是對(duì)