新概率習(xí)題-ppt課件

1、總體總體X，樣本，樣本(X1,X2,Xn)，樣本容量，簡單隨機(jī)樣本，樣本容量，簡單隨機(jī)樣本，樣本值樣本值(x1,x2,xn) ，統(tǒng)計(jì)量，統(tǒng)計(jì)量g(X1,X2,Xn)樣本的數(shù)字特征：樣本均值，樣本方差，樣本樣本的數(shù)字特征：樣本均值，樣本方差，樣本k階矩階矩,樣本樣本k階中心矩階中心矩三大統(tǒng)計(jì)分布三大統(tǒng)計(jì)分布);(1212nXnii )(,),(22ntnYXTYXnY 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則若若 設(shè)總體設(shè)總體 X XN(0,1), (X1,X2N(0,1), (X1,X2，Xn)Xn)為樣本為樣本, ,那么那么3 設(shè)設(shè)U 2(n1), V2(n2),且且U與與V相互獨(dú)立相互獨(dú)立,則稱隨機(jī)變則稱

2、隨機(jī)變量量),(/2121nnFnVnUF 單個(gè)正態(tài)總體單個(gè)正態(tài)總體);,(12nNX );1(13222 nSn ).1(/)(4 ntnSX )1 ,0(/2NnXU 設(shè)總體設(shè)總體 XN(，2), (X1,X2，Xn)為樣本為樣本, 那么那么兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體設(shè)總體設(shè)總體X XN(N(1,1,12),Y 12),Y 2,2,22), 22), 且且X X與與Y Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立, , (X1 ,X2 (X1 ,X2，Xn1), (Y1 ,Yn2)Xn1), (Y1 ,Yn2)分別為取自總體分別為取自總體X,YX,Y的樣本的樣本, ,那么那么1 1 一般情況時(shí)有一般情況時(shí)有)1 ,

3、0()()(22212121NnnYX )1, 1(/2122222121 nnFSS 33矩估計(jì)：將要估計(jì)的總體參數(shù)矩估計(jì)：將要估計(jì)的總體參數(shù)表示成總體表示成總體X的矩的函數(shù)，然的矩的函數(shù)，然 后用樣本的相應(yīng)的矩的函數(shù)作為其估計(jì)量進(jìn)行估計(jì)。后用樣本的相應(yīng)的矩的函數(shù)作為其估計(jì)量進(jìn)行估計(jì)。 區(qū)間估計(jì)：區(qū)間估計(jì)： 1)(21P極大似然估計(jì)：極大似然估計(jì)：當(dāng)我們用樣本值估計(jì)總體的參數(shù)時(shí)，應(yīng)使得當(dāng)參數(shù)當(dāng)我們用樣本值估計(jì)總體的參數(shù)時(shí)，應(yīng)使得當(dāng)參數(shù)取這些值時(shí)，所觀測(cè)到的樣本值出現(xiàn)的概率為最大。取這些值時(shí)，所觀測(cè)到的樣本值出現(xiàn)的概率為最大。從已知條件出發(fā)，求得一個(gè)含有待估參數(shù)從已知條件出發(fā)，求得一個(gè)含有待估

4、參數(shù)的、分布為已知的、分布為已知（分布與（分布與無關(guān)的樣本函數(shù)無關(guān)的樣本函數(shù)Z=Z(X1,X2,Xn,Z=Z(X1,X2,Xn,) )，然后根，然后根據(jù)據(jù)Z Z分布的雙側(cè)分布的雙側(cè)分位點(diǎn)，即可求得分位點(diǎn)，即可求得的的( 1-( 1-) )的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。)2(11)()(212121 nntnnSYX 2 2 當(dāng)當(dāng) 12= 12= 2222時(shí)時(shí)2)1()1(212222112 nnSnSnS 其其中中,)12(21)(22 nzn 當(dāng)當(dāng)n 45時(shí)，有近似公式：時(shí)，有近似公式：)(2n 2)(22n 2)(221n 1)()(22221nYnP),24(2201. 0 ),54(2201

