第四章諧振子

1、第四章第四章 諧振子諧振子4.1 微分方程的冪級數解微分方程的冪級數解)10. 2(02222Emdxd) 1 . 4(0)()( 2xycxy輔助方程輔助方程icscs022當輔助方程的根是純虛數時，得到的三角函數形式的解：當輔助方程的根是純虛數時，得到的三角函數形式的解：) 2 . 4()sin()cos(cxBcxAy4.1 微分方程的冪級數解微分方程的冪級數解) 3 . 4()sin(ecxDyyxyxyxsincoscossin)sin(兩和的正弦公式兩和的正弦公式 用冪級數法解用冪級數法解（4.1），假設解可在），假設解可在 附近用臺勞附近用臺勞級數展開，即級數展開，即) 4 .

2、4()(3322100 xaxaxaaxaxynnn 將（將（4.4）微分，得，）微分，得，) 5 . 4(32)( 112321nnnxnaxaxaaxy0 x4.1 微分方程的冪級數微分方程的冪級數) 6 . 4() 1() 2( 32)( 2232nnnxannxaaxy將（將（4.4）和（）和（4.6）代入（）代入（4.1），得，），得，)7 . 4(0) 1(2022nnnnnnxacxann 合并（合并（4.7）中的兩個和，）中的兩個和，)8 . 4()(000jjjjjjjjjjxcbxcxb 可將（可將（4.8）用于（）用于（4.7），所以需將（），所以需將（4.7）中第一項的

3、求）中第一項的求和指標做一次變換，令和指標做一次變換，令2 kn4.1 微分方程的冪級數微分方程的冪級數)10. 4() 1)(2() 1()9 . 4() 1)(2() 1(02220222nnnnnnkkknnnxannxannxakkxann 因為求和指標是啞變量，所以用什么字母來表示此變因為求和指標是啞變量，所以用什么字母來表示此變量并無什么不同。量并無什么不同。 將（將（4.10）代入（）代入（4.7）中，在求和得，）中，在求和得，)13. 4(0) 1)(2(022nnnnxacann 若（若（4.134.13）對所有的）對所有的 值是正確的，那么每一冪次值是正確的，那么每一冪次的

4、的 的系數必為零。如，的系數必為零。如，xx4.1 微分方程的冪級數微分方程的冪級數)14.4(00jjjxb 在（在（4.14）中假設）中假設 ，則表明，則表明 。?。?。?。?.14）對對 的一階導數，然后使的一階導數，然后使 ，則表明，則表明 。取。取 階導階導數，并使數，并使 ，則，則 。于是由（。于是由（4.13），有），有)16. 4()2)(1()15. 4(0) 1)(2(2222nnnnanncaacann0 x0nb0 x0 x00b01bx0a 像（像（4.16）這樣的等式叫做遞推關系式。運用該式，若知）這樣的等式叫做遞推關系式。運用該式，若知 的值，可求的值，可求 。若知

5、。若知 ，可求，可求 。,642aaa,753aaa1an4.1 微分方程的冪級數微分方程的冪級數)17. 4(,10BcaAa 因為對一因為對一 和和 的值無限制，它們是任意的常數，可令的值無限制，它們是任意的常數，可令代入到（代入到（4.16），求得系數），求得系數)19. 4(, 2 , 1 , 0,)!12() 1(,! 7,2345,32,)18. 4(, 3 , 2 , 1 , 0,)!2() 1(,! 6,1234,21,12127755331226644220kkBcaBcaBcaBcaBcakkAcaAcaAcaAcaAakkkkkk0a1a4.1 微分方程的冪級數微分方程的

6、冪級數)20. 4()!12() 1()!2() 1(012120224, 2, 05 , 3 , 10kkkkkkkknnnnnnnnnkxcBkxcAyxaxaxay于是，于是， （4.20）中的兩個級數是對于）中的兩個級數是對于 與與 的臺勞級的臺勞級數；因而與（數；因而與（4.2）一致，有）一致，有)21. 4()sin()cos(cxBcxAy)cos( cx)sin( cx4.2 一維諧振子一維諧振子)22. 4(kxFxxFx 經典力學的處理。有一質點為經典力學的處理。有一質點為 的粒子被一力引向原點，的粒子被一力引向原點，此力正比于離開原點的位移：此力正比于離開原點的位移：是作

7、用于粒子的是作用于粒子的分量。分量。由牛頓第二定律給出，由牛頓第二定律給出，)23. 4(22dtxdmkx t是時間。是時間。m4.2 一維諧振子一維諧振子00222222xmkdtxdkxdtxdmdtxdmkx) 1 . 4(0)()( 2xycxymkc 2可以看出（可以看出（4.23）與（）與（4.1）一樣，有）一樣，有) 3 . 4()sin(ecxDy （4.1）的解（）的解（4.3）如下，）如下，4.2 一維諧振子一維諧振子v)24. 4()2sin(22,)sin(221bvtAxvmkvwmkwmkwbtmkAx于是（于是（4.23）的解為，）的解為，振動頻率振動頻率是，是

