追求概念教學(xué)的本來面目──“平面向量的概念”的教學(xué)與反思

1、玖久高考網(wǎng)打造最全的免費高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請到 下載，追求概念教學(xué)的本來面目“平面向量的概念”的教學(xué)與反思概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成過程“平面向量的概念”的教學(xué)與反思 當前，不重視章節(jié)起始課的教學(xué)，概念教學(xué)走過場，以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的現(xiàn)象比較普遍在章節(jié)起始時，許多老師沒有把本章節(jié)要解決的主要問題、基本過程和主要思想方法等納入教學(xué)任務(wù)中；概念教學(xué)常常采用“一個定義，幾項注意”的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的機會，認為讓學(xué)生多做幾道題目更實惠更令人擔憂的是，有些老師不知如何教概念 李邦河院士認為，“數(shù)學(xué)根本上是玩概

2、念的，不是玩技巧技巧不足道也！”1以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴重偏離了數(shù)學(xué)的正軌，必須糾正否則，學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費大量時間、精力，結(jié)果可能是對數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人”終將落空 本文是我們繼“函數(shù)的概念”教學(xué)案例2后做的又一個案例，主要指導(dǎo)思想是“數(shù)學(xué)概念首要表現(xiàn)在概念的形成”1，概念教學(xué)必須讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程；基本想法是聚焦概念教學(xué)，探索概念教學(xué)的基本規(guī)律期待我們的案例能拋磚引玉，希望廣大教師積極參與“如何教好數(shù)學(xué)概念”的討論 一、對教學(xué)內(nèi)容的基本認識 平面向量是“人教A版”數(shù)學(xué)4的一章，本節(jié)課包括“章引言”和“2.1平面向量的實際背景及

3、基本概念”兩部分 在配套的教師教學(xué)用書中，介紹了章頭圖和章引言的編寫意圖，其中有這樣的敘述：“章引言說明了向量的研究對象及研究方法，揭示了向量與幾何、代數(shù)之間的關(guān)系，運用向量法可將幾何性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為向量的運算，使幾何問題通過向量運算得到解決”因此，“章引言”（包括“章頭圖”）起“導(dǎo)游圖”作用，是本章學(xué)習(xí)的“先行組織者”，應(yīng)有充分的重視教學(xué)時，可以滲透在具體內(nèi)容中，不必作抽象講解，以避免空洞說教 許多老師認為，“平面向量的實際背景及基本概念”一節(jié)“概念多但不難理解”，但我們認為“其實不然”事實上，從“概念的形成”的角度看，本節(jié)內(nèi)容，重要的不是向量的形式化定義及幾個相關(guān)概念，

4、而是獲得數(shù)學(xué)研究對象、認識數(shù)學(xué)新對象的基本方法，蘊含了用數(shù)學(xué)的觀點刻畫和研究現(xiàn)實事物的方法和途徑，這是一個帶有“本源”性質(zhì)的過程 這里，為了幫助學(xué)生建立向量的概念，與數(shù)、形的相關(guān)概念（數(shù)及其運算、直線（段）的平行關(guān)系等）類比與聯(lián)系是值得重視的在學(xué)生的已有經(jīng)驗中，與本節(jié)內(nèi)容相關(guān)的有：數(shù)的抽象過程、實數(shù)的絕對值（線段的長度）、數(shù)的相等、0和1的特殊性、線段的平行或共線等，這些將為學(xué)生自覺、有序、有效地認知向量概念提供“固著點”具體教學(xué)時，要設(shè)計一個能讓學(xué)生開展概括活動的過程，引導(dǎo)他們經(jīng)歷從具體事例（位移、力、速度等）中領(lǐng)悟向量概念的本質(zhì)特征，類比數(shù)的概念獲得向量概念的定義及表示，類比數(shù)的