5、. 01 t-分布、分布、F-分布與此類似！分布與此類似！ 一旦一旦r.vX的分布為已知，那么的分布為已知，那么X的取值就必定以一定的概率落在的取值就必定以一定的概率落在一些特定區(qū)間內(nèi)。一些特定區(qū)間內(nèi)。575. 2005. 0995. 0 zz解解: 1) 的矩估計(jì)量的矩估計(jì)量. 其其它它, 010,)1()(xxxf 其中其中 -1-1是未知參數(shù)是未知參數(shù),X1,X2,Xn,X1,X2,Xn是來自是來自X X的一個(gè)容量為的一個(gè)容量為n n的簡單的簡單隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本, ,分別用矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法求分別用矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法求 的估計(jì)量的估計(jì)量. .1建立待估參數(shù)建立待估參數(shù) 與總體

6、的矩之間的關(guān)系式；與總體的矩之間的關(guān)系式；2用相應(yīng)的樣本矩做總體矩的估計(jì)量，代入關(guān)系式得到用相應(yīng)的樣本矩做總體矩的估計(jì)量，代入關(guān)系式得到的的 估計(jì)量。估計(jì)量。3代入樣本值得到代入樣本值得到的估計(jì)值。的估計(jì)值。21)1(110 dxx dxxxfXE)()(由于總體由于總體X的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為令其等于樣本均值令其等于樣本均值,11 niiXnXX 21 即即解得未知參數(shù)解得未知參數(shù) 的矩估計(jì)量為的矩估計(jì)量為XX112 2) 的極大似然估計(jì)量的極大似然估計(jì)量.其其它它, 0),.2 , 1(10,) 1()(1nixxLiniin 設(shè)設(shè)(x1,xn)是來自樣本是來自樣本(X1,Xn)的一個(gè)觀

7、測(cè)值的一個(gè)觀測(cè)值,則參數(shù)則參數(shù) 的似然的似然函數(shù)為函數(shù)為 niixnL1ln)1ln(ln 時(shí)時(shí),恒有恒有L( )0,故故),.2 , 1(10nixi 因而因而,似然方程為似然方程為0ln1ln1 niixndLd 解之解之,得得 的極大似然估計(jì)值的極大似然估計(jì)值, niixn1ln1 從而得從而得 的極大似然估計(jì)量為的極大似然估計(jì)量為, niiXn1ln1 (4) 在最大值點(diǎn)的表達(dá)式中在最大值點(diǎn)的表達(dá)式中, 用樣本代入就得參數(shù)的極大似然估計(jì)量用樣本代入就得參數(shù)的極大似然估計(jì)量.(2) 由總體分布導(dǎo)出似然函數(shù)由總體分布導(dǎo)出似然函數(shù)L();（其中（其中為自變量，為自變量， x1 , x2 ,x

8、n 是已知常數(shù)）是已知常數(shù)）,似然函數(shù)為分布律似然函數(shù)為分布律 (或概率密度或概率密度)乘積乘積;(3) 求似然函數(shù)求似然函數(shù)L()的最大值點(diǎn)的最大值點(diǎn)(常轉(zhuǎn)化為求常轉(zhuǎn)化為求ln L()的最大值點(diǎn)的最大值點(diǎn));(1)設(shè)設(shè)x1 , x2 ,，xn)為樣本為樣本(X1,X2, ,Xn)的一個(gè)觀察的一個(gè)觀察值；值；練習(xí)：設(shè)總體練習(xí)：設(shè)總體X X的概率密度為的概率密度為 P133T9P133T93 3）0,)();,.,(1111 iniixnnxxexxLnii 0, 00,)();(1xxexxpx 其中其中00是未知參數(shù)是未知參數(shù), ,00是已知常數(shù)是已知常數(shù), ,試根據(jù)來自總體試根據(jù)來自總體X

