分片實(shí)驗(yàn)與有限元法

1、分片實(shí)驗(yàn)與有限元法摘要：本文提出分片試驗(yàn)在有限元法中有著重要的作用，它是近代有限元開展的一個(gè)主要特色。得出分片試驗(yàn)對位移函數(shù)和應(yīng)變函數(shù)的要求，這些要求便是一個(gè)好的有限元法所應(yīng)保證的；分析了幾何方程弱形式與分片試驗(yàn)的關(guān)系，借此分析了雜交元、擬協(xié)調(diào)元如何滿足這些要求，以及在滿足這些要求的同時(shí)產(chǎn)生的對其他條件的影響；分析了精化直接剛度法、廣義協(xié)調(diào)元和雙參數(shù)法如何保證分片試驗(yàn)的滿足；最后作為位移條件的應(yīng)用例子，改進(jìn)了BCIZ元。關(guān)鍵詞：分片試驗(yàn)，弱形式，網(wǎng)線函數(shù)，有限元法1 引言眾所周知，分片試驗(yàn)是與單元間的位移協(xié)調(diào)性親密相關(guān)的。人們在進(jìn)展有限元分析時(shí)，不可防止的涉及了單元間的協(xié)調(diào)關(guān)系，這種協(xié)調(diào)關(guān)系與

2、兩個(gè)單元有關(guān)，文45采用了單元邊界上的的位移插值函數(shù)，文9把這種位移插值函數(shù)成為“網(wǎng)線函數(shù)。正式這種所謂的“網(wǎng)線函數(shù)的采用，單元間的協(xié)調(diào)問題可以在單元內(nèi)獨(dú)立考慮。目前成功解決 連續(xù)問題的有限元法均有意或無意地使用了這種網(wǎng)線函數(shù)。本文通過網(wǎng)線函數(shù)給出了分片試驗(yàn)對應(yīng)變和位移的要求。目前對各種有限元法分析的方法均是在單元一級上采用變分原理，從而得到單元的應(yīng)變或應(yīng)力的，由結(jié)點(diǎn)位移為參數(shù)表達(dá)的表達(dá)式，再把它們代入最小勢能原理得到剛度陣。各種有限元法在得到應(yīng)變或應(yīng)力的做法上不同，好的有限元法得到的應(yīng)變表達(dá)式已滿足了通過分片實(shí)驗(yàn)所應(yīng)滿足的條件。2 分片的要求因有限元法最終列出的是勢能的方程，因此分片試驗(yàn)可以

3、看作：在常應(yīng)變情況下，位移的不協(xié)調(diào)部分對勢能無奉獻(xiàn)，在薄板彎曲問題中，可如下表達(dá)：(1)其中,A：單元域， 為位移的不協(xié)調(diào)部分,有：(2)為位移， 為位移的協(xié)調(diào)部分。(3)對(3)式中的 項(xiàng)應(yīng)用格林公式，并應(yīng)用坐標(biāo)變換公式：(4)其中 、 分別為位移協(xié)調(diào)部分在單元邊界的法向和切向的導(dǎo)數(shù)，即為文中的網(wǎng)線函數(shù)， 、 為單元邊界外法線的方向余弦。對含 的項(xiàng)再分步積分得： r時(shí) (5)r表示單元的邊數(shù)， 表示結(jié)點(diǎn)的位移參數(shù)。對(3)中的含 項(xiàng)也進(jìn)展分步積分并整理有：(6)同樣，對 項(xiàng)再分步積分得：(7)ai、bi、ci為由各邊的nx與ny組成的參數(shù)， 表示位移函數(shù)在結(jié)點(diǎn)處的值。(4)、(5)、(6)、

4、(7)便是通過分片檢驗(yàn)所需滿足的方程。(4)、(5)是從應(yīng)變的角度反映了分片試驗(yàn)對單元的要求，這里稱之為應(yīng)變約束條件；(6)、(7)是從位移的角度反映了分片試驗(yàn)對單元的要求，這里稱之為位移約束條件。成熟的有限元法都自覺或不自覺地應(yīng)用了這些條件。傳統(tǒng)的位移法構(gòu)造的協(xié)調(diào)元自動滿足了上述各式，下面對其它有限元分析方法進(jìn)展分類分析。3 使用應(yīng)變約束的有限元法方程(4)、(5)是對應(yīng)變的要求，沒有涉及剛體位移，同時(shí)應(yīng)力和應(yīng)變之間只有一個(gè)線性關(guān)系，所以，假設(shè)應(yīng)變或應(yīng)力的有限元法都應(yīng)滿足這兩個(gè)方程。方程(4)、(5)表達(dá)的是應(yīng)變與位移之間的關(guān)系，它們必然與彈性力學(xué)的幾何方程：(8)有著親密的關(guān)系。把幾何方程