5、集合認識“向量的集合”，類比直線（段）的基本關(guān)系認識向量的基本關(guān)系要使學(xué)生從中體會到認識一個數(shù)學(xué)概念的“基本套路”：從具體背景中抽象出共同本質(zhì)特征定義表示定義“相等”（這件事情很重要，但往往不被注意）、“單位元”、“0元”某些特殊關(guān)系由此看來，向量概念的形成并不是一件容易的事情 二、教學(xué)過程概述 2009年11月初，在河南省舉辦的高中數(shù)學(xué)課標教材跟進式培訓(xùn)中，我們以本節(jié)課為載體開展了概念教學(xué)的研討活動下面呈現(xiàn)的是教學(xué)設(shè)計和課堂中發(fā)生的主要事件 1向量概念的形成 11 讓學(xué)生感受引入概念的必要性 引子：甲、乙兩車分別以v1=40km，v2=50k

6、m的速度從同一地點出發(fā)向北行駛2小時后，它們相距20km 甲、乙兩車分別以v1=40km，v2=50km的速度從同一地點出發(fā)，甲車向北，乙車向南2小時后，它們相距180km 它們的行駛速度一樣，為什么2小時后的距離相差這么大？ 意圖：向量概念不是憑空產(chǎn)生的用這一簡單、直觀例子中的“速度不僅有大小，而且有方向”，讓學(xué)生感受“既有大小又有方向的量”的客觀存在，自然引出學(xué)習(xí)內(nèi)容 問題1  你能否再舉出一些既有方向，又有大小的量？ 意圖：激活學(xué)生的已有相關(guān)經(jīng)驗 （學(xué)生能容易地舉出重力、浮力、作用力等物理中學(xué)過的量） 追問：

7、生活中有沒有只有大小，沒有方向的量？請你舉例 意圖：形成區(qū)別不同量的必要性 （學(xué)生所舉的例子有年齡、身高、面積等） 概念抽象需要典型豐富的實例讓學(xué)生舉例可以觀察到他們對概念屬性的領(lǐng)悟，形成對概念的初步認識，為進一步抽象概括做準備 T：由同學(xué)們的舉例可見，現(xiàn)實中有的量只有大小沒有方向，有的量既有大小又有方向類似于從一支筆、一本書、一棵樹中抽象出只有大小的數(shù)量1，數(shù)學(xué)中對位移、力這些既有大小又有方向的量進行抽象，就形成一種新的量向量（板書概念） 12 向量的幾何表示 問題2 數(shù)學(xué)中，定義概念后，通常要用符號表示它怎樣把你所舉例子中的向量表

8、示出來呢？ 意圖：讓學(xué)生先嘗試向量的表示方法，自覺接受用帶有箭頭的線段（有向線段）來表示向量 （讓學(xué)生在黑板上畫學(xué)生畫了用帶有箭頭的線段表示力，開始時沒有對帶箭頭的線段加注起點、終點的字母，也沒有給出大小，寫出的f 上方?jīng)]有加箭頭教師引導(dǎo)學(xué)生不斷完善，最終形成了用帶箭頭的線段表示向量有的學(xué)生還標出了單位長，以比較兩個向量的大小） T：看來大家都認為用帶箭頭的線段表示向量比較好在初中，常用AB，CD，a，b，c等表示線段現(xiàn)在，我們加上箭頭，用，等表示向量以前AB與BA表示同一線段，現(xiàn)在和表示同一向量嗎？為什么？ S：不向量和起點、終點正好相反 T

9、：對，方向是向量的本質(zhì)屬性之一向量的另一本質(zhì)屬性是大小，我們用|表示，稱為向量的模同樣，用|來表示向量的模因為向量有大小和方向兩個要素，只用代數(shù)形式或幾何形式是無法確定的，必須兩者結(jié)合 13  零向量與單位向量 T：現(xiàn)在，我們已經(jīng)建立了一個向量的集合就象每個人都有名字一樣，這個集合中的每一個向量都有了名稱那么 問題3  你認為在所有向量組成的集合中，哪些向量較特殊？ 意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察一組對象面對一組對象，首先注意特殊對象是自然的 （學(xué)生普遍認為零向量、單位向量是特殊的） T：大家為什么認為它們最特殊？你們是怎

