距離問題幾何方法

1、空間距離ABCC1B1A1定義法: 例1:正三棱柱ABC-A1B1C1的底勉邊長為2,高位3,求點C到平面ABC1的距離.1如圖，ABCD是菱形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60°. （）求點A到平面PBD的距離；解法一： （）作所以AE為點A到平面PBD的距離.（6分）在所以A點到平面PBD的距離為8分2.等積變換法例2如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動. （1）當E為AB的中點時，求點E到面ACD1的距離；解法（一）（1） 設點E到面ACD1的距離為h， 在ACD1中，AC=CD1=，AD1=，1. 如圖，已知

2、長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=4，, E、F分別為AD和CC1的中點，O、O1分別是為上下底面正方形的中心。（1）求O點到平面FD1B1的距離解:（1）O點在BD上, 平面FD1B1BD/平面FD1B1故O點到平面FD1B1的距離等于B點到平面FD1B1的距離7分設B點到平面FD1B1的距離為,顯然FD1B1是正三角形. 又8分故O點到平面FD1B1的距離等于10分2. 如圖，邊長為2的等邊PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所MPDCBA在的平面，BC，M為BC的中點 求點D到平面AMP的距離解: 設D點到平面PAM的距離為，連結DM，則 （10分）而在中，由勾股定理可求得PM

3、= ,所以：即點D到平面PAM的距離為 3. 如圖，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，PAAB1，BC2在BC邊上是否存在一點G，使得D點到平面PAG的距離為1，若存在，求出BG的值；若不存在，請說明理由解: 假設在BC邊上存在一點G，使得D到面PAG的距離為1，PABCDE這時設AG=x，1x,利用等體積法求得VP-AGD=，而VP-AGD=，,從而這樣的G存在。4.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點為球心、為直徑的球面交于點 求點到平面的距離解：因為O是BD的中點，則O點到平面ABM的距離等于D點到平面ABM距離的一半，由（1）知，平面于M，則|DM|就是D點到

4、平面ABM距離.因為在RtPAD中，所以為中點，則O點到平面ABM的距離等于.5.如題（19）圖，在四棱錐中，且；平面平面，；為的中點，求點到平面的距離；（1）因為AD/BC,且所以從而A點到平面的距離等于D點到平面的距離。因為平面故,從而，由AD/BC，得,又由知，從而為點A到平面的距離，因此在中6.如圖：直三棱柱ABCA1B1C1中， AC=BC=AA1=2，ACB=90°.E為BB1的中點，D點在AB上且DE=.（）求證：CD平面A1ABB1；（）求三棱錐A1CDE的體積.解：(1)在RtDBE中，BE=1，DE=，BD= AB， 則D為AB中點, 而AC=BC， CDAB 又

5、三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱, CDAA1 又 AA1AB=A 且 AA1、AB Ì 平面A1ABB1 故 CD平面A1ABB1 （2）解：A1ABB1為矩形，A1AD，DBE，EB1A1都是直角三角形，=2×2××2××1×2×1= VA1CDE =VCA1DE = ×SA1DE ×CD= ××=1三棱錐A1CDE的體積為PBCDAEF7如圖，在底面是矩形的四棱錐中，面，、為別為、的中點，且， ，（）求四棱錐的體積；解：（1）取AD的中點O，連接EO,則EO是PAD的

6、中位線，得EOPA,故EOABCD,EO是四棱錐的高，8、如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，、分別是、的中點若，（） 求點到平面的距離； .9如圖，在三棱錐P-ABC中，PAB是等邊三角形，D，E分別為AB，PC的中點.DCBAPE（1）在BC邊上是否存在一點F，使得PB平面DEF. （2）若PAC=PBC=90º，證明：ABPC（3）在（2）的條件下，若AB=2，AC=，求三棱錐P-ABC的體積解（1）取BC的中點為F，則有PB平面DEF. PBEF ,FDCBAPE PB不在平面DEF內 PB平面DEF（2）因為是等邊三角形，,所以,可得。如圖，取中點，連結, 平面, (3) PD= CD=2 PC=3 即三棱錐體積為： 10.如圖，已知直四棱柱的底面是直角梯形，分別是棱，上的動點，且，.（）證明：無論點怎樣運動，四邊形都為矩形；（）當時，求幾何體的體積解：（）在直四棱柱中， 又平面平面，平面平面，平面平面，四邊形為平行四邊形，側棱底面