9、 X的的簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)樣本X1,X2,Xn,X1,X2,Xn,求求的極大似然估計(jì)量的極大似然估計(jì)量. .解解: :對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)數(shù)似然函數(shù) niiniixxnnL111lnlnlnln 令令0ln1 niixndLd 解得解得的極大似然估計(jì)值的極大似然估計(jì)值 niixn1 設(shè)設(shè)(x1,xn)是來自樣本是來自樣本(X1,Xn)的一個(gè)觀測(cè)值的一個(gè)觀測(cè)值,那么那么似然函數(shù)似然函數(shù) niiXn1 故故 的極大似然估計(jì)量的極大似然估計(jì)量例例2：投資的回收利潤率常常用來衡量投資風(fēng)險(xiǎn)：投資的回收利潤率常常用來衡量投資風(fēng)險(xiǎn)，隨機(jī)地調(diào)查，隨機(jī)地調(diào)查26個(gè)年回收利潤率個(gè)年回收利潤率(%),得樣本標(biāo)準(zhǔn)得樣本標(biāo)

10、準(zhǔn)差差S=15(%),設(shè)回收利潤率為正態(tài)分布設(shè)回收利潤率為正態(tài)分布,求它的方求它的方差的區(qū)間估計(jì)差的區(qū)間估計(jì)(置信度為置信度為0.95）解：解：) 1(22 Sn) 1(2n 查自由度為查自由度為26-1=25的的2分布表得：分布表得：646.40)25(,120.13)25(2025. 02975. 0 于是得于是得2的置信度為的置信度為0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間為為 25()1(,)25()1(2975. 022025. 02 SnSn將將S2=152, n=25代入得方差代入得方差2的置信度為的置信度為0.95的區(qū)間估計(jì)為的區(qū)間估計(jì)為 (138.39,428.73),若要求標(biāo)準(zhǔn)差若要求

11、標(biāo)準(zhǔn)差 的置信度為的置信度為0.95的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)為為 )71.20,76.11()73.428,39.138( 95. 0)25()1()25(2025. 0222975. 0 SnP由由 從已知條件出發(fā)，尋求一個(gè)含有從已知條件出發(fā)，尋求一個(gè)含有（而不含有其（而不含有其 它未知參數(shù)的樣本函數(shù)它未知參數(shù)的樣本函數(shù), ,使得隨機(jī)變量使得隨機(jī)變量Z Z的分布的分布 為已知的最好是常用的分布；為已知的最好是常用的分布； 根據(jù)根據(jù)Z Z的分布的的分布的分位點(diǎn)，解出分位點(diǎn)，解出的置信區(qū)間的置信區(qū)間由于總體的均值未知，故選用由于總體的均值未知，故選用r.v 例例3 3 在一批貨物的容量為在一批貨物的

12、容量為100100的樣本中的樣本中, ,經(jīng)檢經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)1616個(gè)次品個(gè)次品, , 試求這批貨物次品率的試求這批貨物次品率的95%95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間. . 貨貨物物為為正正品品貨貨物物為為次次品品, 0, 1X那么那么 =E(X)=p ,=E(X)=p ,)1 ()(2ppXD 由獨(dú)立同分布中心極限定理由獨(dú)立同分布中心極限定理)1(1pnpnpXini 分析分析: :)1(pnpnpXn ) 1 , 0(/ )1 (NnpppX 設(shè)設(shè)X1 ,X2 ,X100X1 ,X2 ,X100為容量為容量100100的樣的樣本本研究貨物的次品率，故設(shè)總體研究貨物的次品率，故設(shè)總體設(shè)設(shè)p p為貨

13、物次品率為貨物次品率, , pX=1=p,pX=1=p,05. 0,16. 0,100 xn已已知知這是一個(gè)什么樣的總體？服從什么分布？這是一個(gè)什么樣的總體？服從什么分布？要估計(jì)的是總體的什么參數(shù)？要估計(jì)的是總體的什么參數(shù)？ 求總體參數(shù)求總體參數(shù) p 的的 95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間.95. 01/)1(2/2/ znpppXzP于于是是有有代入得代入得等等價(jià)價(jià)于于而而2/|/)1(| znpppX 0)2()(222/222/ XnpzXnpzn 96. 1,16. 0,1002/ zxn056. 28416.358416.1032 pp解得次品率解得次品率p p的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(0