10、么想的？ 意圖：挖掘結(jié)果背后的思維過程企圖引導(dǎo)學(xué)生把向量集合與實數(shù)集類比 （課堂中，學(xué)生從長度這個角度進行了解釋，認為零向量的長度是0，單位向量的長度是1，最為特殊這表明他們已經(jīng)在把向量集與實數(shù)集作類比從實數(shù)集的認知經(jīng)驗出發(fā)，自然會想到零向量、單位向量的特殊性） T：是的類比實數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗有利于向量的學(xué)習(xí)在實數(shù)中，0是數(shù)的正負分界點，有0就可定義相反數(shù)；1是“單位”，作用很大對實數(shù)的研究經(jīng)驗告訴我們，“引進一個新的數(shù)就要研究它的運算；引進一種運算就要研究運算律”可以預(yù)見，引進向量就要研究向量的運算，進而就要研究相應(yīng)的運算律或運算法則所以，對于向量，還有許多內(nèi)容等待

11、我們?nèi)パ芯?#160;2相等向量、平行向量、共線向量、相反向量概念的形成 問題4  觀察圖1中的正六邊形ABCDEF給圖中的一些線段加上箭頭表示向量，并說說你所標注的向量之間的關(guān)系（舉例）                   意圖：不是先給出相等向量、平行向量、共線向量、相反向量的定義，再做練習(xí)鞏固，而是讓學(xué)生參與概念的定義過程，使概念成為學(xué)生觀察、歸納、概括之后的自然產(chǎn)物 留

12、給學(xué)生足夠的時間，并提出問題5，組織學(xué)生交流 問題5  你是怎樣研究的？比如，你畫了哪幾個向量？你認為它們有怎樣的關(guān)系？ 意圖：不僅關(guān)注結(jié)果，更要關(guān)注過程尤其要挖掘?qū)W生用向量概念思維的過程 （課堂中，有的學(xué)生首先關(guān)注大??；有的學(xué)生首先畫出向量與，認為它們長度相等且方向相同，是相等的向量；也有學(xué)生首先畫出向量與，認為它們是共線的向量；等教師適時介入，解釋數(shù)學(xué)中的向量是自由向量，可以平移，因此，與也稱為共線向量“平行向量”的產(chǎn)生比較順利，但“相反向量”的產(chǎn)生有困難，其間還類比了“相反數(shù)”） 歸納得到： （1）從“方向”角度看，有方向相同或

13、相反，就是平行向量，記為 ； （2）從“長度”角度看，有模相等的向量，|=|； （3）既關(guān)注方向，又關(guān)注長度，有相等向量=，相反向量= T：我們規(guī)定：零向量與任意向量都平行，即 問題6  由相等向量的概念知道，向量完全由它的方向和模確定由此，你能說說數(shù)學(xué)中的向量與物理中的矢量的異同嗎？另外，向量的平行、共線與線段的平行、共線有什么聯(lián)系與區(qū)別？ 意圖：讓學(xué)生注意把向量概念與物理背景、幾何背景明確區(qū)分，真正抓住向量的本質(zhì)特征，完成“數(shù)學(xué)化”的過程 3閱讀課本 請同學(xué)們把課本看一遍，看看我們的討論過程與課本講的是否一致，

14、有什么遺漏？有什么不同？ 意圖：通過閱讀，對本課的內(nèi)容再一次進行歸整、明晰引導(dǎo)學(xué)生重視課本 4課堂練習(xí) 教科書P77中的“練習(xí)”部分 5課堂小結(jié) 問題7（引導(dǎo)學(xué)生自己小結(jié)）能否畫個圖，把今天學(xué)的內(nèi)容梳理一下？ （有的學(xué)生提出可以把本課的內(nèi)容分為三個部分，與圖2所呈現(xiàn)的內(nèi)容基本一致，只是把“特殊關(guān)系”說成了“向量的性質(zhì)”，這也是正確的教師肯定了她的結(jié)論，展示了圖2）              