8、，)25. 4()(2121mkv 是力常數。是力常數。k4.2 一維諧振子一維諧振子 三維情況下，勢能三維情況下，勢能 與力的分量有關，與力的分量有關，)26. 4(,zVFyVFxVFzyx)27. 4(kxdxdvFx（4.26）式也是勢能的定義。在一維中，有）式也是勢能的定義。在一維中，有對（對（4.27）積分，有）積分，有)28.4(212CkxVv4.2 一維諧振子一維諧振子)29. 4(2212222mxvkxV選選 ，于是勢能，于是勢能 為為動能動能 是是)30. 4()(212dtdxmT v0cT4.2 一維諧振子一維諧振子總能是，總能是，)31. 4(2212)2(sin

9、)2(cos2)2(sin2)2(cos421)2(cos4)()2cos(2)2sin()2sin(2)(2122222222222222222222222222222mAvkAVTEmAvbvtbvtmAvbvtmAvbvtvAmVTEbvtvAdtdxbvtvAdtbvtAddtdxbvtAxmxvdtdxmVTE4.2 一維諧振子一維諧振子量子力學處理。其哈密頓算符是量子力學處理。其哈密頓算符是)33. 4 (2)32. 4 ()(2)4(22222222222222222222222222vmaxadxdmxmvdxdmmxvdxdmVdxdmVTH4.2 一維諧振子一維諧振子22m

10、EH 在乘以在乘以 后，薛定諤方程后，薛定諤方程為，為，)34. 4(0)2(02)(2(20)(2022222222222222222xamEdxdEmxadxdmmExadxdmEHEH4.2 一維諧振子一維諧振子)36. 4 ()()()( 2)( )( )()()35. 4 ()(2222222222xfxaxafxaxfxfexfexfaxexfeaxaxaxax為解（為解（4.34）我們需要一個代換，）我們需要一個代換，即即將（將（4.35）和（）和（4.36）代入（）代入（4.34）中，得中，得)37. 4 (0)()2 ()( 2)( 2xfamExaxfxf4.2 一維諧振子

11、一維諧振子)40. 4() 1)(2() 1)(2() 1()( )39. 4()( )38. 4()(02022201110nnnjjjnnnnnnnnnnnnxcnnxcjjxcnnxfxncxncxfxcxf 現在對現在對 試以級數解，試以級數解，)( xf4.2 一維諧振子一維諧振子)41. 4(0)2(2) 1)(2(0)2(2) 1)(2(20202002nnnnnnnnnnnnnnxcamEanccnnxcamExncaxcnn將（將（4.38），（），（4.39）和（）和（4.40）代入到（）代入到（4.37）中，得）中，得和（和（4.13）式一樣，使）式一樣，使 的系數為零，

12、有的系數為零，有)42. 4()2)(1()22(22nncnnmEanac這是所要求的兩項和的遞推關系式。這是所要求的兩項和的遞推關系式。nx4.2 一維諧振子一維諧振子)43. 4()(02224, 2, 022222lllaxnnnaxaxxcexcexfe （4.42）與（）與（4.16）的形式一樣，因此，知）的形式一樣，因此，知 可計可計算算 ；所以有兩個任意的常數：；所以有兩個任意的常數： 和和 。若。若令令 ，則將有只含，則將有只含 的偶次冪的冪級數乘以指數因的偶次冪的冪級數乘以指數因子的解：子的解： 若若 ,則將有只含則將有只含 的奇次冪的冪級數乘以指數因的奇次冪的冪級數乘以指

13、數因子的解子的解 ，)44. 4(012122, 3 , 1222lllaxnnnaxxcexcenc2nc0c1c01cx00cx4.2 一維諧振子一維諧振子)5 . 2(2211ycycy由薛定諤方程的通解由薛定諤方程的通解，可得，可得，)45. 4(002221212222llllaxllaxxcBexcAe 現在看是否有什么波函數的邊界條件導致解的任何限制?，F在看是否有什么波函數的邊界條件導致解的任何限制。為了看這兩個無窮級數在為了看這兩個無窮級數在 大時的表現，我們需要檢查每個大時的表現，我們需要檢查每個級數的相繼系數之比。級數的相繼系數之比。x4.2 一維諧振子一維諧振子 在第二個

14、級數中，在第二個級數中， 和和 的系數之比，我們可的系數之比，我們可令（令（4.42）式中的）式中的 ，)46. 4()22)(12(24)42. 4()2)(1()22(222222llmEalacccnnmEanaclnnl22 lxlx2ln24.2 一維諧振子一維諧振子la)47. 4()2)(2(4222大時llallalccll 假定對于大的假定對于大的 值，級數中后面的那些項是占優(yōu)值，級數中后面的那些項是占優(yōu)勢勢 的，我們看到在的，我們看到在 值大時（值大時（4.46）的比值：）的比值： 在（在（4.42）中，令）中，令 ，我們可求得對于大，我們可求得對于大的的 ，第一個級數中相