5、(3.1)寫成弱形式：(9)、 、 為權(quán)函數(shù)，應(yīng)用兩次格林公式變換上述方程：(10)在上式中，單元邊界上的 、 、 分別以它們對應(yīng)的網(wǎng)線函數(shù) 、 、 代替：(11)假設(shè)方程(11)中 、 、 是應(yīng)力的變分，即滿足了齊次的平衡方程：(12)那么方程(12)變?yōu)椋?13)此即為薄板彎曲問題在單元上的最小余能原理的變分方程。方程(11)與(13)便是連續(xù)性方程弱形式中的兩個(gè)典型形式。在方程(11)與(13)中當(dāng) 、 、 分別取常數(shù)，另兩個(gè)為零時(shí)，便可得到方程(4)或(5)，即符合分片試驗(yàn)的要求。擬協(xié)調(diào)元與雜交混合元便是采用方程(11)對應(yīng)變或應(yīng)力進(jìn)展離散，而應(yīng)力雜交元采用的是(13)式。不同的是應(yīng)力

6、雜交元與雜交混合元是由假設(shè)應(yīng)力出發(fā)，而擬協(xié)調(diào)元是由假設(shè)應(yīng)變?nèi)胧?。而?yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系只是一個(gè)線性變換，假設(shè)應(yīng)力與應(yīng)變設(shè)在同一空間，僅是設(shè)應(yīng)力與設(shè)應(yīng)變的不同是不會影響最終結(jié)果的。從方程(11)與(13)的來源(9)式可以看出，幾類單元中的應(yīng)變或應(yīng)力只在較弱的意義上滿足相容方程。因平衡方程與連續(xù)性方程是一對對偶的微分方程組，有限元法中已經(jīng)使用了平衡方程的弱形式最小勢能原理，這里使用了連續(xù)性方程的弱形式也許更為合理?？梢则?yàn)證，單元應(yīng)變滿足相容條件的強(qiáng)形式與弱形式對單元的精度一般影響不大。由以上討論可見，在有限元分析中選常數(shù)作檢驗(yàn)函數(shù)是保證單元通過分片檢驗(yàn)的關(guān)鍵。而這一點(diǎn)在以上提到的三種有限元法中都

7、能自然得到滿足。構(gòu)造三角形單元時(shí)，常取面積坐標(biāo)作為檢驗(yàn)函數(shù)基，因三個(gè)面積坐標(biāo)之和為1，固在離散每個(gè)應(yīng)變時(shí)，檢驗(yàn)函數(shù)應(yīng)取遍三個(gè)面積坐標(biāo)，這樣便保證了檢驗(yàn)函數(shù)為常數(shù)時(shí)式(5)或(6)成立。精化直接剛度法雖然從設(shè)位移出發(fā)，但又對應(yīng)變矩陣進(jìn)展了修正。以下討論其應(yīng)變的改進(jìn)作用。在方程(4)的兩邊同時(shí)除以單元的面積 ，變?yōu)椋?14)上式表達(dá)了單元的平均應(yīng)變所應(yīng)滿足的方程。可把上式寫成如下矩陣形式：(15)其中 與文7中相一致， 為結(jié)點(diǎn)參數(shù)矢量。一般的有限元法得到的應(yīng)變表達(dá)式：(16)其單元的平均應(yīng)變：(17)不一定滿足式(14)，因此把平均應(yīng)變進(jìn)展修正，即換成式(18)中表達(dá)的所需形式，修正后的應(yīng)變陣為：

8、(18)這樣便保證了單元可以通過分片檢驗(yàn)。此外，得到 時(shí)還可使用(6)式，從而得到與式(14)不盡一樣的形式。因此，可以說精化直接剛度法是通過修正單元的平均應(yīng)變，使其通過分片試驗(yàn)的有限元分析方法。精化直接剛度法施行起來是巧妙而方便的。4 使用位移約束的有限元法使用位移約束方程的方式有兩種：第一種是位移的廣義參數(shù)的個(gè)數(shù)不增加，改變以往的采用結(jié)點(diǎn)參數(shù)確定各廣義參數(shù)的方法，廣義協(xié)調(diào)元和雙參數(shù)法便是采用這種方法；第二種方法是采用增加位移中的廣義參數(shù)的做法。此外兩種做法也可混合使用。4.1 廣義協(xié)調(diào)元和雙參數(shù)法方程(6)、(7)反映了分片檢驗(yàn)對位移函數(shù)的要求，與其相應(yīng)的有限元法是廣義協(xié)調(diào)元和雙參數(shù)法。從

9、(6)、(7)可以看出，假設(shè)使單元通過分片檢驗(yàn)，那么應(yīng)包含條件：或 i=1,r(19)廣義協(xié)調(diào)元與雙參數(shù)法在確定位移廣義參數(shù)的時(shí)候包含上述方程。這兩種有限元法得到的位移插值函數(shù)在結(jié)點(diǎn)處的表達(dá)不一定準(zhǔn)確，有時(shí)會有一個(gè)高階小量的誤差。而邊界位移條件是直接由結(jié)點(diǎn)位移表示的，因此在做分片檢驗(yàn)時(shí)會有一定的誤差，即不很準(zhǔn)確地通過分片檢驗(yàn)。這一點(diǎn)可由文8中的算例看出。對于某些特殊形狀的單元來說，方程(19)只是方程(6)和(7)的充分條件，非必要條件，這一點(diǎn)可以從十二參矩形單元中看出。眾所周知，矩形薄板單元不滿足 連續(xù)，可以驗(yàn)證它同樣不滿足(19)式。但這種單元能通過分片試驗(yàn)而且計(jì)算精度較高，其原因是它滿足