15、60;           T：今天我們學(xué)習(xí)向量的概念及其表示方法，并初步研究了向量這個集合，發(fā)現(xiàn)了其中的兩個特殊向量，以及向量之間的一些特殊關(guān)系同學(xué)們要認真體會其中的基本思路，即：從同類具體事例中抽象出共同本質(zhì)特征下定義符號表示認識特殊對象考察某些特殊關(guān)系 這里特別要注意，因為向量帶有方向，所以只用代數(shù)的形式已無法表示，必須結(jié)合幾何的形式因此，向量具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”隨著學(xué)習(xí)的深入，我們會看到這種身份給向量帶來的力量 另外，我們用類比數(shù)集的方法初步

16、認識了向量的集合我們知道，數(shù)與運算分不開，數(shù)的概念的發(fā)展也與運算不可分割例如，為了解方程x2=2，我們需要有無理數(shù)概念，于是要有“開方”運算引進一種新的數(shù)，就要研究關(guān)于它的運算；引進一種運算，就要研究相應(yīng)的運算律今天我們引進了一個新的量向量，下面我們該研究它的哪些問題？如何研究？請同學(xué)們課后認真考慮，下節(jié)課來交流（說罷，教師在“特殊關(guān)系”的右邊增加了省略號“”） 6布置作業(yè)（略） 三、教學(xué)反思 1起始課應(yīng)把“基本套路”作為核心目標 本課是“平面向量”的起始課，具有“統(tǒng)領(lǐng)全局”的作用因此，本課的目標應(yīng)體現(xiàn)出這一地位。具體有如下三個方面： （1）形

17、成平面向量的概念，特別是要讓學(xué)生體會“向量集形與數(shù)于一身”的特征； （2）讓學(xué)生體會用聯(lián)系的觀點、類比的方法研究向量（主要是聯(lián)系數(shù)及其運算、直線（段）的平行和共線等）； （3）通過類比“數(shù)及其運算”而獲得研究的內(nèi)容與方法的啟發(fā)，再一次體會研究一類新的數(shù)學(xué)問題的基本套路（思路） 如果從更深層次考慮，上述目標更本質(zhì)的是“數(shù)學(xué)育人”數(shù)學(xué)課堂應(yīng)始終把育人目標放在首位，當然要將它融入知識的教學(xué)中本課似乎“沒什么東西可講”，也沒什么難點，因此不愁完不成教學(xué)任務(wù)，但這只能指陳述性（或明確）知識目標的實現(xiàn)向量概念的重要性不言而喻，而作為“起始”，本課的教學(xué)必須要有“交代問題背景、

18、引入基本概念、構(gòu)建研究藍圖”的大氣要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生、發(fā)展的基本過程，體會到研究數(shù)學(xué)問題的基本套路，進而提高提出問題、研究問題的能力，這才算充分挖掘了本課內(nèi)容的育人資源，才算體現(xiàn)了向量概念的教學(xué)價值 2概念課的主旋律是讓學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動 前已述及，許多老師認為本課概念多但不難理解多次觀摩本課的教學(xué)，看到的大多是沉悶的課堂，教師講得乏味，學(xué)生學(xué)得無趣事實上，許多概念課都有這種弊端有的老師可以把解題講得頭頭是道，但概念教學(xué)就沒詞、沒招了我們認為，概念再多也不能成為“講起來枯燥乏味”的理由 讓學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動是使概念課生動活潑、優(yōu)質(zhì)高