15、繼系數之比也是，第一個級數中相繼系數之比也是 。12lnllx4.2 一維諧振子一維諧振子2axe)49. 4()!1(!1)48. 4(1!22122220lxalxaaxezznzellllaxnnz現在考慮對于函數現在考慮對于函數的冪級數展開。運用的冪級數展開。運用 在此級數中在此級數中 與與 系數之比為系數之比為）（大時50. 41!) 1(1llalalalall22 lxlx24.2 一維諧振子一維諧振子將保證將保證 變?yōu)闊o窮大時變?yōu)闊o窮大時 趨趨2axe2axe22axe 所以在解（所以在解（4.45）中，每個無窮級數的相繼系數之比，）中，每個無窮級數的相繼系數之比，與級數與級數

16、在在 大時的情況一樣的。大時的情況一樣的。 若每個級數趨于象若每個級數趨于象 那樣，于是（那樣，于是（4.45）表明，對）表明，對于大的于大的 ， 的行為如同的行為如同。當。當 趨于無窮大時，波函數趨于無窮大時，波函數將變?yōu)闊o窮大，而非平方可積。若能設法在一些有限項之后將變?yōu)闊o窮大，而非平方可積。若能設法在一些有限項之后中段此級數，那么因子中段此級數，那么因子22axe0lim202axpxex式中的式中的 是任意有限次冪。是任意有限次冪。lxx于零。于零。px4.2 一維諧振子一維諧振子 為了得到這兩個級數中的一個在有限項之后級數中斷，為了得到這兩個級數中的一個在有限項之后級數中斷，遞推關系

17、式（遞推關系式（4.42）中）中 的系數對某一的系數對某一 值必須為零，值必須為零，譬如說譬如說 時。這使得時。這使得 都為零，以及都為零，以及（4.45）中的一個級數將有有限數目的項。在遞推關系式）中的一個級數將有有限數目的項。在遞推關系式（4.42）中，有一個量的值尚未確定，但可以調節(jié)它使）中，有一個量的值尚未確定，但可以調節(jié)它使 為零，那就是能量為零，那就是能量 。在（。在（4.42）中令）中令 的系數為零，的系數為零，得，得，ncnvn ,42vvccvcvcE4.2 一維諧振子一維諧振子)51.4(,2, 1 ,0)21(2)12(2)33.4(2022122vhvvEvmvmEvm

18、amEava，而遞推關系式（而遞推關系式（4.42）變?yōu)椋┳優(yōu)?52. 4()2)(1()(2)42. 4()2)(1()22(222nnnncnnvnaccnnmEanac4.2 一維諧振子一維諧振子 按（按（4.51）使能量量子化，則使得一個級數在有限）使能量量子化，則使得一個級數在有限項后中斷。為了去掉（項后中斷。為了去掉（4.45）中另一個無窮級數，必須）中另一個無窮級數，必須使任意常數乘之后等于零。這就剩下一波函數為使任意常數乘之后等于零。這就剩下一波函數為 乘以只含乘以只含 的偶次冪或奇次冪（分別依賴于的偶次冪或奇次冪（分別依賴于 是偶或是偶或奇）的有限冪級數。奇）的有限冪級數。

19、量子數量子數 必須是非負整數，以及有一系列相等間必須是非負整數，以及有一系列相等間隔的能級。象箱中粒子那樣，邊界條件迫使能量量子化。隔的能級。象箱中粒子那樣，邊界條件迫使能量量子化。 能量最低的態(tài)叫做基態(tài)（或正常態(tài)）。諧振子基態(tài)能量最低的態(tài)叫做基態(tài)（或正常態(tài)）。諧振子基態(tài)能量不是零；此能量能量不是零；此能量 叫做零點能。這是雙原子分子叫做零點能。這是雙原子分子在絕對零度的振動能）零點能可以從測不準原理來理解。在絕對零度的振動能）零點能可以從測不準原理來理解。22axehv21xvv4.2 一維諧振子一維諧振子xpxx 若最低態(tài)能量為零；其勢能與動能（是非負的）兩者若最低態(tài)能量為零；其勢能與動能

20、（是非負的）兩者均將為零。零動能意味著動量確切為零，所以均將為零。零動能意味著動量確切為零，所以 為零。為零。零勢能意味著粒子總是局限在原點，所以零勢能意味著粒子總是局限在原點，所以 為零。但為零。但是不能有是不能有 與與 兩者均為零。所以要求非零的基態(tài)能。兩者均為零。所以要求非零的基態(tài)能。 尋求最低能級的波函數。對于基態(tài)，尋求最低能級的波函數。對于基態(tài)， ，在多，在多項式中無項式中無 的奇次冪，以及遞推關系式的奇次冪，以及遞推關系式（4.52）指明）指明 。于是，。于是，xp0vx042cc)57.4()43.4(2004,2,0222axnnnaxecxce4.2 一維諧振子一維諧振子利用歸一化確定利用歸一化確定 ：0cdxecdxecaxax020202221 利用附錄中的積分（利用附錄中的積分（A.5），若選歸一