10、方程(6)和(7)。4.2 增加位移中的廣義參數(shù)可以增加位移函數(shù)中的廣義參數(shù)，通過分片試驗(yàn)的條件消去這些多余的廣義參數(shù)，這樣得到的位移插值函數(shù)會得到改善或完全滿足分片試驗(yàn)的要求。這種方法的本質(zhì)是改善了位移函數(shù)的空間，但它的應(yīng)用還非常少，其主要原因是計(jì)算中涉及求逆運(yùn)算。目前技術(shù)及軟件的高速開展，尤其是代數(shù)運(yùn)算軟件的出現(xiàn)，這種做法也許會有一些生命力。下面舉一個(gè)通過這種方法改善單元性能的例子。在構(gòu)造三角形單元時(shí)，人們呈為完全的三次式中十個(gè)基函數(shù)的取舍大費(fèi)周折，面積坐標(biāo)的應(yīng)用解決了對稱性的問題，但Zienkiewicz元BCIZ元的性能不佳也是人所共知的。今位移函數(shù)的基取完全的三次式，含十個(gè)基函數(shù)，采

11、用面積坐標(biāo)可寫成如下形式：(20)其中 為Zienkiewicz元的單元位移函數(shù)， (iC為待定參數(shù)。以下通過C確實(shí)定來改善單元的性質(zhì)。因只有一個(gè)待定參數(shù)，方程(6)不可能完全得到滿足，考慮到對稱性將(6)中的前兩式相加得到方程：(21)應(yīng)用方程(21)可以確定出參數(shù)C，其中 由采用結(jié)點(diǎn)參數(shù)建立的單元邊界法線方向轉(zhuǎn)角的線性插值函數(shù)來表達(dá)。定出C后便可用常規(guī)方法得到單元剛度陣。表1 分片試驗(yàn)可以看出改進(jìn)Zienkiewicz元的性能有很大的改善，以下做一算例。算例：方板中心受集中力，根據(jù)對稱性，取板的四分之一，采用穿插網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果如表2。表2 BCIZ元改進(jìn)前后板中心撓度計(jì)算由算例可以看出改進(jìn)

12、Zienkiewicz元的收斂性能有了很大的改善，而且單元采用的位移函數(shù)不僅具有幾何對稱性，各結(jié)點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角值也表達(dá)準(zhǔn)確。在三次位移函數(shù)的單元中，這種單元的位移函數(shù)的插值空間得到了進(jìn)一步改進(jìn)。5通過前面的討論可以看出，各有限元法與分片試驗(yàn)是密不可分的，它們自覺或不自覺得滿足了分片試驗(yàn)的要求。這些有限元法合理的共同原因也許在于它們能通過分片試驗(yàn)。滿足了應(yīng)變約束條件的有限元法，一般是以損失連續(xù)性方程的嚴(yán)格性為代價(jià)的，這一點(diǎn)對計(jì)算結(jié)果一般影響不大，而且往往會改善計(jì)算精度，這些有限元法對分片試驗(yàn)的滿足非常自然，但有些時(shí)候會涉及秩的問題；使用了位移約束條件的有限元法，以損失位移函數(shù)在單元結(jié)點(diǎn)的準(zhǔn)確程度

13、為代價(jià)，換取了單元總體性能的改進(jìn)，或者改善了位移試函數(shù)的插值空間，這類有限元法對在保持位移函數(shù)的幾何對稱性上有些困難。以上兩類有限元法都得出了很多屬于自己特色的單元。本文得出的是常應(yīng)變分片試驗(yàn)的要求，同樣可以得出應(yīng)變或位移在什么情況下，可以通過線性應(yīng)變的分片試驗(yàn)。假設(shè)單元的位移參數(shù)較多，位移插值函數(shù)已含完全三次多項(xiàng)式，單元片在線性應(yīng)變情況下也應(yīng)計(jì)算準(zhǔn)確，這樣才更值得我們增加參數(shù)。參 考 文 獻(xiàn)1 O.C.Zienkiewicz and R.L.Taylor, The Finite Element Method, (Fourth Edition), Mcgraw-Hill Book Compan

14、y, 1988.6 龍馭球，辛克貴，廣義協(xié)調(diào)元，土木工程學(xué)報(bào)，1987，1，1-149 Tang Limin, Chen Wanji and Liu Yingxi, String Net Function Approximation and Quasi-Conforming Technique, Hybrid and Mixed Finite Element Methods, S.N.Atluri, R.H.Gallagher and O.C.Zienkiewicz, John Wiley Sons, 1983.Patch Test and Finite Element MethodAbstr

15、act: This paper realized that the Patch Test is very important to Finite Element Methods. Derive the requirement to strain and displacement of Patch Test. Give the relationship between weak form of continuity equation and the Patch Test, through which the hybrid element method and quasi-conform element method are analyzed. Refined direct stiffness method and generalized conforming elements are also analyzed about why they