19、效的關(guān)鍵。這就要求我們一方面充分利用新舊知識蘊含的矛盾，激發(fā)認知沖突，把學(xué)生卷入其中；另一方面要讓學(xué)生有參與的時間與機會，特別是有思維的實質(zhì)性參與 概念的形成過程充滿矛盾沖突，這是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與熱情的內(nèi)在條件比如，考察司空見慣的“量”，有的“只有大小沒有方向”，有的“既有大小又有方向”，在比較中就產(chǎn)生了區(qū)別的需要，這就是向量概念的生長點與人出生后要起名字一樣，我們要給新的數(shù)學(xué)對象命名，并且要與它的本質(zhì)相吻合，要區(qū)別于其他概念，“方向”就成了區(qū)別的標準，沒有“方向”的叫數(shù)量，有“方向”的叫向量，概念的產(chǎn)生自然而然 概念抽象需要典型實例誰來找例子？教師自作自畫，自己舉例、概

20、括，自己給定義，就可能枯燥乏味比如，告訴學(xué)生什么叫平行向量、相等向量、相反向量等，學(xué)生被動聽，沒有參與機會，不僅枯燥乏味，而且會使學(xué)生理解不透如果讓學(xué)生舉例，要求盡量舉不同的例，就會迫使他們開動腦子，就有可能舉出不同的、有趣的例，就會百花齊放這樣，生動活潑的場面自然形成，而且在舉例過程中，有獨立思考、合作交流，甚至有爭辯，這就形成了促進概念理解的機制讓學(xué)生舉例可以促進學(xué)生思維的深度參與，因為好例子需要以理解概念的本質(zhì)屬性為基礎(chǔ)實際上，概念教學(xué)中的“參與”，其關(guān)鍵是參與從典型實例中概括概念本質(zhì)特征的活動 舉例后，還要讓學(xué)生講理由，讓其他同學(xué)來補充，相互啟發(fā)、交流互動，生動活潑的局面自然

21、就出現(xiàn)了比如，探索“向量的表示”時，一個學(xué)生在黑板上畫了帶箭頭的線段表示力，但沒有用字母標注起點、終點筆者沒有替他標上，而是問：“大家有什么要補充的嗎？”有幾位同學(xué)不請自來，有的標上字母，有的標出大小經(jīng)過教師啟發(fā)和全班努力，終于明確了向量的幾何表示的正確方法在這個過程中，全體同學(xué)熱情參與，自我教育、互幫互學(xué)，想讓課堂不生動活潑都難也許有人認為，這是小題大做，浪費時間但我們認為這樣做不僅使課堂生動活潑，更重要的是體現(xiàn)概念的形成，這才是落實雙基的教學(xué)，長期堅持可以讓學(xué)生養(yǎng)成好的學(xué)習(xí)習(xí)慣如果總是老師替學(xué)生完善表達，不僅生動活潑的局面難以形成，更糟糕的是剝奪了學(xué)生的思考機會 事實上，由于數(shù)學(xué)

22、概念的高度抽象性，對任何一個貌似簡單的概念，學(xué)生往往都要費很大周折才能理解。許多教師對此不能保持高度警覺，常常認為自己容易的學(xué)生也然，沒有意識到自己的“容易”是經(jīng)歷了千辛萬苦、長期積累才得到的。這種心理導(dǎo)致了師生交流的許多障礙，是造成教師不是從學(xué)生的角度出發(fā)，針對學(xué)生的理解困難展開教學(xué)的主要原因。因此，教師要對這種心理保持高度警惕，努力從學(xué)生的認知水平出發(fā)，保證學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動，確保學(xué)生有自己想明白的機會和時間，這是非常要緊的 3概念教學(xué)要使學(xué)生自然地、水到渠成地實現(xiàn)“概念的形成” “人教A版”的主編寄語中說：“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然