14、.101,0.244)(0.101,0.244)關(guān)于關(guān)于p的一元的一元二次不等式二次不等式非正態(tài)總體參數(shù)區(qū)間估計(jì)的大樣本法非正態(tài)總體參數(shù)區(qū)間估計(jì)的大樣本法例例4 4：設(shè)總體：設(shè)總體X X的密度函數(shù)的密度函數(shù) elsexxxf, 00,3);(23 (X1,X2,Xn)來自總體來自總體X的樣本，的樣本，Yn=maxX1,X2,Xn）nYnnX31334 (1)(1)證明：證明： 和和 都是都是 的無偏估計(jì)量；的無偏估計(jì)量；(2) (2) 兩個(gè)估計(jì)量哪個(gè)更有效？兩個(gè)估計(jì)量哪個(gè)更有效？證證:(1):(1) 433)()(023 dxxxdxxxfXE )(34)(34)34(XEXEXE又總體又總體

15、X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 xxxxxFX, 10,0, 0)(33 0是未知參數(shù)是未知參數(shù),因此因此Yn的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 niXYxFxFin1)()( xxxxnn, 10,0, 033 1333)()(0313 nndxnxxdxxxfYEnnnn )()(nnYEnnYnnE313313nYnnX31334 和和都是都是 的無偏估計(jì)量的無偏估計(jì)量(2)(2)由于方差越小，估計(jì)量越有效，因而只需要算出這由于方差越小，估計(jì)量越有效，因而只需要算出這 兩個(gè)估計(jì)量的方差即可。又，兩個(gè)估計(jì)量的方差即可。又，222228034353 )()()()(XEXEXD202322533 dxxx

16、XE)(故故Yn的密度函數(shù)的密度函數(shù) elsexnxxfnnn, 00,3)(313 同樣求得同樣求得)()(2333132nnYnnDn 222222)13)(23(3)133(233)()()( nnnnnnnYEYEYDnnn 20313222333 nndxnxxYEnnn)()()(XDYnnDn34313更有效。更有效。nYnn313 nnXDnXDXD158031916)(1916)(916)34(22 P132T3 P132T3 利用定理利用定理2 2的結(jié)論計(jì)算的結(jié)論計(jì)算2 2分布分布的期望與方差的期望與方差. .)(,212nYXYnii 則則 由期望的性質(zhì)得由期望的性質(zhì)得

17、E(Y)=nE(X2) E(Y)=nE(X2) dxexx 2/4221 dxxeexxx22/2/3321|2122 2/3221xdex 解：由定理解：由定理2 2知：知：X X N(0,1),(X1,Xn)N(0,1),(X1,Xn)為其樣本為其樣本, ,記記由方差的性質(zhì)得由方差的性質(zhì)得 D(Y)= nD(X2)= nE(X4) nE(X2)2 D(Y)= nD(X2)= nE(X4) nE(X2)2 = nD(X)+nE2(X)=n= nD(X)+nE2(X)=n )(4XE而而3)(32 XE0 1. 1. 設(shè)總體設(shè)總體X X方差為方差為1,1,根據(jù)來自根據(jù)來自X X的容量為的容量為100100的簡單隨機(jī)的簡單隨機(jī) 樣本樣本, ,測(cè)得樣本均值為測(cè)得樣本均值為5,5,則則X X的數(shù)學(xué)期望的置信度近似等的數(shù)學(xué)期望的置信度近似等 于于0.950.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為? ?(4.802,5.196)(4.802,5.196) 2. 2. 設(shè)來自正態(tài)總體設(shè)來自正態(tài)總體X XN(N(,0.92),0.92)