23、的如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味”我們認為，這應(yīng)該成為概念教學(xué)的基本指導(dǎo)思想概念課就應(yīng)該使概念出得自然、水到渠成，否則就不叫做“教數(shù)學(xué)”、“學(xué)數(shù)學(xué)”本課的教學(xué)，我們力求使學(xué)生了解向量概念的背景和形成過程，了解為什么要引入這個概念，怎樣定義這個概念，怎樣入手研究一個新的課題 從課堂教學(xué)的要求看，概念教學(xué)的自然和水到渠成應(yīng)包括兩方面：一是知識的邏輯順序自然；二是學(xué)生心理邏輯的自然，主要是思維過程的自然“自然的概念教學(xué)過程”是上述兩方

24、面的融合因此，向量概念的教學(xué)中，我們注意了從宏觀上為學(xué)生勾勒研究框架和總體思路，使學(xué)生能“抬頭看路”，知道往哪里走，這是起始課的重要任務(wù)；微觀上，引導(dǎo)學(xué)生通過類比，有序地給出向量的定義（區(qū)別于“只有大小沒有方向的量”）、討論向量的表示（重點是幾何表示）、定義特殊的向量、研究特殊的關(guān)系（特別是相等向量）在引導(dǎo)學(xué)生展開對向量及其相關(guān)概念的學(xué)習(xí)過程中，主要強調(diào)了“讓學(xué)生參與到定義概念的活動中來”，不輕易打斷學(xué)生的思維和活動，恰時恰點地“以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”，在“追問（質(zhì)疑）反思”的過程中深化概念的理解，使“概念的理解”成為學(xué)生自己主動思維的結(jié)果 4“創(chuàng)造性地使用教材”的前提是深刻理解教材

25、60;本次課改提出“用教材教”“創(chuàng)造性地使用教材”的理念，這對教師理解和處理教材提出了更高要求我們認為，深刻理解教材的編寫意圖是“創(chuàng)造性地使用教材”的前提 “平行向量”、“共線向量”等概念，教材是這樣呈現(xiàn)的：先介紹概念，然后以一個例子作為概念的應(yīng)用與鞏固；“相反向量”在向量的減法運算中給出教科書按知識的邏輯順序呈現(xiàn)，無疑是正確的如果按教材順序組織教學(xué)，一定能順利完成任務(wù)，學(xué)生也會掌握得不錯但這是“教師告訴，提醒注意，練習(xí)鞏固”的辦法，學(xué)生的主動思維無法調(diào)動因此我們根據(jù)教材的基本思路，先讓學(xué)生研究問題4，目的是給學(xué)生參與概括概念本質(zhì)特征的機會，實實在在地經(jīng)歷概念的形成過程觀察過程中，必

26、然要利用向量的定義，要從“方向”和“大小”兩個方面展開思考于是，平行向量（共線向量）就很容易被概括出來；相等向量、相反向量等概念的產(chǎn)生也比較自然教師適時介入，強化本質(zhì)特征、規(guī)范概念表達，與學(xué)生一起完成概念的定義 值得指出的是，這樣處理教材，自然而然地要求學(xué)生聯(lián)系相關(guān)概念比如，由圖形呈現(xiàn)的“平行直線段”自然產(chǎn)生了“平行向量”；再增加長度相等、方向相同或相反，就產(chǎn)生了相等向量或相反向量屬差決定了向量之間的區(qū)別，就有了引入新概念的必要性這里，學(xué)生還經(jīng)歷了對向量的關(guān)系進行分類的思考：以是否平行為標準，一類是共線向量（平行向量），另一類是不共線向量（不平行向量），這是由向量的“方向”屬性決定的如何區(qū)分不平行的向量？又有了引入新概念的必要性，這就是向量的夾角（這是后話） 總之，這樣處理教材后，我們構(gòu)建了一個真正的問題情境，學(xué)生可以從中學(xué)習(xí)如何獲得研究的對象、如何提出研究的問題、如何找到研究的方法從課堂小結(jié)看，這一目標已經(jīng)實現(xiàn)。學(xué)生不